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Método de elementos finitos suavizados

Los métodos de elementos finitos suavizados ( S-FEM ) [1] son ​​una clase particular de algoritmos de simulación numérica para la simulación de fenómenos físicos. Se desarrollar...

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Los métodos de elementos finitos suavizados ( S-FEM ) [1] son ​​una clase particular de algoritmos de simulación numérica para la simulación de fenómenos físicos. Se desarrollaron combinando métodos sin malla [2] con el método de elementos finitos . Los S-FEM son aplicables tanto a problemas de mecánica de sólidos como de dinámica de fluidos , aunque hasta ahora se han aplicado principalmente a los primeros.

Descripción

La idea esencial del S-FEM es utilizar una malla de elementos finitos (en particular, una malla triangular) para construir modelos numéricos de buen rendimiento. Esto se logra modificando el campo de deformaciones compatible o construyendo un campo de deformaciones utilizando únicamente los desplazamientos, con la esperanza de que un modelo de Galerkin que utilice el campo de deformaciones modificado/construido pueda ofrecer algunas buenas propiedades. Dicha modificación/construcción se puede realizar dentro de los elementos, pero más a menudo fuera de ellos (conceptos sin malla): se incorpora la información de los elementos vecinos. Naturalmente, el campo de deformaciones tiene que satisfacer ciertas condiciones, y la forma débil estándar de Galerkin debe modificarse en consecuencia para garantizar la estabilidad y la convergencia. En [3] ("Smoothed Finite Element Methods (S-FEM): An Overview and Recent Developments") se puede encontrar una revisión completa del S-FEM que abarca tanto la metodología como las aplicaciones.

Historia

El desarrollo de S-FEM comenzó a partir de los trabajos sobre métodos sin malla, donde se desarrolló la denominada formulación débil debilitada (W2) basada en la teoría del espacio G [4] . La formulación W2 ofrece posibilidades para formular varios modelos "suaves" (uniformemente) que funcionan bien con mallas triangulares. Debido a que la malla triangular se puede generar automáticamente, se vuelve mucho más fácil volver a mallar y, por lo tanto, automatizar el modelado y la simulación. Además, los modelos W2 se pueden hacer lo suficientemente suaves (de manera uniforme) para producir soluciones de límite superior (para problemas de impulso de fuerza). Junto con los modelos rígidos (como los modelos FEM totalmente compatibles), se puede limitar convenientemente la solución desde ambos lados. Esto permite una fácil estimación de errores para problemas generalmente complicados, siempre que se pueda generar una malla triangular. Los modelos W2 típicos son los métodos de interpolación de puntos suavizados (o S-PIM). [5] El S-PIM puede estar basado en nodos (conocido como NS-PIM o LC-PIM), [6] basado en bordes (ES-PIM), [7] y basado en celdas (CS-PIM). [8] El NS-PIM se desarrolló utilizando la técnica denominada SCNI. [9] Luego se descubrió que el NS-PIM es capaz de producir una solución de límite superior y sin bloqueo volumétrico. [10] El ES-PIM es superior en precisión, y el CS-PIM se comporta entre el NS-PIM y el ES-PIM. Además, las formulaciones W2 permiten el uso de funciones de base polinómicas y radiales en la creación de funciones de forma (acomoda las funciones de desplazamiento discontinuas, siempre que se encuentren en el espacio G1), lo que abre más espacio para futuros desarrollos. [ cita requerida ]

El S-FEM es en gran medida la versión lineal del S-PIM, pero con la mayoría de las propiedades del S-PIM y mucho más simple. También tiene variaciones de NS-FEM, ES-FEM y CS-FEM. La propiedad principal del S-PIM también se puede encontrar en el S-FEM. [11]

Lista de modelos S-FEM

  • Método de elementos finitos suavizado basado en nodos (NS-FEM) [12]
  • Método de elementos finitos suavizado basado en bordes (ES-FEM) [13]
  • FEM suavizado basado en caras (FS-FEM) [14]
  • FEM suavizado basado en células (CS-FEM) [15] [16] [17]
  • Método de elementos finitos suavizado basado en nodos y bordes (NS/ES-FEM) [18] [19]
  • Método Alpha FEM (Alpha FEM) [20] [21]
  • Método Beta FEM (Beta FEM) [22] [23]

Aplicaciones

S-FEM se ha aplicado para resolver los siguientes problemas físicos:

  1. Mecánica de estructuras sólidas y piezoeléctricos; [24] [25]
  2. Mecánica de fracturas y propagación de grietas; [26] [27] [28] [29]
  3. Problemas no lineales y de contacto; [30] [31]
  4. Análisis estocástico; [32]
  5. Transferencia de calor; [33] [34]
  6. Acústica estructural; [35] [36] [37]
  7. Análisis adaptativo; [38] [18]
  8. Análisis limitado; [39]
  9. Modelado de plasticidad cristalina. [40]

Formulación básica de S-FEM

El problema fundamental que aborda SFEM es típicamente la solución de la ecuación de Poisson con condiciones de contorno de Dirichlet, dadas como sigue:

Δu+f=0 en Ω, u=g en ΓD

donde Ω es el dominio y Γ es su límite, que consiste en ΓD=Γ. Aquí, u: Ω→R es la solución de prueba, f: Ω→R es una función dada y g representa las condiciones de límite de Dirichlet.

