Métodos sin malla

En el campo del análisis numérico , los métodos sin malla son aquellos que no requieren conexión entre los nodos del dominio de simulación, es decir, una malla , sino que se basan en la interacción de cada nodo con todos sus vecinos. Como consecuencia, las propiedades extensivas originales , como la masa o la energía cinética, ya no se asignan a los elementos de la malla, sino a los nodos individuales. Los métodos sin malla permiten simular algunos tipos de problemas que de otro modo serían difíciles, a costa de un mayor tiempo de cálculo y esfuerzo de programación. La ausencia de una malla permite simulaciones lagrangianas , en las que los nodos pueden moverse según el campo de velocidad .

Los métodos numéricos, como el método de diferencias finitas , el método de volúmenes finitos y el método de elementos finitos , se definieron originalmente sobre mallas de puntos de datos. En dichas mallas, cada punto tiene un número fijo de vecinos predefinidos, y esta conectividad entre vecinos se puede utilizar para definir operadores matemáticos como la derivada . Estos operadores se utilizan posteriormente para construir las ecuaciones que se van a simular, como las ecuaciones de Euler o las ecuaciones de Navier-Stokes .

Pero en simulaciones donde el material simulado puede moverse (como en la dinámica de fluidos computacional ) o donde pueden ocurrir grandes deformaciones del material (como en simulaciones de materiales plásticos ), la conectividad de la malla puede ser difícil de mantener sin introducir errores en la simulación. Si la malla se enreda o degenera durante la simulación, los operadores definidos en ella pueden dejar de proporcionar valores correctos. La malla puede recrearse durante la simulación (un proceso llamado remallado), pero esto también puede introducir errores, ya que todos los puntos de datos existentes deben mapearse a un conjunto de puntos de datos nuevo y diferente. Los métodos sin malla están diseñados para solucionar estos problemas. Los métodos sin malla también son útiles para:

• Simulaciones en las que crear una malla útil a partir de la geometría de un objeto 3D complejo puede ser especialmente difícil o requerir asistencia humana.
• Simulaciones en las que se pueden crear o destruir nodos, como en las simulaciones de cracking.
• Simulaciones en las que la geometría del problema puede desalinearse con una malla fija, como en las simulaciones de flexión.
• Simulaciones que contienen comportamiento no lineal del material, discontinuidades o singularidades.

En una simulación tradicional de diferencias finitas , el dominio de una simulación unidimensional sería alguna función${\displaystyle u(x,t)}$, representado como una malla de valores de datos${\displaystyle u_{i}^{n}}$en ciertos puntos${\displaystyle x_{i}}$, dónde

${\displaystyle i=0,1,2...}$

${\displaystyle n=0,1,2...}$

${\displaystyle x_{i+1}-x_{i}=h\ \forall i}$

${\displaystyle t_{n+1}-t_{n}=k\ \forall n}$

Podemos definir las derivadas que aparecen en la ecuación que se está simulando utilizando algunas fórmulas de diferencias finitas en este dominio, por ejemplo

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n} \over 2h}}$

y

${\displaystyle {\partial u \over \partial t}={u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n} \over k}}$

Entonces podemos usar estas definiciones de${\displaystyle u(x,t)}$y sus derivadas espaciales y temporales para escribir la ecuación que se está simulando en forma de diferencias finitas, y luego simular la ecuación con uno de los muchos métodos de diferencias finitas .

En este sencillo ejemplo, los pasos (aquí el paso espacial)${\displaystyle h}$y paso de tiempo${\displaystyle k}$) son constantes a lo largo de toda la malla, y los vecinos de malla izquierdo y derecho del valor de datos en${\displaystyle x_{i}}$son los valores en${\displaystyle x_{i-1}}$y${\displaystyle x_{i+1}}$En general, en diferencias finitas se pueden permitir pasos variables a lo largo de la malla, pero todos los nodos originales deben conservarse y solo pueden moverse independientemente deformando los elementos originales. Si tan solo dos de todos los nodos cambian de orden, o incluso si se agrega o elimina un solo nodo de la simulación, se crea un defecto en la malla original y la aproximación simple de diferencias finitas deja de ser válida.

