Aproximación de ángulo pequeño

Para un ángulo pequeño, H y A tienen casi la misma longitud, y por lo tanto cos θ es casi 1. El segmento d (en rojo a la derecha) es la diferencia entre las longitudes de la hipotenusa , H , y el cateto adyacente, A , y tiene longitud${\displaystyle \textstyle H-{\sqrt {H^{2}-O^{2}}}}$, que para ángulos pequeños es aproximadamente igual a${\displaystyle \textstyle O^{2}\!/2H\approx {\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}H}$. Como aproximación de segundo orden, $${\displaystyle \cos {\theta }\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}.}$$

El cateto opuesto, O , es aproximadamente igual a la longitud del arco azul, s . El arco s tiene una longitud θA , y por definición sen θ = O / H y tan θ = O / A , y para un ángulo pequeño, O ≈ s y H ≈ A , lo que lleva a :$${\displaystyle \sin \theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan \theta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {A\theta }{A}}=\theta .}$$

O, de forma más concisa, $${\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta .}$$

Utilizando el teorema de compresión , ^{[ 4 ]} se puede demostrar que $${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1,}$$que es una reformulación formal de la aproximación${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$ for small values of θ.

A more careful application of the squeeze theorem proves that $${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}=1,}$$ from which we conclude that ${\displaystyle \tan(\theta )\approx \theta }$ for small values of θ.

Finally, L'Hôpital's rule tells us that $${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\cos(\theta )-1}{\theta ^{2}}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {-\sin(\theta )}{2\theta }}=-{\frac {1}{2}},}$$ which rearranges to ${\textstyle \cos(\theta )\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$ for small values of θ. Alternatively, we can use the double angle formula${\displaystyle \cos 2A\equiv 1-2\sin ^{2}A}$. By letting ${\displaystyle \theta =2A}$, we get that ${\textstyle \cos \theta =1-2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$.

The Taylor series expansions of trigonometric functions sine, cosine, and tangent near zero are:^[5]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\theta -{\frac {1}{6}}\theta ^{3}+{\frac {1}{120}}\theta ^{5}-\cdots ,\\[6mu]\cos \theta &=1-{\frac {1}{2}}{\theta ^{2}}+{\frac {1}{24}}\theta ^{4}-\cdots ,\\[6mu]\tan \theta &=\theta +{\frac {1}{3}}\theta ^{3}+{\frac {2}{15}}\theta ^{5}+\cdots .\end{aligned}}}$$

where ⁠${\displaystyle \theta }$⁠ is the angle in radians. For very small angles, higher powers of ⁠${\displaystyle \theta }$⁠ become extremely small, for instance if ⁠${\displaystyle \theta =0.01}$⁠, then ⁠${\displaystyle \theta ^{3}=0.000\,001}$⁠, just one ten-thousandth of ⁠${\displaystyle \theta }$⁠. Thus for many purposes it suffices to drop the cubic and higher terms and approximate the sine and tangent of a small angle using the radian measure of the angle, ⁠${\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta }$⁠, and drop the quadratic term and approximate the cosine as ⁠${\displaystyle \cos \theta \approx 1}$⁠.

If additional precision is needed the quadratic and cubic terms can also be included, ⁠${\displaystyle \sin \theta \approx \theta -{\tfrac {1}{6}}\theta ^{3}}$⁠, ⁠${\displaystyle \cos \theta \approx 1-{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}}$⁠, and ⁠${\displaystyle \tan \theta \approx \theta +{\tfrac {1}{3}}\theta ^{3}}$⁠.

En astronomía , el tamaño angular o ángulo subtendido por la imagen de un objeto distante suele ser de tan solo unos pocos segundos de arco (denotado por el símbolo ″), por lo que se ajusta bien a la aproximación de ángulo pequeño. ^{[ 7 ]} El tamaño lineal ( D ) está relacionado con el tamaño angular ( X ) y la distancia al observador ( d ) mediante la fórmula simple:

${\displaystyle D=X{\frac {d}{206\,265{''}}}}$

donde X se mide en segundos de arco.

La cantidad206 265 ″ es aproximadamente igual al número de segundos de arco en 1 radián, que es el número de segundos de arco en un círculo (1 296 000 ″ ) dividido por 2π .

La fórmula exacta es

${\displaystyle D=d\tan \left(X{\frac {2\pi }{1\,296\,000{''}}}\right)}$

y la aproximación anterior se obtiene cuando se reemplaza tan X por X.

Por ejemplo, el pársec se define por el valor de d cuando D = 1 UA, X = 1 segundo de arco, pero la definición utilizada es la aproximación de ángulo pequeño (la primera ecuación anterior).

La aproximación del coseno de segundo orden es especialmente útil para calcular la energía potencial de un péndulo , la cual puede aplicarse posteriormente con un lagrangiano para hallar la ecuación indirecta (de energía) del movimiento. Al calcular el período de un péndulo simple, se utiliza la aproximación de ángulo pequeño para el seno, lo que permite resolver fácilmente la ecuación diferencial resultante mediante comparación con la ecuación diferencial que describe el movimiento armónico simple . ^{[ 8 ]}

En óptica, las aproximaciones de ángulo pequeño forman la base de la aproximación paraxial .

Las aproximaciones de ángulo pequeño de seno y tangente se utilizan en relación con el experimento de doble rendija o una rejilla de difracción para desarrollar ecuaciones simplificadas como la siguiente, donde y es la distancia de una franja desde el centro de máxima intensidad de luz, m es el orden de la franja, D es la distancia entre las rendijas y la pantalla de proyección, y d es la distancia entre las rendijas: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle y\approx {\frac {m\lambda D}{d}}}$$

La aproximación de ángulo pequeño también se utiliza en mecánica estructural , especialmente en análisis de estabilidad y bifurcación (principalmente de columnas cargadas axialmente a punto de pandearse ). Esto conlleva simplificaciones significativas, aunque a costa de la precisión y la comprensión del comportamiento real.

La regla de 1 en 60 utilizada en la navegación aérea se basa en la aproximación de ángulo pequeño, además del hecho de que un radián equivale aproximadamente a 60 grados.

Las fórmulas de suma y resta que involucran un ángulo pequeño pueden usarse para interpolar entre valores de tablas trigonométricas :

Ejemplo: sen(0,755) $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(0.755)&=\sin(0.75+0.005)\\&\approx \sin(0.75)+(0.005)\cos(0.75)\\&\approx (0.6816)+(0.005)(0.7317)\\&\approx 0.6853.\end{aligned}}}$$ donde los valores de sen(0,75) y cos(0,75) se obtienen de la tabla trigonométrica. El resultado es preciso hasta las cuatro cifras decimales indicadas.