Interpolación

En el campo matemático del análisis numérico , la interpolación es un tipo de estimación , un método para construir (encontrar) nuevos puntos de datos a partir del rango de un conjunto discreto de puntos de datos conocidos. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

En ingeniería y ciencia , a menudo se dispone de varios puntos de datos, obtenidos mediante muestreo o experimentación , que representan los valores de una función para un número limitado de valores de la variable independiente . Con frecuencia, es necesario interpolar ; es decir, estimar el valor de dicha función para un valor intermedio de la variable independiente.

Un problema estrechamente relacionado es la aproximación de una función compleja mediante una función simple. Supongamos que se conoce la fórmula de una función dada, pero es demasiado compleja para evaluarla de manera eficiente. Se pueden interpolar algunos puntos de datos de la función original para obtener una función más simple que aún se aproxime bastante a la original. La ventaja en simplicidad resultante puede compensar la pérdida debida al error de interpolación y ofrecer un mejor rendimiento en el proceso de cálculo.

Como ejemplo utilizaremos puntos de la ecuación${\displaystyle f(x)=sin(x)}$para demostrar diversos métodos de interpolación.

La interpolación proporciona un medio para estimar la función en puntos intermedios, como por ejemplo:${\displaystyle x=2.5.}$

Describimos algunos métodos de interpolación que difieren en propiedades como la precisión, el coste, el número de puntos de datos necesarios y la suavidad de la función interpolante resultante.

interpolación constante por tramos

El método de interpolación más sencillo consiste en localizar el valor de datos más cercano y asignarle el mismo valor. En problemas simples, es poco probable que se utilice este método, ya que la interpolación lineal (véase más adelante) es casi igual de fácil; sin embargo, en la interpolación multivariante de dimensiones superiores , podría ser una opción favorable por su rapidez y simplicidad.

Interpolación lineal

Uno de los métodos más sencillos es la interpolación lineal (a veces conocida como lerp). Consideremos el ejemplo anterior de estimación de f (2.5). Dado que 2.5 está a medio camino entre 2 y 3, es razonable tomar f (2.5) a medio camino entre f (2) = 0.9093 y f (3) = 0.1411, lo que da como resultado 0.5252.

Generalmente, la interpolación lineal toma dos puntos de datos, digamos ( x _a , y _a ) y ( x _b , y _b ), y el interpolante viene dado por:

${\displaystyle y=y_{a}+\left(y_{b}-y_{a}\right){\frac {x-x_{a}}{x_{b}-x_{a}}}{\text{ at the point }}\left(x,y\right)}$

${\displaystyle {\frac {y-y_{a}}{y_{b}-y_{a}}}={\frac {x-x_{a}}{x_{b}-x_{a}}}}$

${\displaystyle {\frac {y-y_{a}}{x-x_{a}}}={\frac {y_{b}-y_{a}}{x_{b}-x_{a}}}}$

Esta ecuación anterior establece que la pendiente de la nueva línea entre${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$y${\displaystyle (x,y)}$es lo mismo que la pendiente de la línea entre${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$y${\displaystyle (x_{b},y_{b})}$

La interpolación lineal es rápida y sencilla, pero no es muy precisa. Otra desventaja es que el interpolante no es diferenciable en el punto x _k .

La siguiente estimación de error muestra que la interpolación lineal no es muy precisa. Denotemos por g la función que queremos interpolar , y supongamos que x se encuentra entre x _a y x _b y que g es dos veces continuamente diferenciable. Entonces, el error de interpolación lineal es

${\displaystyle |f(x)-g(x)|\leq C(x_{b}-x_{a})^{2}\quad {\text{where}}\quad C={\frac {1}{8}}\max _{r\in [x_{a},x_{b}]}|g''(r)|.}$

En otras palabras, el error es proporcional al cuadrado de la distancia entre los puntos de datos. En otros métodos, como la interpolación polinómica y la interpolación spline (que se describen más adelante), el error es proporcional a potencias superiores de la distancia entre los puntos de datos. Estos métodos también generan interpolaciones más suaves.

Interpolación polinómica

La interpolación polinómica es una generalización de la interpolación lineal. Nótese que el interpolante lineal es una función lineal . Ahora reemplazamos este interpolante con un polinomio de grado superior .

Consideremos nuevamente el problema planteado anteriormente. El siguiente polinomio de sexto grado pasa por los siete puntos:

${\displaystyle f(x)=-0.0001521x^{6}-0.003130x^{5}+0.07321x^{4}-0.3577x^{3}+0.2255x^{2}+0.9038x.}$

Sustituyendo x = 2,5, encontramos que f (2,5) = ~0,59678.

En general, si tenemos n puntos de datos, existe exactamente un polinomio de grado como máximo n − 1 que pasa por todos ellos. El error de interpolación es proporcional a la distancia entre los puntos de datos elevada a la potencia n . Además, el interpolante es un polinomio y, por lo tanto, infinitamente diferenciable. Así pues, vemos que la interpolación polinómica supera la mayoría de los problemas de la interpolación lineal.

