oscilador armónico cuántico

El hamiltoniano de la partícula es: $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}k{\hat {x}}^{2}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}\,,}$$ donde m es la masa de la partícula, k es la constante de fuerza,${\textstyle \omega ={\sqrt {k/m}}}$es la frecuencia angular del oscilador,${\displaystyle {\hat {x}}}$es el operador de posición (dado por x en la base de coordenadas), y${\displaystyle {\hat {p}}}$ es el operador de momento (dado por${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \,\partial /\partial x}$en la base de coordenadas). El primer término del hamiltoniano representa la energía cinética de la partícula, y el segundo término representa su energía potencial, como en la ley de Hooke . ^{[ 5 ]}

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (TISE) es: $${\displaystyle {\hat {H}}\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle ~,}$$ dónde${\displaystyle E}$denota un número real (que debe determinarse) que especificará un nivel de energía independiente del tiempo , o valor propio , y la solución. ${\displaystyle |\psi \rangle }$denota el autoestado de energía de ese nivel . ^{[ 6 ]}

Luego, resuelve la ecuación diferencial que representa este problema de valores propios en la base de coordenadas, para la función de onda.${\displaystyle \langle x|\psi \rangle =\psi (x)}$, utilizando un método espectral . Resulta que hay una familia de soluciones. En esta base, equivalen a funciones de Hermite , ^{[ 7 ] [ 8 ]}$${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}\,n!}}}\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}H_{n}{\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)},\qquad n=0,1,2,\ldots .}$$

Las funciones${\displaystyle H_{n}}$son los polinomios de Hermite de los físicos , $${\displaystyle H_{n}(z)=(-1)^{n}~e^{z^{2}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left(e^{-z^{2}}\right).}$$

Los niveles de energía correspondientes son ^{[ 9 ]}$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega {\bigl (}n+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}$$Los valores esperados de posición y momento combinados con la varianza de cada variable se pueden derivar de la función de onda para comprender el comportamiento de los autoestados de energía. Se demuestra que son${\textstyle \langle {\hat {x}}\rangle =0}$y${\textstyle \langle {\sombrero {p}}\rangle =0}$debido a la simetría del problema, mientras que:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle x^{2}\right\rangle &=(2n+1){\frac {\hbar }{2m\omega }}=\sigma _{x}^{2}\\[1ex]\left\langle p^{2}\right\rangle &=(2n+1){\frac {m\hbar \omega }{2}}=\sigma _{p}^{2}\end{aligned}}}$$

Se observa que la varianza tanto en la posición como en el momento aumenta para niveles de energía más altos. El nivel de energía más bajo tiene un valor de${\textstyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}}$que es su valor mínimo debido a la relación de incertidumbre y también corresponde a una función de onda gaussiana. ^{[ 10 ]}

Este espectro de energía es notable por cuatro razones. Primero, las energías están cuantizadas, lo que significa que solo son posibles valores de energía discretos (múltiplos enteros más la mitad de ħω ); esta es una característica general de los sistemas cuántico-mecánicos cuando una partícula está confinada. Segundo, estos niveles de energía discretos están igualmente espaciados, a diferencia del modelo de Bohr del átomo, o la partícula en una caja . Tercero, la energía más baja alcanzable (la energía del estado n = 0 , llamada estado fundamental ) no es igual al mínimo del pozo de potencial, sino ħω /2 por encima de él; esto se llama energía de punto cero . Debido a la energía de punto cero, la posición y el momento del oscilador en el estado fundamental no son fijos (como lo serían en un oscilador clásico), sino que tienen un pequeño rango de variación, de acuerdo con el principio de incertidumbre de Heisenberg . Cuarto, los niveles de energía son no degenerados, lo que implica que cada autovalor está asociado con solo una solución (estado). ^{[ 11 ]}

La densidad de probabilidad del estado fundamental se concentra en el origen, lo que significa que la partícula pasa la mayor parte del tiempo en el fondo del pozo de potencial, como cabría esperar para un estado con poca energía. A medida que aumenta la energía, la densidad de probabilidad alcanza su máximo en los "puntos de inflexión" clásicos, donde la energía del estado coincide con la energía potencial. (Véase la discusión posterior sobre los estados altamente excitados). Esto es consistente con el oscilador armónico clásico, en el que la partícula pasa más tiempo (y, por lo tanto, es más probable encontrarla) cerca de los puntos de inflexión, donde se mueve más lentamente. De este modo, se satisface el principio de correspondencia . Además, los paquetes de ondas no dispersivos especiales , con incertidumbre mínima, denominados estados coherentes , oscilan de forma muy similar a los objetos clásicos, como se ilustra en la figura; no son autoestados del hamiltoniano.

