Método de puntos finitos

El método de puntos finitos ( FPM ) es un método sin malla para resolver ecuaciones diferenciales parciales (EDP) sobre distribuciones dispersas de puntos. El FPM fue propuesto a mediados de los años noventa en (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz y Taylor, 1996a), ^[1] (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz, Taylor y Sacco, 1996b) ^[2] y (Oñate y Idelsohn, 1998a) ^[3] con el propósito de facilitar la solución de problemas que involucran geometrías complejas, superficies libres, límites móviles y refinamiento adaptativo . Desde entonces, el FPM ha evolucionado considerablemente, mostrando precisión satisfactoria y capacidades para tratar diferentes problemas de mecánica de fluidos y sólidos.

De manera similar a otros métodos libres de malla para EDP, el método de punto finito (FPM) tiene sus orígenes en técnicas desarrolladas para el ajuste e interpolación de datos dispersos, básicamente en la línea de los métodos de mínimos cuadrados ponderados (WLSQ). Estos últimos pueden considerarse como formas particulares del método de mínimos cuadrados móviles (MLS) propuesto por Lancaster y Salkauskas ^[4] . Los métodos WLSQ han sido ampliamente utilizados en técnicas libres de malla porque permiten retener la mayor parte de los MLS, pero son más eficientes y simples de implementar. Con estos objetivos en mente, una investigación destacada que condujo al desarrollo del FPM comenzó en (Oñate, Idelsohn y Zienkiewicz, 1995a) ^[5] y (Taylor, Zienkiewicz, Oñate e Idelsohn, 1995). ^[6] La técnica propuesta se caracterizó por aproximaciones WLSQ sobre nubes locales de puntos y un procedimiento de discretización de ecuaciones basado en la colocación de puntos (en la línea de los trabajos de Batina, 1989, ^[7] 1992 ^[8] ). Las primeras aplicaciones del FPM se centraron en problemas de flujo compresible adaptativo (Fischer, Onate e Idelsohn, 1995; ^[9] Oñate, Idelsohn y Zienkiewicz, 1995a; ^[5] Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz y Fisher, 1995b ^[10] ). También se analizaron los efectos sobre la aproximación de las nubes locales y funciones de ponderación utilizando bases polinomiales lineales y cuadráticas (Fischer, 1996). ^[11] Estudios adicionales en el contexto de problemas de convección-difusión y flujo incompresible dieron al FPM una base más sólida; cf. (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz y Taylor, 1996a) ^[1] y (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz, Taylor y Sacco, 1996b). ^[2] Estos trabajos y (Oñate y Idelsohn, 1998) ^[3] definieron la técnica básica de FPM en uso hoy en día.

La aproximación en el FPM se puede resumir de la siguiente manera. Para cada punto en el dominio de análisis ( punto estrella ), se construye localmente una solución aproximada utilizando un subconjunto de puntos de apoyo circundantes , que pertenecen al dominio del problema ( nube local de puntos ). La aproximación se calcula como una combinación lineal de los valores nodales desconocidos de la nube (o parámetros) y ciertos coeficientes métricos. Estos se obtienen resolviendo un problema WLSQ a nivel de la nube, en el que las distancias entre los parámetros nodales y la solución aproximada se minimizan en un sentido LSQ. Una vez que se conocen los coeficientes métricos de aproximación, las EDP que gobiernan el problema se muestrean en cada punto estrella utilizando un método de colocación . Las variables continuas (y sus derivadas) se reemplazan en las ecuaciones muestreadas por las formas aproximadas discretas, y la solución del sistema resultante permite calcular los valores nodales desconocidos. Por lo tanto, se puede obtener la solución aproximada que satisface las ecuaciones que gobiernan el problema. Es importante señalar que el carácter altamente local del FPM hace que el método sea adecuado para implementar esquemas de soluciones paralelas eficientes. $Estilo de visualización x_{i}}$${\estilo de visualización \Omega}$$estilo de visualización x_{j}}$ ${\displaystyle \Omega__{i}}$