Sin embargo, la interpolación polinómica también presenta algunas desventajas. El cálculo del polinomio de interpolación es computacionalmente costoso (véase complejidad computacional ) en comparación con la interpolación lineal. Además, la interpolación polinómica puede presentar artefactos oscilatorios, especialmente en los puntos extremos (véase el fenómeno de Runge ).

La interpolación polinómica puede estimar máximos y mínimos locales que están fuera del rango de las muestras, a diferencia de la interpolación lineal. Por ejemplo, el interpolante anterior tiene un máximo local en x ≈ 1,566, f ( x ) ≈ 1,003 y un mínimo local en x ≈ 4,708, f ( x ) ≈ −1,003. Sin embargo, estos máximos y mínimos pueden exceder el rango teórico de la función; por ejemplo, una función que siempre es positiva puede tener un interpolante con valores negativos, y cuya inversa, por lo tanto, contiene asíntotas verticales falsas .

En términos más generales, la forma de la curva resultante, especialmente para valores muy altos o bajos de la variable independiente, puede ser contraria al sentido común; es decir, a lo que se sabe sobre el sistema experimental que generó los puntos de datos. Estas desventajas pueden mitigarse mediante la interpolación spline o limitando la atención a los polinomios de Chebyshev .

interpolación spline

La interpolación lineal utiliza una función lineal para cada uno de los intervalos [ x _k , x _k+1 ]. La interpolación spline utiliza polinomios de bajo grado en cada intervalo y selecciona los segmentos polinómicos de manera que encajen suavemente. La función resultante se denomina spline.

Por ejemplo, la spline cúbica natural es cúbica por partes y dos veces continuamente diferenciable. Además, su segunda derivada es cero en los puntos extremos. La spline cúbica natural que interpola los puntos de la tabla anterior viene dada por

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-0.1522x^{3}+0.9937x,&{\text{if }}x\in [0,1],\\-0.01258x^{3}-0.4189x^{2}+1.4126x-0.1396,&{\text{if }}x\in [1,2],\\0.1403x^{3}-1.3359x^{2}+3.2467x-1.3623,&{\text{if }}x\in [2,3],\\0.1579x^{3}-1.4945x^{2}+3.7225x-1.8381,&{\text{if }}x\in [3,4],\\0.05375x^{3}-0.2450x^{2}-1.2756x+4.8259,&{\text{if }}x\in [4,5],\\-0.1871x^{3}+3.3673x^{2}-19.3370x+34.9282,&{\text{if }}x\in [5,6].\end{cases}}}$

En este caso obtenemos f (2.5)  =  0.5972.

Al igual que la interpolación polinómica, la interpolación spline genera un error menor que la interpolación lineal, mientras que el interpolante es más suave y fácil de evaluar que los polinomios de alto grado utilizados en la interpolación polinómica. Sin embargo, la naturaleza global de las funciones base conduce a un mal condicionamiento. Esto se mitiga completamente mediante el uso de splines de soporte compacto, como las implementadas en Boost.Math y analizadas en Kress. ^{[ 3 ]}

La Teoría de Conexiones Funcionales (TFC) es un marco matemático desarrollado específicamente para la interpolación funcional . Dado cualquier interpolante que satisfaga un conjunto de restricciones, TFC deriva un funcional que representa toda la familia de interpolantes que satisfacen dichas restricciones, incluyendo aquellos discontinuos o parcialmente definidos. Estos funcionales identifican el subespacio de funciones donde reside la solución a un problema de optimización con restricciones. En consecuencia, TFC transforma los problemas de optimización con restricciones en formulaciones equivalentes sin restricciones. Esta transformación ha demostrado ser altamente efectiva en la solución de ecuaciones diferenciales . TFC logra esto mediante la construcción de un funcional restringido (una función de una función libre) que satisface inherentemente las restricciones dadas, independientemente de la expresión de la función libre. Esto simplifica la resolución de diversos tipos de ecuaciones y mejora significativamente la eficiencia y precisión de métodos como las Redes Neuronales Basadas en la Física (PINN). TFC ofrece ventajas sobre los métodos tradicionales, como los multiplicadores de Lagrange y los métodos espectrales, al abordar directamente las restricciones de forma analítica y evitar los procedimientos iterativos, aunque actualmente no puede manejar restricciones de desigualdad.

La interpolación es una forma común de aproximar funciones. Dada una función${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$con un conjunto de puntos${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in [a,b]}$uno puede formar una función${\displaystyle s:[a,b]\to \mathbb {R} }$de tal manera que${\displaystyle f(x_{i})=s(x_{i})}$para${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$(es decir, que${\displaystyle s}$interpolaciones${\displaystyle f}$en estos puntos). En general, un interpolante no tiene por qué ser una buena aproximación, pero existen condiciones bien conocidas y a menudo razonables en las que lo será. Por ejemplo, si${\displaystyle f\in C^{4}([a,b])}$(cuatro veces continuamente diferenciable) entonces la interpolación de spline cúbico tiene un límite de error dado por${\displaystyle \|f-s\|_{\infty }\leq C\|f^{(4)}\|_{\infty }h^{4}}$dónde${\displaystyle h\max _{i=1,2,\dots ,n-1}|x_{i+1}-x_{i}|}$y${\displaystyle C}$es una constante. ^{[ 7 ]}

El proceso gaussiano es una potente herramienta de interpolación no lineal. Muchas herramientas de interpolación populares son, de hecho, equivalentes a procesos gaussianos específicos. Los procesos gaussianos se pueden utilizar no solo para ajustar una función interpolante que pase exactamente por los puntos de datos dados, sino también para regresión; es decir, para ajustar una curva a través de datos con ruido. En la comunidad de geoestadística, la regresión mediante procesos gaussianos también se conoce como Kriging .