La hidrodinámica de partículas suavizadas (SPH), uno de los métodos sin malla más antiguos, resuelve este problema tratando los puntos de datos como partículas físicas con masa y densidad que pueden moverse a lo largo del tiempo y transportar algún valor.${\displaystyle u_{i}}$con ellos. SPH define entonces el valor de${\displaystyle u(x,t)}$entre las partículas por

${\displaystyle u(x,t_{n})=\sum _{i}m_{i}{\frac {u_{i}^{n}}{\rho _{i}}}W(|x-x_{i}|)}$

dónde${\displaystyle m_{i}}$es la masa de la partícula${\displaystyle i}$,${\displaystyle \rho _{i}}$es la densidad de partículas${\displaystyle i}$, y${\displaystyle W}$es una función kernel que opera sobre puntos de datos cercanos y se elige por su suavidad y otras cualidades útiles. Por linealidad, podemos escribir la derivada espacial como

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}=\sum _{i}m_{i}{\frac {u_{i}^{n}}{\rho _{i}}}{\partial W(|x-x_{i}|) \over \partial x}}$

Entonces podemos usar estas definiciones de${\displaystyle u(x,t)}$y sus derivadas espaciales para escribir la ecuación que se simula como una ecuación diferencial ordinaria , y simular la ecuación con uno de los muchos métodos numéricos . En términos físicos, esto significa calcular las fuerzas entre las partículas y luego integrar estas fuerzas en el tiempo para determinar su movimiento.

La ventaja de SPH en esta situación es que las fórmulas para${\displaystyle u(x,t)}$y sus derivados no dependen de ninguna información de adyacencia sobre las partículas; pueden usar las partículas en cualquier orden, por lo que no importa si las partículas se mueven o incluso intercambian lugares.

Una desventaja de SPH es que requiere programación adicional para determinar los vecinos más cercanos de una partícula. Dado que la función kernel${\displaystyle W}$Dado que solo devuelve resultados distintos de cero para partículas cercanas dentro del doble de la "longitud de suavizado" (ya que normalmente elegimos funciones de núcleo con soporte compacto ), sería un desperdicio de esfuerzo calcular las sumas anteriores para cada partícula en una simulación grande. Por lo tanto, los simuladores SPH suelen requerir código adicional para acelerar este cálculo del vecino más cercano.

Uno de los primeros métodos sin malla es la hidrodinámica de partículas suavizadas , presentada en 1977. ^{[ 1 ]} Libersky et al. ^{[ 2 ]} fueron los primeros en aplicar SPH en mecánica de sólidos. Los principales inconvenientes de SPH son los resultados inexactos cerca de los límites y la inestabilidad de tensión que fue investigada por primera vez por Swegle. ^{[ 3 ]}

En la década de 1990 surgió una nueva clase de métodos sin malla basados ​​en el método de Galerkin . Este primer método, denominado método de elementos difusos ^{[ 4 ]} (DEM), desarrollado por Nayroles et al., utilizaba la aproximación MLS en la solución de Galerkin de ecuaciones diferenciales parciales, con derivadas aproximadas de la función MLS. Posteriormente, Belytschko fue pionero en el método de Galerkin sin elementos (EFG) ^{[ 5 ]} , que empleaba MLS con multiplicadores de Lagrange para imponer condiciones de contorno, cuadratura numérica de orden superior en la forma débil y derivadas completas de la aproximación MLS, lo que proporcionaba mayor precisión. Casi al mismo tiempo, surgió el método de partículas de núcleo reproductor ^{[ 6 ]} (RKPM), cuya aproximación estaba motivada en parte por la necesidad de corregir la estimación del núcleo en SPH: para obtener precisión cerca de los límites, en discretizaciones no uniformes y, en general, una precisión de orden superior. Cabe destacar que, en un desarrollo paralelo, se desarrollaron los métodos de puntos materiales ^{[ 7 ]} , que ofrecen capacidades similares. Los métodos de puntos materiales se utilizan ampliamente en la industria cinematográfica para simular la mecánica de sólidos con grandes deformaciones, como la nieve en la película Frozen . ^{[ 8 ]} Chen, Liu y Li desarrollaron extensamente RKPM y otros métodos sin malla a finales de la década de 1990 para una variedad de aplicaciones y diversas clases de problemas. ^{[ 9 ]} Durante la década de 1990 y posteriormente se desarrollaron otras variedades, incluidas las que se enumeran a continuación.

Los siguientes métodos numéricos se consideran generalmente dentro de la clase general de métodos "sin malla". Los acrónimos se indican entre paréntesis.

