Límite clásico

El límite clásico o límite de correspondencia es la capacidad de una teoría física para aproximar o "recuperar" la mecánica clásica cuando se considera sobre valores específicos de sus parámetros. ^{[ 1 ]} El límite clásico se utiliza con teorías físicas que predicen un comportamiento no clásico.

Niels Bohr introdujo en la teoría cuántica un postulado heurístico denominado principio de correspondencia : en esencia, este postula que algún tipo de argumento de continuidad debería aplicarse al límite clásico de los sistemas cuánticos cuando el valor de la constante de Planck normalizada por la acción de estos sistemas se vuelve muy pequeño. A menudo, esto se aborda mediante técnicas "cuasiclásicas" (véase la aproximación WKB ). ^{[ 2 ]}

De manera más rigurosa, ^{[ 3 ]} la operación matemática involucrada en los límites clásicos es una contracción de grupo , que aproxima sistemas físicos donde la acción relevante es mucho mayor que la constante de Planck reducida ħ , por lo que el "parámetro de deformación" ħ / S puede tomarse efectivamente como cero (cf. cuantización de Weyl ). Así, típicamente, los conmutadores cuánticos (equivalentemente, los corchetes de Moyal ) se reducen a corchetes de Poisson , ^{[ 4 ]} en una contracción de grupo .

En mecánica cuántica , debido al principio de incertidumbre de Werner Heisenberg , un electrón nunca puede estar en reposo; siempre debe tener una energía cinética distinta de cero , un resultado que no se encuentra en la mecánica clásica. Por ejemplo, si consideramos un objeto muy grande en relación con un electrón, como una pelota de béisbol, el principio de incertidumbre predice que no puede tener una energía cinética realmente nula, pero la incertidumbre en la energía cinética es tan pequeña que la pelota puede parecer estar en reposo, y por lo tanto, parece obedecer a la mecánica clásica. En general, si se consideran energías y objetos grandes (en relación con el tamaño y los niveles de energía de un electrón) en mecánica cuántica, el resultado parecerá obedecer a la mecánica clásica. Los números de ocupación típicos involucrados son enormes: un oscilador armónico macroscópico con ω = 2 Hz, m = 10 g y amplitud máxima x ₀ = 10 cm, tiene S ≈ E / ω ≈ mωx ² ₀ /2 ≈ 10 ⁻⁴ kg·m ² /s = ħn , de modo que n ≃ 10 ³⁰ . Véase también estados coherentes . Sin embargo, es menos claro cómo se aplica el límite clásico a los sistemas caóticos, un campo conocido como caos cuántico .                  

La mecánica cuántica y la mecánica clásica suelen tratarse con formalismos completamente diferentes: la teoría cuántica utiliza el espacio de Hilbert , y la mecánica clásica utiliza una representación en el espacio de fases . Es posible integrarlas en un marco matemático común de diversas maneras. En la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica, que es de naturaleza estadística, se establecen conexiones lógicas entre la mecánica cuántica y la mecánica estadística clásica, lo que permite comparaciones naturales entre ellas, incluyendo las violaciones del teorema de Liouville tras la cuantización. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

En un artículo crucial (1933), Paul Dirac ^{[ 7 ]} explicó cómo la mecánica clásica es un fenómeno emergente de la mecánica cuántica: la interferencia destructiva entre trayectorias con acciones macroscópicas no extremales S  » ħ anula las contribuciones de amplitud en la integral de trayectoria que introdujo, dejando la _{clase de acción extremal} S , y por lo tanto la trayectoria de acción clásica como la contribución dominante, una observación que Richard Feynman desarrolló aún más en su tesis doctoral de 1942. ^{[ 8 ]} (Véase también decoherencia cuántica ). 