La construcción de la aproximación FPM típica se describe en (Oñate & Idelsohn, 1998). ^[3] Se puede encontrar un análisis de los parámetros de aproximación en (Ortega, Oñate & Idelsohn, 2007) ^[12] y se lleva a cabo un estudio más completo en (Ortega, 2014). ^[13] También se han propuesto otros enfoques, véase por ejemplo (Boroomand, Tabatabaei y Oñate, 2005). ^[14] Se presenta una extensión de la aproximación FPM en (Boroomand, Najjar & Oñate, 2009). ^[15]

Las primeras líneas de investigación y aplicaciones del FPM a los problemas de flujo de fluidos se resumen en (Fischer, 1996). ^[11] Allí, se estudiaron problemas convectivos-difusivos utilizando aproximaciones polinómicas LSQ y WLSQ. El estudio se centró en los efectos de la nube de puntos y las funciones de ponderación sobre la precisión de la aproximación local, lo que ayudó a comprender el comportamiento básico del FPM. Los resultados mostraron que la aproximación FPM 1D conduce a formas derivadas discretas similares a las obtenidas con aproximaciones de diferencia central, que son precisas de segundo orden. Sin embargo, la precisión se degrada a primer orden para nubes no simétricas, dependiendo de la función de ponderación. También se definieron criterios preliminares sobre la selección de puntos que conforman las nubes locales con el objetivo de mejorar el mal condicionamiento del problema de minimización. El solucionador de flujo empleado en ese trabajo se basó en un esquema de Taylor-Galerkin de dos pasos con disipación artificial explícita. Los ejemplos numéricos implicaron problemas bidimensionales no viscosos subsónicos, transónicos y supersónicos, pero también se proporcionó un caso de prueba viscoso de bajo número de Reynolds. En general, los resultados obtenidos en este trabajo fueron satisfactorios y demostraron que la introducción de ponderación en la minimización de LSQ conduce a resultados superiores (se utilizó una base lineal).

En una línea de investigación similar, se introdujo una técnica de estabilización residual derivada en términos de balanceo de flujo en un dominio finito, conocida como Cálculo de Incrementos Finitos (FIC) (Oñate, 1996, ^[16] 1998 ^[17] ). Los resultados fueron comparables a los obtenidos con disipación artificial explícita, pero con la ventaja de que la estabilización en FIC se introduce de manera consistente, ver (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz, Taylor & Sacco, 1996b) ^[2] y (Oñate & Idelsohn, 1998a). ^[3]

Entre estos desarrollos, el tema de la generación de puntos fue abordado por primera vez en (Löhner & Oñate, 1998). ^[18] Basándose en una técnica de frente avanzado, los autores demostraron que las discretizaciones de puntos adecuadas para cálculos sin malla se pueden generar de forma más eficiente al evitar los controles de calidad habituales necesarios en la generación de malla convencional . Se lograron tiempos de generación altamente competitivos en comparación con los malladores tradicionales, lo que demuestra por primera vez que los métodos sin malla son una alternativa factible para aliviar los problemas de discretización.

Los flujos incompresibles 2D fueron estudiados por primera vez en (Oñate, Sacco & Idelsohn, 2000) ^[19] utilizando un método de proyección estabilizado a través de la técnica FIC. Un análisis detallado de este enfoque fue realizado en (Sacco, 2002). ^[20] Los logros sobresalientes de ese trabajo han dado al FPM una base más sólida; entre ellos, la definición de bases de aproximación locales y normalizadas, un procedimiento para construir nubes locales de puntos basado en la triangulación local de Delaunay y un criterio para evaluar la calidad de la aproximación resultante. Las aplicaciones numéricas presentadas se enfocaron principalmente en flujos incompresibles bidimensionales (viscosos e inviscosos), pero también se proporcionó un ejemplo de aplicación tridimensional.

También es de destacar una aplicación preliminar del FPM en un marco lagrangiano, presentada en (Idelsohn, Storti & Oñate, 2001), ^{[21] . A pesar de los interesantes resultados obtenidos para flujos} de superficie libre incompresibles , esta línea de investigación no fue continuada bajo el FPM y las formulaciones posteriores se basaron exclusivamente en descripciones de flujo euleriano.