• Hidrodinámica de partículas suavizadas (SPH) (1977)
• Método de elementos difusos (DEM) (1992)
• Dinámica de partículas disipativas (DPD) (1992)
• Método de Galerkin sin elementos (EFG / EFGM) (1994)
• Método de partículas de núcleo reproductor (RKPM) (1995)
• Método de puntos finitos (MPF) (1996)
• Método de conjunto de puntos finitos (FPM) (1998)
• hp-clouds
• método de elementos naturales (NEM)
• método de puntos materiales (MPM)
• Petrov Galerkin local sin malla (MLPG) (1998) ^{[ 10 ]}
• Formulación sin malla de deformación generalizada (GSMF) (2016) ^{[ 11 ]}
• Partícula móvil semiimplícita (MPS)
• Método de diferencias finitas generalizadas (GFDM) ^{[ 12 ] [ 13 ]}
• Partícula en célula (PIC)
• Método de elementos finitos de partículas móviles (MPFEM)
• Método de nube finita (FCM)
• Método de nodos de frontera (BNM)
• Método de interpolación Kriging móvil sin malla (MK)
• Método de nube de límites (BCM)
• Método de soluciones fundamentales (MSF)
• Método de solución particular (MPS)
• Método de esferas finitas (MFS)
• Método de vórtices discretos (DVM)
• Método de partículas de núcleo reproductor (RKPM) (1995) ^{[ 14 ]}
• Método de partículas de núcleo reproductor generalizado/gradiente (2011) ^{[ 15 ]}
• Método de masa finita (FMM) (2000) ^{[ 16 ]}
• Método de interpolación de puntos suavizados (S-PIM) (2005). ^{[ 17 ]}
• Método de interpolación de puntos radiales locales sin malla (RPIM). ^{[ 17 ]}
• Método de colocación de funciones de base radial local (LRBFCM) ^{[ 18 ]}
• Método de dominios de vórtice viscoso (VVD)
• Método de Partículas de Fractura (CPM) (2004)
• Método de mínimos cuadrados discretos sin malla (DLSM) (2006)
• Método de partículas inmersas (IPM) (2006)
• Método de transporte óptimo sin malla (OTM) (2010) ^{[ 19 ]}
• Método de reemplazo repetido (RRM) (2012) ^{[ 20 ]}
• Método de ecuaciones integrales de base radial ^{[ 21 ]}
• Método sin malla de colocación de mínimos cuadrados (2001) ^{[ 22 ]}
• Método de funciones de base exponencial (EBF) (2010) ^{[ 23 ]}

Métodos relacionados:

• Mínimos cuadrados móviles (MLS): proporciona un método de aproximación general para un conjunto arbitrario de nodos.
• Métodos de partición de la unidad (PoUM): proporcionan una formulación de aproximación general utilizada en algunos métodos sin malla.
• Método de mezcla continua (enriquecimiento y acoplamiento de elementos finitos y métodos sin malla) – véase Huerta y Fernández-Méndez (2000)
• FEM extendido , FEM generalizado (XFEM, GFEM): variantes del método de elementos finitos (FEM) que combinan algunos aspectos sin malla.
• Método de elementos finitos suavizados (S-FEM) (2007)
• Método de suavizado de gradiente (GSM) (2008)
• Generación avanzada de nodos frontales (AFN) ^{[ 24 ]}
• Máxima entropía local (LME) – véase Arroyo y Ortiz (2006)
• Método de colocación sin malla espacio-temporal (STMCM) – véase Netuzhylov (2008) , Netuzhylov y Zilian (2009)
• Método de elementos finitos de interfaz sin malla (MIFEM) (2015): un método híbrido de elementos finitos sin malla para la simulación numérica de problemas de transformación de fase y flujo multifásico ^{[ 25 ].}

Las principales áreas de avance en los métodos sin malla son abordar problemas con la imposición de condiciones de contorno esenciales, la cuadratura numérica y el contacto y las grandes deformaciones. ^{[ 26 ]} La forma débil común requiere una imposición fuerte de las condiciones de contorno esenciales, pero los métodos sin malla en general carecen de la propiedad delta de Kronecker . Esto hace que la imposición de condiciones de contorno esenciales no sea trivial, al menos más difícil que en el método de elementos finitos , donde se pueden imponer directamente. Se han desarrollado técnicas para superar esta dificultad e imponer condiciones de forma fuerte. Se han desarrollado varios métodos para imponer las condiciones de contorno esenciales de forma débil , incluidos los multiplicadores de Lagrange , el método de Nitche y el método de penalización.