La ponderación por distancia inversa (IDW) es un método de interpolación espacial que estima valores basándose en puntos de datos cercanos, donde los puntos más próximos tienen mayor influencia. ^{[ 8 ]} Utiliza una ley de potencia inversa para la ponderación, donde los valores de potencia más altos enfatizan los efectos locales, mientras que los valores más bajos crean una superficie más suave. La IDW se utiliza ampliamente en SIG , meteorología y modelado ambiental por su simplicidad, pero puede producir artefactos en datos agrupados o desiguales. ^{[ 9 ]}

Se pueden construir otras formas de interpolación seleccionando una clase diferente de interpolantes. Por ejemplo, la interpolación racional es la interpolación mediante funciones racionales utilizando el aproximante de Padé , y la interpolación trigonométrica es la interpolación mediante polinomios trigonométricos utilizando series de Fourier . Otra posibilidad es utilizar ondículas .

La fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon se puede utilizar si el número de puntos de datos es infinito o si la función que se va a interpolar tiene soporte compacto.

En ocasiones, conocemos no solo el valor de la función que queremos interpolar en ciertos puntos, sino también su derivada. Esto da lugar a problemas de interpolación de Hermite .

Cuando cada punto de datos es en sí mismo una función, puede ser útil ver el problema de interpolación como un problema de advección parcial entre cada punto de datos. Esta idea conduce al problema de interpolación de desplazamiento utilizado en la teoría del transporte .

La interpolación multivariante es la interpolación de funciones de más de una variable. Los métodos incluyen la interpolación del vecino más cercano , la interpolación bilineal y la interpolación bicúbica en dos dimensiones, y la interpolación trilineal en tres dimensiones. Se pueden aplicar a datos en cuadrícula o dispersos. La interpolación mimética se generaliza a${\displaystyle n}$espacios dimensionales donde${\displaystyle n>3}$. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

• 
  vecino más cercano
• 
  Bilineal
• 
  Bicúbica

En el ámbito del procesamiento digital de señales, el término interpolación se refiere al proceso de convertir una señal digital muestreada (como una señal de audio muestreada) a una con una frecuencia de muestreo superior ( sobremuestreo ) mediante diversas técnicas de filtrado digital (por ejemplo, convolución con una señal de impulso de frecuencia limitada). En esta aplicación, es fundamental preservar el contenido armónico de la señal original sin generar contenido armónico aliasado por encima del límite de Nyquist original (es decir, por encima de fs/2 de la frecuencia de muestreo de la señal original). Una introducción bastante elemental a este tema se encuentra en el libro de Rabiner y Crochiere, Multirate Digital Signal Processing . ^{[ 12 ]}

El término extrapolación se utiliza para encontrar puntos de datos que se encuentran fuera del rango de puntos de datos conocidos.

En los problemas de ajuste de curvas , se relaja la restricción de que el interpolante pase exactamente por los puntos de datos. Solo se requiere que se aproxime lo más posible a los puntos de datos (dentro de ciertas restricciones). Esto exige parametrizar los posibles interpolantes y contar con algún método para medir el error. En el caso más simple, esto conduce a la aproximación por mínimos cuadrados .

La teoría de la aproximación estudia cómo encontrar la mejor aproximación a una función dada mediante otra función de una clase predeterminada, y cuán buena es esta aproximación. Esto proporciona un límite sobre la precisión con la que la función interpolante puede aproximar la función desconocida.

Si consideramos${\displaystyle x}$como una variable en un espacio topológico y la función${\displaystyle f(x)}$Si se mapea a un espacio de Banach , el problema se trata como una "interpolación de operadores". ^{[ 13 ]} Los resultados clásicos sobre interpolación de operadores son el teorema de Riesz-Thorin y el teorema de Marcinkiewicz . También existen muchos otros resultados posteriores.

• Herramientas en línea para interpolación lineal (Archivado el 18/09/2016 en Wayback Machine) , cuadrática (Archivado el 18/09/2016 en Wayback Machine) , cúbica (Archivado el 20/08/2016 en Wayback Machine) y polinómica (Archivado el 18/09/2016 en Wayback Machine) con visualización y código fuente JavaScript .
• Tutoriales de Sol - Trucos de interpolación Archivados el 31/01/2021 en Wayback Machine
• Interpolación racional baricéntrica en Boost.Math
• Interpolación mediante la transformada de Chebyshev en Boost.Math