Interpolación mediante función de base radial

La interpolación de funciones de base radial (RBF) es un método avanzado en la teoría de la aproximación para construir interpolantes de alta precisión de datos no estructurados , posiblemente en espacios de alta dimensión. El interpolante toma la forma de una suma ponderada de funciones de base radial . ^{[ 1 ] [ 2 ]} La interpolación RBF es un método sin malla , lo que significa que los nodos (puntos en el dominio) no necesitan estar en una cuadrícula estructurada y no requiere la formación de una malla . A menudo es espectralmente precisa ^{[ 3 ]} y estable para un gran número de nodos incluso en altas dimensiones.

Muchos métodos de interpolación pueden utilizarse como base teórica de algoritmos para aproximar operadores lineales , y la interpolación RBF no es una excepción. La interpolación RBF se ha utilizado para aproximar operadores diferenciales , operadores integrales y operadores diferenciales de superficie .

Dejar${\displaystyle f(x)=\exp(x\cos(3\pi x))}$y dejar${\displaystyle x_{k}={\frac {k}{14}},k=0,1,\dots ,14}$sean 15 puntos igualmente espaciados en el intervalo${\displaystyle [0,1]}$. Formaremos${\displaystyle s(x)=\sum \limits _{k=0}^{14}w_{k}\varphi (\|x-x_{k}\|)}$dónde${\displaystyle \varphi }$es una función de base radial y elige${\displaystyle w_{k},k=0,1,\dots,14}$de tal manera que${\displaystyle s(x_{k})=f(x_{k}),k=0,1,\dots ,14}$(${\displaystyle s}$interpolaciones${\displaystyle f}$en los puntos elegidos). En notación matricial esto se puede escribir como

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varphi (\|x_{0}-x_{0}\|)&\varphi (\|x_{1}-x_{0}\|)&\dots &\varphi (\|x_{14}-x_{0}\|)\\\varphi (\|x_{0}-x_{1}\|)&\varphi (\|x_{1}-x_{1}\|)&\dots &\varphi (\|x_{14}-x_{1}\|)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\varphi (\|x_{0}-x_{14}\|)&\varphi (\|x_{1}-x_{14}\|)&\dots &\varphi (\|x_{14}-x_{14}\|)\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{0}\\w_{1}\\\vdots \\w_{14}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}f(x_{0})\\f(x_{1})\\\vdots \\f(x_{14})\end{bmatrix}}.}$$

Elegir${\displaystyle \varphi (r)=\exp(-(\varepsilon r)^{2})}$, la gaussiana , con un parámetro de forma de${\displaystyle \varepsilon =3}$Entonces podemos resolver la ecuación matricial para los pesos y graficar la función interpoladora. Al graficar la función interpoladora a continuación, vemos que visualmente es la misma en todas partes excepto cerca del límite izquierdo (un ejemplo del fenómeno de Runge ), donde todavía es una aproximación muy cercana. Más precisamente, el error máximo es aproximadamente${\displaystyle \|fs\|_{\infty }\approx 0.0267414}$en${\displaystyle x=0.0220012}$.

La función${\displaystyle f(x)=\exp(x\cos(3\pi x))}$muestreado en 15 nodos uniformes entre 0 y 1, interpolado usando la RBF gaussiana con un parámetro de forma de${\displaystyle \varepsilon =3}$.

El error de interpolación,${\displaystyle s(x)-f(x)}$, para la parcela de la izquierda.

El teorema de Mairhuber-Curtis dice que para cualquier conjunto abierto${\displaystyle V}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$con${\displaystyle n\geq 2}$, y${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots ,f_{n}}$funciones linealmente independientes en${\displaystyle V}$, existe un conjunto de${\displaystyle n}$puntos en el dominio tales que la matriz de interpolación