En cuanto a la cuadratura , generalmente se prefiere la integración nodal, que ofrece simplicidad, eficiencia y mantiene el método sin malla libre de cualquier malla (a diferencia del uso de la cuadratura de Gauss , que requiere una malla para generar puntos y pesos de cuadratura). Sin embargo, la integración nodal sufre de inestabilidad numérica debido a la subestimación de la energía de deformación asociada con modos de longitud de onda corta, ^{[ 27 ]} y también produce resultados inexactos y no convergentes debido a la subintegración de la forma débil. ^{[ 28 ]} Un avance importante en la integración numérica ha sido el desarrollo de una integración nodal conforme estabilizada (SCNI) que proporciona un método de integración nodal que no sufre ninguno de estos problemas. ^{[ 28 ]} El método se basa en el suavizado de deformación que satisface la prueba de parche de primer orden . Sin embargo, más tarde se observó que los modos de baja energía todavía estaban presentes en SCNI, y se han desarrollado métodos de estabilización adicionales. Este método se ha aplicado a diversos problemas, incluyendo placas delgadas y gruesas, poromecánica, problemas dominados por convección, entre otros. ^{[ 26 ]} Más recientemente, se ha desarrollado un marco para superar pruebas de parches de orden arbitrario, basado en un método de Petrov-Galerkin . ^{[ 29 ]}

Un avance reciente en métodos sin malla apunta al desarrollo de herramientas computacionales para la automatización en modelado y simulaciones. Esto es posible gracias a la denominada formulación débil debilitada (W2) basada en la teoría del espacio G. ^{[ 30 ] [ 31 ]} La formulación W2 ofrece posibilidades para formular varios modelos (uniformemente) "suaves" que funcionan bien con mallas triangulares. Dado que una malla triangular se puede generar automáticamente, resulta mucho más fácil en el remallado y, por lo tanto, permite la automatización en modelado y simulación. Además, los modelos W2 pueden hacerse lo suficientemente suaves (de manera uniforme) para producir soluciones de límite superior (para problemas de impulso de fuerza). Junto con modelos rígidos (como los modelos FEM totalmente compatibles), se puede acotar convenientemente la solución desde ambos lados. Esto permite una fácil estimación de errores para problemas generalmente complicados, siempre que se pueda generar una malla triangular. Los modelos W2 típicos son los Métodos de Interpolación de Puntos Suavizados (o S-PIM). ^{[ 17 ]} El S-PIM puede basarse en nodos (conocido como NS-PIM o LC-PIM), ^{[ 32 ]} en aristas (ES-PIM), ^{[ 33 ]} y en celdas (CS-PIM). ^{[ 34 ]} El NS-PIM se desarrolló utilizando la técnica denominada SCNI. ^{[ 28 ]} Se descubrió entonces que el NS-PIM es capaz de producir una solución de límite superior y sin bloqueo volumétrico. ^{[ 35 ]} Se encontró que el ES-PIM es superior en precisión, y el CS-PIM se comporta entre el NS-PIM y el ES-PIM. Además, las formulaciones W2 permiten el uso de funciones de base radial y polinómicas en la creación de funciones de forma (se adapta a las funciones de desplazamiento discontinuas, siempre que esté en el espacio G1), lo que abre más posibilidades para futuros desarrollos. La formulación W2 también ha llevado al desarrollo de la combinación de técnicas sin malla con las técnicas FEM bien desarrolladas, y ahora se puede utilizar una malla triangular con excelente precisión y la suavidad deseada. Una formulación típica de este tipo es el llamado método de elementos finitos suavizados (o S-FEM). ^{[ 36 ]} El S-FEM es la versión lineal del S-PIM, pero con la mayoría de las propiedades del S-PIM y mucho más simple.

Existe la percepción generalizada de que los métodos sin malla son mucho más costosos que sus contrapartes FEM. Sin embargo, un estudio reciente ha descubierto que algunos métodos sin malla, como S-PIM y S-FEM, pueden ser mucho más rápidos que sus contrapartes FEM. ^{[ 17 ] [ 36 ]}

Los métodos S-PIM y S-FEM funcionan bien para problemas de mecánica de sólidos. Para problemas de CFD, la formulación puede ser más simple, mediante una formulación fuerte. Recientemente también se ha desarrollado un método de suavizado de gradiente (GSM) para problemas de CFD, que implementa la idea de suavizado de gradiente en forma fuerte. ^{[ 37 ] [ 38 ]} El GSM es similar a [FVM], pero utiliza operaciones de suavizado de gradiente exclusivamente de forma anidada, y es un método numérico general para EDP.

La integración nodal se ha propuesto como una técnica para utilizar elementos finitos y emular un comportamiento sin malla. Sin embargo, el obstáculo que debe superarse al utilizar elementos integrados nodalmente es que las cantidades en los puntos nodales no son continuas y los nodos se comparten entre varios elementos.

• Mecánica del continuo
• Método de elementos finitos suavizados
• Shaofan Li
• Forma débil debilitada
• Método de elementos de contorno
• Método de contorno inmerso
• Código de plantilla
• Método de partículas

• El blog de USACM sobre métodos sin malla