La primera aplicación del FPM a la solución de flujos compresibles 3D fue presentada en un trabajo pionero de (Löhner, Sacco, Oñate & Idelsohn, 2002). ^[22] Allí se desarrolló un procedimiento confiable y general para construir nubes locales de puntos (basado en una técnica de Delaunay) y un esquema adecuado para resolver las ecuaciones de flujo. En el esquema de solución propuesto, las derivadas discretas del flujo se escriben a lo largo de los bordes que conectan los puntos de la nube como una expresión central de tipo diferencia más un término sesgado hacia arriba que proporciona estabilización convectiva. Para este propósito se utilizó un solucionador de Riemann aproximado de Roe y la división de vectores de flujo de van Leer. El enfoque propuesto es más preciso (también más costoso) que los métodos de disipación artificial y, además, no requiere la definición de medidas geométricas en la nube local y parámetros dependientes del problema. La integración temporal de las ecuaciones se realizó a través de un esquema explícito de múltiples etapas en la línea de los métodos de Runge-Kutta.

Algunos años después, se llevaron a cabo investigaciones adicionales en relación con las aproximaciones FPM 3D en (Ortega, Oñate e Idelsohn, 2007). ^[12] Este trabajo se centró en la construcción de aproximaciones robustas independientemente de las características del soporte local. Con este fin, se propuso el ajuste automático local de la función de ponderación y otros parámetros de aproximación. Otras aplicaciones 3D del método involucraron flujos aerodinámicos compresibles con refinamiento adaptativo (Ortega, Oñate e Idelsohn, 2009) ^[23] y problemas de contorno en movimiento/deformación (Ortega, Oñate e Idelsohn, 2013). ^[24] En estos trabajos, el FPM mostró robustez y precisión satisfactorias, y capacidades para abordar cálculos prácticos. Entre otros logros, se demostró que una regeneración completa de la discretización del modelo podría ser una estrategia de solución asequible, incluso en grandes problemas de simulación. Este resultado presenta nuevas posibilidades para el análisis sin malla de problemas de dominio en movimiento/deformación. El FPM también se aplicó con éxito a problemas adaptativos de aguas someras en (Ortega, Oñate, Idelsohn y Buachart, 2011) ^[25] y (Buachart, Kanok-Nukulchai, Ortega y Oñate, 2014). ^[26] Una propuesta para explotar las ventajas de la falta de malla en problemas de flujo viscoso de alto Reynolds se presenta en (Ortega, Oñate, Idelsohn y Flores, 2014a). ^[27]

En el mismo campo de aplicaciones, se llevó a cabo un estudio importante sobre la precisión, el costo computacional y el rendimiento paralelo del FPM en (Ortega, Oñate, Idelsohn y Flores, 2014b). ^[28] Allí, el FPM se comparó con un solucionador equivalente basado en elementos finitos, que proporcionó un estándar para evaluar tanto las características del solucionador sin malla como su idoneidad para abordar aplicaciones prácticas. En este trabajo se propusieron algunas simplificaciones de la técnica FPM para mejorar la eficiencia y reducir la brecha de rendimiento con FEM. Luego, se realizaron estudios de convergencia de cuadrícula utilizando una configuración de ala-cuerpo. Los resultados mostraron una precisión y un rendimiento comparables, revelando que el FPM es competitivo con respecto a su contraparte FEM. Esto es importante porque las técnicas sin malla a menudo se consideran poco prácticas debido a la baja eficiencia de las implementaciones iniciales.

El FPM también se ha aplicado en aeroacústica en (Bajko, Cermak y Jicha, 2014). ^[29] El esquema de solución propuesto se basa en un solucionador de Riemann linealizado y explota con éxito las ventajas de las aproximaciones FPM de alto orden. Los resultados obtenidos son indicativos del potencial del FPM para abordar problemas de propagación del sonido.

Los esfuerzos actuales están orientados principalmente a explotar las capacidades del FPM para trabajar en entornos paralelos para resolver problemas prácticos a gran escala, particularmente en áreas donde los procedimientos sin malla pueden hacer contribuciones útiles, por ejemplo, problemas que involucran geometría compleja, dominio de movimiento/deformación, refinamiento adaptativo y fenómenos multiescala .