Hispanopedia WikiEn física teórica, Eugene Wigner y Erdal İnönü han discutido [1] la posibilidad de obtener de un grupo de Lie dado un grupo de Lie diferente (no isomorfo) mediante una contracción de grupo con respecto a un subgrupo continuo de él. Esto equivale a una operación límite sobre un parámetro del álgebra de Lie , alterando las constantes de estructura de esta álgebra de Lie de una manera singular no trivial, bajo circunstancias adecuadas. [2] [3]
Por ejemplo, el álgebra de Lie del grupo de rotación 3D SO(3) , [ X 1 , X 2 ] = X 3 , etc., puede reescribirse mediante un cambio de variables Y 1 = εX 1 , Y 2 = εX 2 , Y 3 = X 3 , como
- [ Y 1 , Y 2 ] = ε 2 Y 3 , [ Y 2 , Y 3 ] = Y 1 , [ Y 3 , Y 1 ] = Y 2 .
El límite de contracción ε → 0 trivializa el primer conmutador y, por lo tanto, produce el álgebra no isomorfa del grupo euclidiano plano , E 2 ~ ISO(2) . (Este es isomorfo al grupo cilíndrico, que describe los movimientos de un punto en la superficie de un cilindro. Es el pequeño grupo , o subgrupo estabilizador , de cuatro vectores nulos en el espacio de Minkowski ). Específicamente, los generadores de traslación Y 1 , Y 2 , ahora generan el subgrupo normal abeliano de E 2 (cf. Extensión del grupo ), las transformaciones parabólicas de Lorentz .
Límites similares, de considerable aplicación en física (cf. principios de correspondencia ), se contraen
- el grupo de De Sitter SO(4, 1) ~ Sp(2, 2) al grupo de Poincaré ISO(3, 1) , cuando el radio de De Sitter diverge: R → ∞ ; o
- el álgebra superanti -de Sitter al álgebra super-Poincaré cuando el radio AdS diverge R → ∞ ; o
- el grupo de Poincaré al grupo de Galileo , a medida que la velocidad de la luz diverge: c → ∞ ; [4] o
- el álgebra de Lie del corchete de Moyal (equivalente a los conmutadores cuánticos) al álgebra de Lie del corchete de Poisson , en el límite clásico cuando la constante de Planck se desvanece: ħ → 0 .
Notas
- ^ Inönü y Wigner 1953
- ^ Segal 1951, pág. 221
- ^ Saletan 1961, pág. 1
- ^ Gilmore 2006
Referencias
- Dooley, AH; Rice, JW (1985). "Sobre contracciones de grupos de Lie semisimples" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 289 (1): 185–202. doi : 10.2307/1999695 . ISSN 0002-9947. JSTOR 1999695. MR 0779059.
- Gilmore, Robert (2006). Grupos de Lie, álgebras de Lie y algunas de sus aplicaciones . Dover Books on Mathematics. Dover Publications . ISBN 0486445291.Señor 1275599 .
- Inönü, E. ; Wigner, EP (1953). "Sobre la contracción de grupos y sus representaciones". Proc. Natl. Sci . 39 (6): 510–24. Bibcode :1953PNAS...39..510I. doi : 10.1073/pnas.39.6.510 . PMC 1063815 . PMID 16589298.
- Saletan, EJ (1961). "Contracción de grupos de Lie". Revista de Física Matemática . 2 (1): 1–21. Código Bibliográfico :1961JMP.....2....1S. doi :10.1063/1.1724208.
- Segal, IE (1951). "Una clase de álgebras de operadores que están determinadas por grupos". Duke Mathematical Journal . 18 : 221. doi :10.1215/S0012-7094-51-01817-0.