El método S-FEM implica la discretización del dominio Ω mediante mallas de elementos finitos, que pueden ser globales o locales. La malla global representa el dominio completo, mientras que la malla local se utiliza para discretizar regiones que requieren alta resolución dentro del dominio global. Se supone que el dominio local está incluido en el dominio global (ΩL​⊆ΩG).

Formulación débil

La forma débil del problema se deriva multiplicando la ecuación por funciones de prueba adecuadas e integrando sobre el dominio. En SFEM, la forma débil se expresa de la siguiente manera: Dados f y g, encuentre u∈U tal que para todo w∈V,

aΩ​(w,u)=LΩ​(w)

donde aΩ es una forma bilineal y LΩ es una funcional lineal.

Formulación S-FEM

En S-FEM, la solución de prueba u y las funciones de prueba w se definen por separado para los dominios global (ΩG) y local (ΩL). Los espacios de solución de prueba UG, UL y los espacios de funciones de prueba VG, VL se definen en consecuencia. La forma débil en la formulación S-FEM se convierte en:

aΩ′​(w,u)=LΩ′​(w)

donde aΩ′​(⋅,⋅) y LΩ′​(⋅) son formas bilineales modificadas y funcionales lineales, respectivamente, para acomodar el enfoque S-FEM.

Desafíos

Uno de los principales desafíos del S-FEM es la dificultad de integrar con exactitud las submatrices que representan la relación entre las mallas globales y locales (KGL y KLG). Además, la matriz K puede volverse singular, lo que plantea desafíos numéricos para la solución de las ecuaciones algebraicas lineales resultantes.

Estos desafíos y posibles soluciones se analizan en detalle en la literatura, con el objetivo de mejorar la eficiencia y la precisión del S-FEM para diversas aplicaciones. [41]

Método de modelado de elementos finitos (S-FEM) de B-spline (BFSEM)

El S-FEM puede modelar razonablemente un dominio analítico superponiendo mallas con diferentes resoluciones espaciales, tiene ventajas intrínsecas de alta precisión local, bajo tiempo de cálculo y procedimiento de mallado simple. Sin embargo, tiene desventajas como la precisión de la integración numérica y la singularidad de la matriz. Aunque se han propuesto varias técnicas adicionales para mitigar estas limitaciones, son computacionalmente costosas o ad-hoc, y restan valor a las fortalezas del método. Estos problemas se pueden abordar incorporando funciones B-spline cúbicas con continuidad al cuadrado C a través de los límites de los elementos como la función base global . Para evitar la singularidad de la matriz, se aplican diferentes funciones base a diferentes mallas. En un estudio reciente, se utilizaron funciones base de Lagrange como funciones base locales. Con este método, la integración numérica se puede calcular con suficiente precisión sin ninguna técnica adicional utilizada en el S-FEM convencional. Además, el método propuesto evita la singularidad de la matriz y es superior a los métodos convencionales en términos de convergencia para resolver ecuaciones lineales. Por lo tanto, el método propuesto tiene el potencial de reducir el tiempo de cálculo manteniendo una precisión comparable a la del S-FEM convencional. [41]

Véase también

Referencias

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  2. ^ Liu, GR 2.ª ed.: 2009 Métodos sin malla , CRC Press. 978-1-4200-8209-9
  3. ^ W. Zeng, GR Liu. Métodos de elementos finitos suavizados (S-FEM): una descripción general y desarrollos recientes. Archivos de métodos computacionales en ingeniería , 2016, doi: 10.1007/s11831-016-9202-3
  4. ^ GR Liu. Teoría del espacio AG y una forma débil debilitada (W2) para una formulación unificada de métodos compatibles e incompatibles: Parte I teoría y Parte II aplicaciones a problemas de mecánica de sólidos. Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería , 81: 1093-1126, 2010
  5. ^ Liu, GR 2.ª ed.: 2009 Métodos sin malla , CRC Press. 978-1-4200-8209-9
  6. ^ Liu GR, Zhang GY, Dai KY, Wang YY, Zhong ZH, Li GY y Han X, Un método de interpolación de puntos linealmente conforme (LC-PIM) para problemas de mecánica de sólidos 2D, International Journal of Computational Methods , 2(4): 645-665, 2005.
  7. ^ GR Liu, GR Zhang. Métodos de interpolación de puntos suavizados basados ​​en aristas. Revista internacional de métodos computacionales , 5(4): 621-646, 2008
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