Refinamiento adaptativo de la malla

En el análisis numérico , el refinamiento adaptativo de malla ( AMR ) es un método para ajustar la precisión de una solución en ciertas regiones sensibles o turbulentas de la simulación, de forma dinámica y durante el cálculo. Cuando las soluciones se calculan numéricamente, suelen limitarse a cuadrículas cuantificadas predeterminadas, como las del plano cartesiano, que constituyen la malla computacional. Sin embargo, muchos problemas de análisis numérico no requieren una precisión uniforme en las cuadrículas numéricas utilizadas para la representación gráfica o la simulación computacional, y sería más conveniente refinar la cuantificación de áreas específicas de los gráficos que necesitan precisión únicamente en las regiones que requieren dicha precisión. El refinamiento adaptativo de malla proporciona un entorno de programación dinámica que permite adaptar la precisión del cálculo numérico en función de los requisitos del problema en áreas específicas de gráficos multidimensionales que necesitan precisión, manteniendo las demás regiones con niveles inferiores de precisión y resolución.

Esta técnica dinámica de adaptar la precisión computacional a requisitos específicos se atribuye a Marsha Berger , Joseph Oliger y Phillip Colella, quienes desarrollaron un algoritmo para la generación dinámica de mallas denominado refinamiento de malla adaptativo local ( AMR). Desde entonces, el uso de AMR ha demostrado ser muy útil y se ha empleado en el estudio de problemas de turbulencia en hidrodinámica, así como en el estudio de estructuras a gran escala en astrofísica, como en la simulación cosmológica del Bolshoi .

En una serie de artículos , Marsha Berger , Joseph Oliger y Phillip Colella desarrollaron un algoritmo para el mallado dinámico llamado refinamiento de malla adaptativo local . ^{[ 1 ] [ 2 ]} El algoritmo comienza con todo el dominio computacional cubierto con una malla cartesiana regular de nivel base de resolución gruesa . A medida que avanza el cálculo, las celdas individuales de la malla se etiquetan para su refinamiento, utilizando un criterio que puede ser proporcionado por el usuario (por ejemplo, la masa por celda permanece constante, por lo que las regiones de mayor densidad están más altamente resueltas) o basado en la extrapolación de Richardson .

Todas las celdas etiquetadas se refinan, lo que significa que se superpone una cuadrícula más fina sobre la gruesa. Tras el refinamiento, los parches individuales de la cuadrícula, con un nivel de refinamiento fijo, se envían a un integrador que avanza esas celdas en el tiempo. Finalmente, se implementa un procedimiento de corrección para ajustar la transferencia a lo largo de las interfaces de la cuadrícula gruesa y fina, asegurando que la cantidad de cualquier magnitud conservada que sale de una celda se equilibre exactamente con la cantidad que entra en la celda adyacente. Si en algún momento el nivel de refinamiento de una celda es mayor del requerido, la cuadrícula de alta resolución puede eliminarse y reemplazarse por una más gruesa.

Esto permite al usuario resolver problemas que son completamente intratables en una cuadrícula uniforme ; por ejemplo, los astrofísicos han utilizado AMR para modelar el núcleo de una nube molecular gigante en colapso hasta una resolución efectiva de 131.072 celdas por radio de nube inicial , lo que corresponde a una resolución de ^10¹⁵ celdas en una cuadrícula uniforme. ^{[ 3 ]}

Se ha introducido el refinamiento avanzado de mallas mediante funcionales. ^{[ 4 ]} Los funcionales permiten generar cuadrículas y proporcionan adaptación de malla. Algunos funcionales avanzados incluyen los funcionales de Winslow y Liao modificado. ^{[ 5 ]}

Al calcular la solución a las ecuaciones de aguas poco profundas , la solución (altura del agua) podría calcularse solo para puntos separados por unos pocos pies, y se asumiría que entre esos puntos la altura varía suavemente. El factor limitante para la resolución de la solución es, por lo tanto, el espaciado de la malla: no habrá características de la solución numérica en escalas menores que el espaciado de la malla. El refinamiento adaptativo de la malla (AMR) cambia el espaciado de los puntos de la malla para modificar la precisión con la que se conoce la solución en esa región. En el ejemplo de aguas poco profundas, la malla podría tener un espaciado general de unos pocos pies, pero podría refinarse adaptativamente para tener puntos de malla cada pocas pulgadas en lugares con grandes olas.

Si la región en la que se desea una mayor resolución permanece localizada durante el transcurso del cálculo, se puede utilizar el refinamiento de malla estática , en el que la cuadrícula está más finamente espaciada en algunas regiones que en otras, pero mantiene su forma a lo largo del tiempo.

Las ventajas de un esquema de mallado dinámico son:

1. Mayor ahorro computacional en comparación con un enfoque de malla estática.
2. Mayor ahorro en almacenamiento en comparación con un enfoque de red estática.
3. Control total de la resolución de la malla, en comparación con la resolución fija de un enfoque de malla estática, o la adaptabilidad basada en el lagrangiano de la hidrodinámica de partículas suavizadas .
4. En comparación con las mallas estáticas preajustadas, el enfoque adaptativo requiere un conocimiento previo menos detallado sobre la evolución de la solución.
5. Los costos computacionales heredan propiedades del sistema físico. ^{[ 6 ]}

Además, los métodos AMR se han desarrollado y aplicado a una amplia gama de problemas de mecánica de fluidos, incluidos flujos bifásicos, ^{[ 7 ]} interacciones fluido-estructura, ^{[ 8 ]} y convertidores de energía undimotriz. ^{[ 9 ]}

• Tamaño de paso adaptativo
• Marco de cactus
• Método multigrid
• Árbol cuatripartito
• Silo (biblioteca)