El método del " operador escalera ", desarrollado por Paul Dirac , permite extraer los autovalores de energía sin resolver directamente la ecuación diferencial. ^{[ 12 ]} Es generalizable a problemas más complejos, especialmente en la teoría cuántica de campos . Siguiendo este enfoque, definimos los operadores${\displaystyle {\hat {a}}}$y su adjunto${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\end{aligned}}}$$Nótese que estos operadores son clásicamente exactamente los generadores de rotación normalizada en el espacio de fases de${\displaystyle x}$y${\displaystyle m{\frac {dx}{dt}}}$, es decir, describen la evolución hacia adelante y hacia atrás en el tiempo de un oscilador armónico clásico.

Estos operadores conducen a la siguiente representación de${\displaystyle {\hat {x}}}$y ${\displaystyle {\hat {p}}}$, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {x}}&={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}({\hat {a}}^{\dagger }+{\hat {a}})\\{\hat {p}}&=i{\sqrt {\frac {\hbar m\omega }{2}}}({\hat {a}}^{\dagger }-{\hat {a}})~.\end{aligned}}}$$

El operador a no es hermitiano , ya que él mismo y su adjunto a ^† no son iguales. Los autoestados de energía | n ⟩ , cuando se operan sobre ellos con estos operadores de escalera, dan $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle \\{\hat {a}}|n\rangle &={\sqrt {n}}|n-1\rangle .\end{aligned}}}$$

A partir de las relaciones anteriores, también podemos definir un operador numérico N , que tiene la siguiente propiedad: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {N}}&={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\\{\hat {N}}\left|n\right\rangle &=n\left|n\right\rangle .\end{aligned}}}$$

Los siguientes conmutadores se pueden obtener fácilmente sustituyendo la relación de conmutación canónica , $${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1,\qquad [{\hat {N}},{\hat {a}}^{\dagger }]={\hat {a}}^{\dagger },\qquad [{\hat {N}},{\hat {a}}]=-{\hat {a}},}$$

y el operador hamiltoniano se puede expresar como $${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left({\hat {N}}+{\frac {1}{2}}\right),}$$

por lo tanto los autoestados de${\displaystyle {\hat {N}}}$ También son los autoestados de energía. Para ver eso, podemos aplicar${\displaystyle {\hat {H}}}$a un estado numérico${\displaystyle |n\rangle }$:

$${\displaystyle {\hat {H}}|n\rangle =\hbar \omega \left({\hat {N}}+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle .}$$

Utilizando la propiedad del operador numérico${\displaystyle {\hat {N}}}$:

$${\displaystyle {\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle ,}$$

obtenemos:

$${\displaystyle {\hat {H}}|n\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle .}$$

Por lo tanto, dado que${\displaystyle |n\rangle }$Resuelve el TISE para el operador hamiltoniano${\displaystyle {\hat {H}}}$, es también uno de sus autoestados con el autovalor correspondiente:

$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right).}$$

QED.

La propiedad de conmutación produce $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {N}}{\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle &=\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {N}}+[{\hat {N}},{\hat {a}}^{\dagger }]\right)|n\rangle \\&=\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {N}}+{\hat {a}}^{\dagger }\right)|n\rangle \\&=(n+1){\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle ,\end{aligned}}}$$

y de manera similar, $${\displaystyle {\hat {N}}{\hat {a}}|n\rangle =(n-1){\hat {a}}|n\rangle .}$$

Esto significa que${\displaystyle {\hat {a}}}$actúa en${\displaystyle |n\rangle }$producir, salvo una constante multiplicativa,${\displaystyle |n-1\rangle }$, y${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$actúa en${\displaystyle |n\rangle }$producir${\displaystyle |n+1\rangle }$. Por esta razón,${\displaystyle {\hat {a}}}$se denomina operador de aniquilación ("operador de descenso"), y${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$un operador de creación ("operador de elevación"). Los dos operadores juntos se denominan operadores de escalera .