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1})&f_{2}(x_{1})&\dots &f_{n}(x_{1})\\f_{1}(x_{2})&f_{2}(x_{2})&\dots &f_{n}(x_{2})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}(x_{n})&f_{2}(x_{n})&\dots &f_{n}(x_{n})\end{bmatrix}}}$$

es singular . ^{[ 4 ]}

Esto significa que si se desea tener un algoritmo de interpolación general, se deben elegir las funciones base que dependan de los puntos de interpolación. En 1971, Rolland Hardy desarrolló un método para interpolar datos dispersos utilizando interpolantes de la forma${\displaystyle s(\mathbf {x} )=\sum \limits _{k=1}^{N}{\sqrt {\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{k}\|^{2}+C}}}$. Esta es una interpolación que utiliza una base de funciones multicuadráticas desplazadas, ahora escrita más comúnmente como${\displaystyle \varphi (r)={\sqrt {1+(\varepsilon r)^{2}}}}$y es el primer ejemplo de interpolación de funciones de base radial. ^{[ 5 ]} Se ha demostrado que la matriz de interpolación resultante siempre será no singular. Esto no viola el teorema de Mairhuber-Curtis, ya que las funciones de base dependen de los puntos de interpolación. Elegir un núcleo radial tal que la matriz de interpolación sea no singular es precisamente la definición de una función estrictamente definida positiva . Por esta razón, dichas funciones, incluidas la gaussiana , la cuadrática inversa y la multicuadrática inversa, se utilizan a menudo como funciones de base radial. ^{[ 6 ]}

Muchas funciones de base radial tienen un parámetro que controla su planitud o agudeza relativa. Este parámetro suele representarse mediante el símbolo${\displaystyle \varepsilon }$con la función volviéndose cada vez más plana a medida que${\displaystyle \varepsilon \to 0}$Por ejemplo, Rolland Hardy utilizó la fórmula${\displaystyle \varphi (r)={\sqrt {r^{2}+C}}}$para la multicuádrica ^{[ 7 ] [ 1 ]} , sin embargo, hoy en día la fórmula${\displaystyle \varphi (r)={\sqrt {1+(\varepsilon r)^{2}}}}$se utiliza en su lugar. Estas fórmulas son equivalentes salvo un factor de escala. Este factor es irrelevante ya que los vectores base tienen el mismo rango y los pesos de interpolación lo compensarán. Por convención, la función base se escala de tal manera que${\displaystyle \varphi (0)=1}$como se puede observar en los gráficos de las funciones gaussianas y las funciones de tipo bump .

• 
  Una función gaussiana para varias opciones de${\displaystyle \varepsilon }$
• 
  Un gráfico de la función de relieve escalada con varias opciones de parámetro de forma.

Una consecuencia de esta elección es que la matriz de interpolación se aproxima a la matriz identidad como${\displaystyle \varepsilon \to \infty }$Esto conduce a la estabilidad al resolver el sistema matricial. El interpolante resultante será, en general, una aproximación deficiente a la función, ya que será cercano a cero en todas partes, excepto cerca de los puntos de interpolación, donde alcanzará un pico pronunciado ; el llamado "interpolante de lecho de clavos" (como se observa en el gráfico de la derecha). 

En el extremo opuesto del espectro, el número de condición de la matriz de interpolación divergirá al infinito como${\displaystyle \varepsilon \to 0}$lo que conduce a un mal condicionamiento del sistema. En la práctica, se elige un parámetro de forma de modo que la matriz de interpolación esté "al borde del mal condicionamiento" (por ejemplo, con un número de condición de aproximadamente${\displaystyle 10^{12}}$(para punto flotante de doble precisión ).

A veces hay otros factores a considerar al elegir un parámetro de forma. Por ejemplo, la función de relieve.$${\displaystyle \varphi (r)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-(\varepsilon r)^{2}}}\right)&{\mbox{ for }}r<{\frac {1}{\varepsilon }}\\0&{\mbox{ otherwise}}\end{cases}}}$$ tiene un soporte compacto (es cero en todas partes excepto cuando${\displaystyle r<{\tfrac {1}{\varepsilon }}}$) lo que da como resultado una matriz de interpolación dispersa .

Algunas funciones de base radial, como las splines poliharmónicas, no tienen parámetro de forma.

• Kriging
• Función de base radial