Una forma sencilla de comparar la mecánica clásica con la cuántica es considerar la evolución temporal de la posición esperada y el momento esperado , que luego se puede comparar con la evolución temporal de la posición y el momento ordinarios en la mecánica clásica. Los valores esperados cuánticos satisfacen el teorema de Ehrenfest . Para una partícula cuántica unidimensional que se mueve en un potencial${\displaystyle V}$, el teorema de Ehrenfest dice ^{[ 9 ]}

${\displaystyle m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle$ ;\quad {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V'(X)\right\rangle .}

Aunque la primera de estas ecuaciones es consistente con la mecánica clásica, la segunda no lo es: Si el par${\displaystyle (\langle X\rangle ,\langle P\rangle )}$Si se cumpliera la segunda ley de Newton, el lado derecho de la segunda ecuación habría sido:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$.

Pero en la mayoría de los casos,

${\displaystyle \left\langle V'(X)\right\rangle \neq V'(\left\langle X\right\rangle )}$.

Si, por ejemplo, el potencial${\displaystyle V}$es cúbico, entonces${\displaystyle V'}$es cuadrática, en cuyo caso, estamos hablando de la distinción entre${\displaystyle \langle X^{2}\rangle }$y${\displaystyle \langle X\rangle ^{2}}$, que difieren por${\displaystyle (\Delta X)^{2}}$.

Se produce una excepción en el caso en que las ecuaciones clásicas del movimiento son lineales, es decir, cuando${\displaystyle V}$es cuadrática y${\displaystyle V'}$es lineal. En ese caso especial,${\displaystyle V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$y${\displaystyle \left\langle V'(X)\right\rangle }$Estoy de acuerdo. En particular, para una partícula libre o un oscilador armónico cuántico , la posición esperada y el momento esperado siguen exactamente las soluciones de las ecuaciones de Newton.

Para sistemas generales, lo mejor que podemos esperar es que la posición y el momento esperados sigan aproximadamente las trayectorias clásicas. Si la función de onda está muy concentrada alrededor de un punto${\displaystyle x_{0}}$, entonces${\displaystyle V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$y${\displaystyle \left\langle V'(X)\right\rangle }$serán casi lo mismo, ya que ambos serán aproximadamente iguales${\displaystyle V'(x_{0})}$En ese caso, la posición esperada y el momento esperado permanecerán muy cerca de las trayectorias clásicas, al menos mientras la función de onda permanezca altamente localizada en posición. ^{[ 10 ]}

Ahora bien, si el estado inicial está muy localizado en posición, su momento estará muy disperso, por lo que cabe esperar que la función de onda se disperse rápidamente y se pierda la conexión con las trayectorias clásicas. Sin embargo, cuando la constante de Planck es pequeña, es posible tener un estado bien localizado tanto en posición como en momento. La pequeña incertidumbre en el momento garantiza que la partícula permanezca bien localizada en posición durante un tiempo prolongado, de modo que la posición y el momento esperados sigan siguiendo de cerca las trayectorias clásicas durante un largo periodo.

Otras deformaciones comunes en física incluyen:

• La deformación de la mecánica newtoniana clásica en mecánica relativista ( relatividad especial ), con parámetro de deformación v / c ; el límite clásico implica velocidades pequeñas, por lo que v / c  →  0 , y los sistemas parecen obedecer la mecánica newtoniana.
• De forma similar, para la deformación de la gravedad newtoniana en relatividad general , con parámetro de deformación radio de Schwarzschild/dimensión característica, encontramos que los objetos parecen obedecer nuevamente a la mecánica clásica (espacio plano), cuando la masa de un objeto multiplicada por el cuadrado de la longitud de Planck es mucho menor que su tamaño y los tamaños del problema abordado. Véase límite newtoniano .
• La óptica ondulatoria también podría considerarse como una deformación de la óptica geométrica para el parámetro de deformación λ / a .
• De igual modo, la termodinámica se deforma en mecánica estadística con parámetro de deformación 1/ N .

• Densidad de probabilidad clásica
• Teorema de Ehrenfest
• ecuaciones de Madelung
• Integral de Fresnel
• Formulación matemática de la mecánica cuántica
• Caos cuántico
• Decoherencia cuántica
• Límite cuántico
• Física semiclasica
• Transformación de Wigner-Weyl
• aproximación WKB

• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H , ISBN 978-1-4614-7115-8