Dado cualquier autoestado de energía, podemos actuar sobre él con el operador de descenso, a , para producir otro autoestado con ħω menos energía. Mediante la aplicación repetida del operador de descenso, parece que podemos producir autoestados de energía hasta E = −∞ . Sin embargo, dado que $${\displaystyle n=\langle n|N|n\rangle =\langle n|a^{\dagger }a|n\rangle ={\Bigl (}a|n\rangle {\Bigr )}^{\dagger }a|n\rangle \geqslant 0,}$$

El valor propio más pequeño del operador numérico es 0, y $${\displaystyle a\left|0\right\rangle =0.}$$

En este caso, las aplicaciones subsiguientes del operador de descenso solo producirán cero, en lugar de autoestados de energía adicionales. Además, hemos demostrado anteriormente que $${\displaystyle {\hat {H}}\left|0\right\rangle ={\frac {\hbar \omega }{2}}\left|0\right\rangle }$$

Finalmente, al actuar sobre${\displaystyle |0\rangle }$Con el operador de elevación y multiplicando por factores de normalización adecuados , podemos producir un conjunto infinito de autoestados de energía. $${\displaystyle \left\{\left|0\right\rangle ,\left|1\right\rangle ,\left|2\right\rangle ,\ldots ,\left|n\right\rangle ,\ldots \right\},}$$

de tal manera que $${\displaystyle {\hat {H}}\left|n\right\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left|n\right\rangle ,}$$ lo cual coincide con el espectro de energía dado en la sección anterior.

Los autoestados arbitrarios pueden expresarse en términos de${\displaystyle |0\rangle }$, ^{[ 13 ]}$${\displaystyle |n\rangle ={\frac {(a^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0\rangle .}$$

El oscilador armónico cuántico posee escalas naturales de longitud y energía, que pueden utilizarse para simplificar el problema. Estas se pueden encontrar mediante la adimensionalización .

El resultado es que, si la energía se mide en unidades de ħω y la distancia en unidades de √ ħ /( mω ) , entonces el hamiltoniano se simplifica a $${\displaystyle H=-{\frac {1}{2}}{d^{2} \over dx^{2}}+{\frac {1}{2}}x^{2},}$$ mientras que las funciones propias de energía y los valores propios se simplifican a funciones de Hermite y enteros desplazados por la mitad, $${\displaystyle \psi _{n}(x)=\left\langle x\mid n\right\rangle ={1 \over {\sqrt {2^{n}n!}}}~\pi ^{-1/4}\exp \left(-x^{2}/2\right)~H_{n}(x),}$$$${\displaystyle E_{n}=n+{\tfrac {1}{2}}~,}$$ donde H _n ( x ) son los polinomios de Hermite .

Para evitar confusiones, estas "unidades naturales" no se utilizarán en su mayoría en este artículo. Sin embargo, suelen ser útiles al realizar cálculos, ya que simplifican la notación.

Por ejemplo, la solución fundamental ( propagador ) de H − i∂ _t , el operador de Schrödinger dependiente del tiempo para este oscilador, simplemente se reduce al núcleo de Mehler , ^{[ 15 ] [ 16 ]}$${\displaystyle \left\langle x\right|\exp(-itH)\left|y\right\rangle \equiv K(x,y;t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi i\sin t}}}\exp \left({\frac {i}{2\sin t}}\left(\left(x^{2}+y^{2}\right)\cos t-2xy\right)\right)~,}$$ donde K ( x , y ;0) = δ ( x − y ) . La solución más general para una configuración inicial dada ψ ( x ,0) es entonces simplemente $${\displaystyle \psi (x,t)=\int dy~K(x,y;t)\psi (y,0)\,.}$$

Los estados coherentes (también conocidos como estados de Glauber) del oscilador armónico son paquetes de ondas no dispersivos especiales , con una incertidumbre mínima σ _x σ _p = ℏ ⁄ 2 , cuyos valores esperados de las observables evolucionan como un sistema clásico. Son autovectores del operador de aniquilación, no del hamiltoniano, y forman una base sobrecompleta que, en consecuencia, carece de ortogonalidad. ^{[ 17 ]}

Los estados coherentes se indexan mediante${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$y expresado en la base | n ⟩ como

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\alpha \rangle &=\sum _{n=0}^{\infty }|n\rangle \langle n|\alpha \rangle \\&=e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}|n\rangle \\&=e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{\alpha a^{\dagger }}e^{-{\alpha ^{*}a}}|0\rangle .\end{aligned}}}$$

Dado que los estados coherentes no son autoestados de energía, su evolución temporal no es un simple cambio en la fase de la función de onda. Sin embargo, los estados que evolucionan en el tiempo también son estados coherentes, pero con un parámetro de cambio de fase α :${\displaystyle \alpha (t)=\alpha (0)e^{-i\omega t}=\alpha _{0}e^{-i\omega t}}$.

