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péndulo cuántico

El péndulo cuántico es un modelo teórico y un sistema experimental que estudia cómo se comporta un péndulo bajo la mecánica cuántica . [ 1 ] Es fundamental para comprender las r...

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El péndulo cuántico es un modelo teórico y un sistema experimental que estudia cómo se comporta un péndulo bajo la mecánica cuántica . [ 1 ] Es fundamental para comprender las rotaciones internas restringidas en química, las características cuánticas de los átomos dispersores, así como muchos otros fenómenos cuánticos. [ 2 ] Aunque un péndulo que no está sujeto a la aproximación de ángulo pequeño tiene una no linealidad inherente, la ecuación de Schrödinger para el sistema cuantizado se puede resolver con relativa facilidad.

ecuación de Schrödinger

Utilizando la mecánica lagrangiana , se puede desarrollar un hamiltoniano para el sistema. Un péndulo simple tiene una coordenada generalizada (el desplazamiento angular).ϕ{\displaystyle \phi }) y dos restricciones (la longitud de la cuerda y el plano de movimiento). Las energías cinética y potencial del sistema se pueden encontrar como:

T=12metrol2ϕ˙2,{\displaystyle T={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\phi }}^{2},}
U=metrogramol(1−porque⁡ϕ).{\displaystyle U=mgl(1-\cos \phi ).}

Esto da como resultado el hamiltoniano.

H^=pag^22metrol2+metrogramol(1−porque⁡ϕ).{\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2ml^{2}}}+mgl(1-\cos \phi ).}

La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para el sistema es

iℏdΨdt=−ℏ22metrol2d2Ψdϕ2+metrogramol(1−porque⁡ϕ)Ψ.{\displaystyle i\hbar {\frac {d\Psi }{dt}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2ml^{2}}}{\frac {d^{2}\Psi }{d\phi ^{2}}}+mgl(1-\cos \phi )\Psi .}

Para hallar los niveles de energía y los autoestados correspondientes, es necesario resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Esto se logra mejor cambiando la variable independiente de la siguiente manera:

η=ϕ+π,{\displaystyle \eta =\phi +\pi ,}
Ψ=ψmi−imit/ℏ,{\displaystyle \Psi =\psi e^{-iEt/\hbar },}
miψ=−ℏ22metrol2d2ψdη2+metrogramol(1+porque⁡η)ψ.{\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2ml^{2}}}{\frac {d^{2}\psi }{d\eta ^{2}}}+mgl(1+\cos \eta )\psi .}

Esta es simplemente la ecuación diferencial de Mathieu.

d2ψdη2+(2metromil2ℏ2−2metro2gramol3ℏ2−2metro2gramol3ℏ2porque⁡η)ψ=0,{\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{d\eta ^{2}}}+\left({\frac {2mEl^{2}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}\cos \eta \right)\psi =0,}

cuyas soluciones son funciones de Mathieu .

Soluciones

Energías

Dadoq{\displaystyle q}, para una cantidad numerable de valores especiales dea{\displaystyle a}, llamados valores característicos , la ecuación de Mathieu admite soluciones que son periódicas con período2π{\displaystyle 2\pi }Los valores característicos de las funciones coseno y seno de Mathieu, respectivamente, se escribenanorte(q),bnorte(q){\displaystyle a_{n}(q),b_{n}(q)}, dóndenorte{\displaystyle n}es un número natural . Los casos especiales periódicos de las funciones coseno y seno de Mathieu se escriben a menudodomi(norte,q,incógnita),Smi(norte,q,incógnita){\displaystyle CE(n,q,x),SE(n,q,x)}respectivamente, aunque tradicionalmente se les da una normalización diferente (a saber, que suL2{\displaystyle L^{2}}norma es igual aπ{\displaystyle \pi }).

Las condiciones de contorno en el péndulo cuántico implican queanorte(q),bnorte(q){\displaystyle a_{n}(q),b_{n}(q)}son los siguientes para un dadoq{\displaystyle q}:

d2ψdη2+(2metromil2ℏ2−2metro2gramol3ℏ2−2metro2gramol3ℏ2porque⁡η)ψ=0,{\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{d\eta ^{2}}}+\left({\frac {2mEl^{2}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}\cos \eta \right)\psi =0,}
anorte(q),bnorte(q)=2metromil2ℏ2−2metro2gramol3ℏ2.{\displaystyle a_{n}(q),b_{n}(q)={\frac {2mEl^{2}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}.}

Las energías del sistema,mi=metrogramol+ℏ2anorte(q),bnorte(q)2metrol2{\displaystyle E=mgl+{\frac {\hbar ^{2}a_{n}(q),b_{n}(q)}{2ml^{2}}}}para soluciones pares/impares respectivamente, se cuantifican en función de los valores característicos que se encuentran al resolver la ecuación de Mathieu.

La profundidad potencial efectiva se puede definir como

q=metro2gramol3ℏ2.{\displaystyle q={\frac {m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}.}

Un potencial profundo genera la dinámica de una partícula en un potencial independiente. En cambio, en un potencial superficial, las ondas de Bloch , así como el efecto túnel cuántico , adquieren importancia.

Solución general

La solución general de la ecuación diferencial anterior para un valor dado de a y q es un conjunto de cosenos y senos de Mathieu linealmente independientes, que son soluciones pares e impares respectivamente. En general, las funciones de Mathieu son aperiódicas; sin embargo, para valores característicos deanorte(q),bnorte(q){\displaystyle a_{n}(q),b_{n}(q)}, el coseno y el seno de Mathieu se vuelven periódicos con un período de2π{\displaystyle 2\pi }.

Autoestados

Para valores positivos de q , se cumple lo siguiente:

do(anorte(q),q,incógnita)=domi(norte,q,incógnita)domi(norte,q,0),{\displaystyle C(a_{n}(q),q,x)={\frac {CE(n,q,x)}{CE(n,q,0)}},}
S(bnorte(q),q,incógnita)=Smi(norte,q,incógnita)Smi′(norte,q,0).{\displaystyle S(b_{n}(q),q,x)={\frac {SE(n,q,x)}{SE'(n,q,0)}}.}

Aquí están las primeras funciones coseno periódicas de Mathieu paraq=1{\displaystyle q=1}.

Tenga en cuenta que, por ejemplo,domi(1,1,incógnita){\displaystyle CE(1,1,x)}(verde) se asemeja a una función coseno, pero con colinas más planas y valles menos profundos.

Véase también

Referencias

  1. ↑ "Explorando la gravedad cuántica: ¿para quién oscila el péndulo?" . NIST . 18 de agosto de 2021.
  2. ↑ Ayub, Muhammad; Naseer, Khalid; Ali, Manzoor; Saif, Farhan (2009-05-01). "Péndulo cuántico de óptica atómica" . Journal of Russian Laser Research . 30 (3): 205– 223. arXiv : 1012.6011 . doi : 10.1007/s10946-009-9078-x . ISSN 1573-8760 . 

Bibliografía

  • Bransden, BH; Joachain, CJ (2000). Mecánica cuántica (2.ª  ed.). Essex: Pearson Education. ISBN 0-582-35691-1.
  • Davies, John H. (2006). La física de los semiconductores de baja dimensión: una introducción (6.ª reimpresión  ). Cambridge University Press. ISBN 0-521-48491-X.
  • Muhammad Ayub, Péndulo cuántico de óptica atómica , 2011, Islamabad, Pakistán, https://arxiv.org/abs/1012.6011
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