aproximación racional simple

La aproximación racional simple (ARS) es un subconjunto de los métodos de interpolación que utilizan funciones racionales . En concreto, la ARS interpola una función dada con una función racional específica cuyos polos y ceros son simples, lo que significa que no hay multiplicidad de polos y ceros. En ocasiones, solo implica polos simples.

La principal aplicación de SRA radica en encontrar los ceros de funciones seculares . En análisis numérico, es bien conocido el algoritmo de divide y vencerás para hallar los autovalores y autovectores de diversos tipos de matrices . En sentido estricto, SRA implica una interpolación específica mediante funciones racionales simples como parte del algoritmo de divide y vencerás. Dado que dichas funciones seculares consisten en una serie de funciones racionales con polos simples, SRA es la mejor opción para interpolar los ceros de la función secular. Además, según investigaciones previas, un cero simple situado entre dos polos adyacentes puede interpolarse considerablemente bien utilizando una función racional con dos polos dominantes como función de aproximación.

El origen de la interpolación con funciones racionales se puede encontrar en el trabajo previo realizado por Edmond Halley . La fórmula de Halley se conoce como método iterativo de tercer orden de un punto para resolver${\displaystyle \,f(x)=0}$mediante la aproximación de una función racional definida por

${\displaystyle h(z)={\frac {a}{z+b}}+c.}$

Podemos determinar a, b y c de modo que

${\displaystyle h^{(i)}(x)=f^{(i)}(x),\qquad i=0,1,2.}$

Luego, resolver${\displaystyle \,h(z)=0}$produce la iteración

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}\left({\frac {1}{1-{\frac {f(x_{n})f''(x_{n})}{2(f'(x_{n}))^{2}}}}}\right).}$

Esto se conoce como la fórmula de Halley. Esta interpretación geométrica${\displaystyle h(z)}$fue derivado por Gander (1978), donde la iteración equivalente también fue derivada aplicando el método de Newton a

${\displaystyle g(x)={\frac {f(x)}{\sqrt {f'(x)}}}=0.}$

A esto lo llamamos interpretación algebraica.${\displaystyle g(x)}$de la fórmula de Halley.

De manera similar, podemos derivar una variación de la fórmula de Halley basada en un método iterativo de segundo orden de un punto para resolver${\displaystyle \,f(x)=\alpha (\neq 0)}$utilizando una aproximación racional simple por

${\displaystyle h(z)={\frac {a}{z+b}}.}$

Entonces necesitamos evaluar

${\displaystyle h^{(i)}(x)=f^{(i)}(x),\qquad i=0,1.}$

Así tenemos

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})-\alpha }{f'(x_{n})}}\left({\frac {f(x_{n})}{\alpha }}\right).}$

La interpretación algebraica de esta iteración se obtiene resolviendo

${\displaystyle g(x)=1-{\frac {\alpha }{f(x)}}=0.}$

Se sabe que este método de segundo orden de un punto muestra una convergencia cuadrática local si la raíz de la ecuación es simple. SRA implica estrictamente esta interpolación de segundo orden de un punto mediante una función racional simple.

Podemos observar que incluso el método de tercer orden es una variación del método de Newton. Vemos que los pasos de Newton se multiplican por ciertos factores. Estos factores se denominan factores de convergencia de las variaciones y son útiles para analizar la tasa de convergencia. Véase Gander (1978).

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