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\alpha (t)\rangle &=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\omega t}|n\rangle \langle n|\alpha \rangle \\&=e^{\frac {-i\omega t}{2}}e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha e^{-i\omega t})^{n}}{\sqrt {n!}}}|n\rangle \\&=e^{-{\frac {i\omega t}{2}}}|\alpha e^{-i\omega t}\rangle \end{aligned}}}$$

Porque${\displaystyle a\left|0\right\rangle =0}$y mediante la identidad de Kermack-McCrae, la última forma es equivalente a un operador de desplazamiento unitario que actúa sobre el estado fundamental:${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle }$Cálculo de los valores esperados:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\hat {x}}\rangle _{\alpha (t)}&={\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\left|\alpha _{0}\right|\cos {(\omega t-\phi )}\\[1ex]\langle {\hat {p}}\rangle _{\alpha (t)}&=-{\sqrt {2m\hbar \omega }}\left|\alpha _{0}\right|\sin {(\omega t-\phi )}\end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle \phi }$es la fase aportada por el complejo α . Estas ecuaciones confirman el comportamiento oscilatorio de la partícula.

Las incertidumbres calculadas mediante el método numérico son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}(t)&={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}\\\sigma _{p}(t)&={\sqrt {\frac {m\hbar \omega }{2}}}\end{aligned}}}$$

lo cual da${\textstyle \sigma _{x}(t)\sigma _{p}(t)={\frac {\hbar }{2}}}$. Dado que la única función de onda que puede tener la menor incertidumbre posición-momento,${\textstyle {\frac {\hbar }{2}}}$, es una función de onda gaussiana, y dado que la función de onda del estado coherente tiene una incertidumbre mínima de posición-momento, observamos que la función de onda gaussiana general en mecánica cuántica tiene la forma:$${\displaystyle \psi _{\alpha }(x')=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {i}{\hbar }}\langle {\hat {p}}\rangle _{\alpha }(x'-{\frac {\langle {\hat {x}}\rangle _{\alpha }}{2}})-{\frac {m\omega }{2\hbar }}(x'-\langle {\hat {x}}\rangle _{\alpha })^{2}}.}$$Sustituyendo los valores esperados en función del tiempo, se obtiene la función de onda variable en el tiempo requerida.

La probabilidad de cada autoestado de energía se puede calcular para encontrar la distribución de energía de la función de onda:

$${\displaystyle P(E_{n})=\left|\langle n|\alpha \rangle \right|^{2}={\frac {e^{-|\alpha |^{2}}|\alpha |^{2n}}{n!}}}$$

lo que corresponde a una distribución de Poisson .

Función de onda (arriba) y densidad de probabilidad (abajo) para el estado excitado n = 30 del oscilador armónico cuántico. Las líneas discontinuas verticales indican los puntos de inflexión clásicos, mientras que la línea punteada representa la densidad de probabilidad clásica.

Cuando n es grande, los autoestados se localizan en la región clásica permitida, es decir, la región en la que una partícula clásica con energía E _n puede moverse. Los autoestados alcanzan su máximo cerca de los puntos de inflexión: los puntos en los extremos de la región clásica permitida donde la partícula clásica cambia de dirección. Este fenómeno puede verificarse mediante el comportamiento asintótico de los polinomios de Hermite y también mediante la aproximación WKB .

La frecuencia de oscilación en x es proporcional al momento p ( x ) de una partícula clásica de energía E _n y posición x . Además, el cuadrado de la amplitud (que determina la densidad de probabilidad) es inversamente proporcional a p ( x ) , lo que refleja el tiempo que la partícula clásica permanece cerca de x . El comportamiento del sistema en una pequeña vecindad del punto de inflexión no tiene una explicación clásica simple, pero puede modelarse utilizando una función de Airy . Utilizando las propiedades de la función de Airy, se puede estimar la probabilidad de encontrar la partícula fuera de la región clásicamente permitida, que es aproximadamente $${\displaystyle {\frac {2}{n^{1/3}3^{2/3}\Gamma ^{2}({\tfrac {1}{3}})}}={\frac {1}{n^{1/3}\cdot 7.46408092658...}}}$$ Esto también viene dado, asintóticamente, por la integral. $${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{(2n+1)\left(x-{\tfrac {1}{2}}\sinh(2x)\right)}dx~.}$$

En la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica, los autoestados del oscilador armónico cuántico en varias representaciones diferentes de la distribución de cuasiprobabilidad pueden escribirse en forma cerrada. La más utilizada de ellas es la distribución de cuasiprobabilidad de Wigner .

La distribución de cuasiprobabilidad de Wigner para el autoestado de energía | n ⟩ es, en las unidades naturales descritas anteriormente, ^{[ 18 ].}$${\displaystyle F_{n}(x,p)={\frac {(-1)^{n}}{\pi \hbar }}L_{n}{\left(2(x^{2}+p^{2})\right)}e^{-(x^{2}+p^{2})}\,,}$$ donde L _n son los polinomios de Laguerre . Este ejemplo ilustra cómo los polinomios de Hermite y Laguerre están relacionados a través del mapa de Wigner .

Mientras tanto, la función Q de Husimi de los autoestados del oscilador armónico tiene una forma aún más simple. Si trabajamos en las unidades naturales descritas anteriormente, tenemos $${\displaystyle Q_{n}(x,p)={\frac {(x^{2}+p^{2})^{n}}{n!}}{\frac {e^{-(x^{2}+p^{2})}}{\pi }}}$$ Esta afirmación puede verificarse utilizando la transformada de Segal-Bargmann . Específicamente, dado que el operador de elevación en la representación de Segal-Bargmann es simplemente la multiplicación por${\displaystyle z=x+ip}$y el estado fundamental es la función constante 1, los estados del oscilador armónico normalizado en esta representación son simplemente${\displaystyle z^{n}/{\sqrt {n!}}}$. En este punto, podemos recurrir a la fórmula para la función Q de Husimi en términos de la transformada de Segal-Bargmann.

El oscilador armónico cartesiano bidimensional y el oscilador armónico isotrópico bidimensional en coordenadas cilíndricas se han tratado en detalle en el libro de Müller-Kirsten. ^{[ 19 ]}

La ecuación de Schrödinger para una partícula en un oscilador armónico tridimensional con simetría esférica puede resolverse explícitamente mediante la separación de variables. Este procedimiento es análogo a la separación realizada en el problema del átomo hidrogenoide , pero con un potencial de simetría esférica diferente.$${\displaystyle V(r)={1 \over 2}\mu \omega ^{2}r^{2},}$$ donde μ es la masa de la partícula. Dado que m se utilizará más adelante para el número cuántico magnético, la masa se indica con μ , en lugar de m , como se indicó anteriormente en este artículo.

La solución a la ecuación es: ^{[ 21 ]}$${\displaystyle \psi _{klm}(r,\theta ,\phi )=N_{kl}r^{l}e^{-\nu r^{2}}L_{k}^{\left(l+{1 \over 2}\right)}(2\nu r^{2})Y_{lm}(\theta ,\phi )}$$ dónde

${\displaystyle N_{kl}={\sqrt {{\sqrt {\frac {2\nu ^{3}}{\pi }}}{\frac {2^{k+2l+3}\;k!\;\nu ^{l}}{(2k+2l+1)!!}}}}~~}$es una constante de normalización;${\displaystyle \nu \equiv {\mu \omega \over 2\hbar }~}$;

${\displaystyle {L_{k}}^{(l+{1 \over 2})}(2\nu r^{2})}$

son polinomios de Laguerre generalizados ; el orden k del polinomio es un entero no negativo, que coincide con el número de nodos de la parte radial de la función de onda;

• ${\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\phi )\,}$es una función armónica esférica ;
• ħ es la constante de Planck reducida :${\displaystyle \hbar \equiv {\frac {h}{2\pi }}~.}$

El valor propio de energía es $${\displaystyle E=\hbar \omega \left(2k+l+{\frac {3}{2}}\right).}$$ La energía se suele describir mediante un único número cuántico.$${\displaystyle n\equiv 2k+l\,.}$$

Como k es un entero no negativo, para cada n par tenemos ℓ = 0, 2, ..., n − 2, n y para cada n impar tenemos ℓ = 1, 3, ..., n − 2, n . El número cuántico magnético m es un entero que satisface − ℓ ≤ m ≤ ℓ , por lo que para cada n y ℓ hay 2 ℓ  + 1 estados cuánticos  diferentes , etiquetados por m . Por lo tanto, la degeneración en el nivel n es $${\displaystyle \sum _{l=\ldots ,n-2,n}(2l+1)={(n+1)(n+2) \over 2}\,,}$$ donde la suma comienza en 0 o 1, según si n es par o impar. Este resultado está de acuerdo con la fórmula de dimensión anterior y equivale a la dimensionalidad de una representación simétrica de SU(3) , ^{[ 22 ]} el grupo de degeneración relevante.

La notación de un oscilador armónico puede extenderse a una red unidimensional de muchas partículas. Consideremos una cadena armónica cuántica unidimensional de N átomos idénticos. Este es el modelo cuántico más simple de una red, y veremos cómo surgen los fonones a partir de él. El formalismo que desarrollaremos para este modelo es fácilmente generalizable a dos y tres dimensiones. Como en la sección anterior, denotamos las posiciones de las masas por x ₁ , x ₂ , ... , medidas desde sus posiciones de equilibrio (es decir, x _i = 0 si la partícula i está en su posición de equilibrio). En dos o más dimensiones, los x _i son cantidades vectoriales. El hamiltoniano para este sistema es

$${\displaystyle \mathbf {H} =\sum _{i=1}^{N}{p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(nn)}(x_{i}-x_{j})^{2}\,,}$$ donde m es la masa (supuestamente uniforme) de cada átomo, y x _i y p _i son los operadores de posición y momento para el i -ésimo átomo y la suma se realiza sobre los vecinos más cercanos (nn). Sin embargo, es habitual reescribir el hamiltoniano en términos de los modos normales del vector de onda en lugar de en términos de las coordenadas de la partícula para poder trabajar en el espacio de Fourier más conveniente .

Introducimos, entonces, un conjunto de N "coordenadas normales" Q _k , definidas como las transformadas discretas de Fourier de las x s, y N "momentos conjugados" Π definidos como las transformadas de Fourier de las p s, $${\displaystyle Q_{k}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}}$$$${\displaystyle \Pi _{k}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}\,.}$$

La cantidad k _n resultará ser el número de onda del fonón, es decir, 2 π dividido por la longitud de onda . Toma valores cuantizados, porque el número de átomos es finito.

Esto preserva las relaciones de conmutación deseadas tanto en el espacio real como en el espacio de vectores de onda.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[x_{l},p_{m}\right]&=i\hbar \delta _{l,m}\\\left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]&={1 \over N}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}[x_{l},p_{m}]\\&={i\hbar \over N}\sum _{m}e^{iam(k-k')}=i\hbar \delta _{k,k'}\\\left[Q_{k},Q_{k'}\right]&=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0~.\end{aligned}}}$$

Del resultado general $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={1 \over N}\sum _{kk'}Q_{k}Q_{k'}\sum _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}~,\end{aligned}}}$$ Es fácil demostrar, mediante trigonometría elemental, que el término de energía potencial es $${\displaystyle {\begin{aligned}{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{j}\left(x_{j}-x_{j+1}\right)^{2}&={1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}\left(2-e^{ika}-e^{-ika}\right)\\&={1 \over 2}m\sum _{k}{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}~,\end{aligned}}}$$ dónde $${\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}(1-\cos(ka))}}~.}$$

El hamiltoniano puede escribirse en el espacio vectorial de onda como $${\displaystyle \mathbf {H} ={1 \over {2m}}\sum _{k}\left({\Pi _{k}\Pi _{-k}}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)~.}$$

Nótese que los acoplamientos entre las variables de posición se han eliminado mediante una transformación; si las Q y las Π fueran hermíticas (lo cual no es el caso), el hamiltoniano transformado describiría N osciladores armónicos desacoplados .

La forma de la cuantización depende de la elección de las condiciones de contorno; para simplificar, imponemos condiciones de contorno periódicas , definiendo el átomo ( N + 1) como equivalente al primer átomo. Físicamente, esto corresponde a unir la cadena por sus extremos. La cuantización resultante es

$${\displaystyle k=k_{n}={2n\pi \over Na}\quad {\hbox{for}}\ n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots ,\pm {N \over 2}.}$$

El límite superior de n proviene de la longitud de onda mínima, que es el doble del espaciado de la red a , como se explicó anteriormente.

Los autovalores o niveles de energía del oscilador armónico para el modo ω _k son $${\displaystyle E_{n}=\left({1 \over 2}+n\right)\hbar \omega _{k}\quad {\hbox{for}}\quad n=0,1,2,3,\ldots }$$

Si ignoramos la energía del punto cero , entonces los niveles están espaciados uniformemente en $${\displaystyle 0,\ \hbar \omega ,\ 2\hbar \omega ,\ 3\hbar \omega ,\ \cdots }$$

Por lo tanto, se debe suministrar una cantidad exacta de energía ħω a la red del oscilador armónico para impulsarlo al siguiente nivel de energía. De forma análoga al caso del fotón , cuando el campo electromagnético está cuantizado, el cuanto de energía vibracional se denomina fonón .

Todos los sistemas cuánticos muestran propiedades ondulatorias y corpusculares. Las propiedades corpusculares del fonón se comprenden mejor utilizando los métodos de segunda cuantización y las técnicas de operadores descritas en otra parte. ^{[ 23 ]}

En el límite continuo , a → 0 , N → ∞ , mientras que Na se mantiene fijo. Las coordenadas canónicas Q _k degeneran en los modos de momento desacoplados de un campo escalar,${\displaystyle \phi _{k}}$, mientras que el índice de ubicación i ( no la variable dinámica de desplazamiento ) se convierte en el argumento del parámetro x del campo escalar,${\displaystyle \phi (x,t)}$.

• Las vibraciones de una molécula diatómica son un ejemplo de una versión de dos cuerpos del oscilador armónico cuántico. En este caso, la frecuencia angular viene dada por$${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{\mu }}}}$$dónde${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$es la masa reducida y${\displaystyle m_{1}}$y${\displaystyle m_{2}}$son las masas de los dos átomos. ^{[ 24 ]}
• Modelado de fonones, como se mencionó anteriormente.
• Un cargo${\displaystyle q}$con masa${\displaystyle m}$en un campo magnético uniforme${\displaystyle \mathbf {B} }$es un ejemplo de un oscilador armónico cuántico unidimensional: la cuantización de Landau .
• El modelo de oscilador armónico se aproxima al potencial internuclear de una molécula diatómica, con estados vibracionales inferiores que se asemejan mucho al modelo y estados superiores que se desvían debido a la anarmonicidad. ^{[ 11 ]}

• El átomo de Hooke es un modelo simple del átomo de helio que utiliza el oscilador armónico cuántico.
• La ley de Hooke modela una masa que se mueve sobre un resorte, donde la fuerza que actúa sobre la masa es proporcional a su desplazamiento. ^{[ 11 ]}
• La solución general para una masa unida a un resorte se puede derivar de esta suposición. ^{[ 11 ]}
• El desplazamiento de la masa alcanza un máximo y un mínimo en A y -A, donde A se denomina amplitud.
• Este sistema se considera un sistema conservativo en el que la energía total permanece inalterada y se redistribuye continuamente entre energía cinética y potencial.

El oscilador armónico invertido ha sido investigado en detalle por G. Barton. ^{[ 25 ]} Véase también HJW Müller-Kirsten ^{[ 26 ]} y C. Yuce, A. Killen y A. Coruh. ^{[ 27 ]}

La consideración del oscilador armónico, por ejemplo, a partir de la energía${\displaystyle E={\mathbf {p}}^{2}/2m+m\omega ^{2}q^{2}/2}$en analogía con una derivación de la ecuación de Dirac, por así decirlo, a partir de la "raíz cuadrada" de la ecuación.${\displaystyle p_{\mu }p^{\mu }+m^{2}=0}$– ha sido explorado por Lorella M. Jones. ^{[ 28 ]}