Polinomio característico

En álgebra lineal , el polinomio característico de una matriz cuadrada es un polinomio invariante bajo la semejanza de matrices y cuyas raíces son los autovalores . Entre sus coeficientes se encuentran el determinante y la traza de la matriz. El polinomio característico de un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita es el polinomio característico de la matriz de dicho endomorfismo sobre cualquier base (es decir, el polinomio característico no depende de la elección de la base ). La ecuación característica , también conocida como ecuación determinante , ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} es la ecuación que se obtiene al igualar el polinomio característico a cero.

En la teoría espectral de grafos , el polinomio característico de un grafo es el polinomio característico de su matriz de adyacencia . ^{[ 4 ]}

Los valores y vectores propios desempeñan un papel fundamental en el álgebra lineal , ya que, dada una transformación lineal , un vector propio es un vector cuya dirección no cambia con la transformación, y el valor propio correspondiente es la medida del cambio de magnitud resultante del vector.

Más precisamente, supongamos que la transformación está representada por una matriz cuadrada.${\displaystyle A.}$Entonces un vector propio${\displaystyle \mathbf {v} }$y el valor propio correspondiente${\displaystyle \lambda }$debe satisfacer la ecuación $${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v},}$$ o, equivalentemente (ya que ${\displaystyle \lambda \mathbf {v} =\lambda I\mathbf {v} }$), $${\displaystyle (\lambda IA)\mathbf {v} =\mathbf {0} }$$ dónde${\displaystyle I}$ es la matriz identidad y${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$ (aunque el vector cero satisface esta ecuación para cada${\displaystyle \lambda ,}$no se considera un vector propio).

De ello se deduce que la matriz${\displaystyle (\lambda IA)}$debe ser singular y su determinante $${\displaystyle \det(\lambda I-A)=0}$$ debe ser cero.

En otras palabras, los autovalores de A son las raíces de $${\displaystyle \det(xI-A),}$$ que es un polinomio mónico en x de grado n si A es una matriz n × n . Este polinomio es el polinomio característico de A.

Considere un${\displaystyle n\times n}$matriz${\displaystyle A.}$El polinomio característico de${\displaystyle A,}$denotado por${\displaystyle p_{A}(t),}$es el polinomio definido por ^{[ 5 ]}$${\displaystyle p_{A}(t)=\det(tI-A)}$$ dónde${\displaystyle I}$denota el${\displaystyle n\times n}$matriz identidad .

Algunos autores definen el polinomio característico como${\displaystyle \det(A-tI).}$Ese polinomio difiere del definido aquí por un signo.${\displaystyle (-1)^{n},}$por lo que no hay diferencia para propiedades como tener como raíces los valores propios de${\displaystyle A}$; sin embargo, la definición anterior siempre da un polinomio mónico , mientras que la definición alternativa es mónica solo cuando${\displaystyle n}$es par.

Para calcular el polinomio característico de la matriz $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$$ Se calcula el determinante de lo siguiente: $${\displaystyle tI-A={\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t-0\end{pmatrix}}}$$ y se descubrió que${\displaystyle (t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1\,\!,}$el polinomio característico de${\displaystyle A.}$

Otro ejemplo utiliza funciones hiperbólicas de un ángulo hiperbólico φ . Para la matriz, tome $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cosh(\varphi )&\sinh(\varphi )\\\sinh(\varphi )&\cosh(\varphi )\end{pmatrix}}.}$$ Su polinomio característico es $${\displaystyle \det(tI-A)=(t-\cosh(\varphi ))^{2}-\sinh ^{2}(\varphi )=t^{2}-2t\ \cosh(\varphi )+1=(t-e^{\varphi })(t-e^{-\varphi }).}$$

El polinomio característico${\displaystyle p_{A}(t)}$de un${\displaystyle n\times n}$matriz${\displaystyle A}$es mónico (su coeficiente principal es${\displaystyle 1}$) y su grado es${\displaystyle n.}$El hecho más importante sobre el polinomio característico ya se mencionó en el párrafo motivacional : los valores propios de${\displaystyle A}$son precisamente las raíces de${\displaystyle p_{A}(t)}$(esto también se cumple para el polinomio mínimo de${\displaystyle A,}$pero su grado puede ser menor que${\displaystyle n}$). Todos los coeficientes del polinomio característico son expresiones polinómicas en las entradas de la matriz. En particular, su coeficiente constante de${\displaystyle t^{0}}$es${\displaystyle \det(-A)=(-1)^{n}\det(A),}$el coeficiente de${\displaystyle t^{n}}$es 1, y el coeficiente de${\displaystyle t^{n-1}}$es tr(− A ) = −tr( A ) , donde tr( A ) es la traza de${\displaystyle A.}$(Los signos que se dan aquí corresponden a la definición formal dada en la sección anterior; para la definición alternativa, estos serían en cambio${\displaystyle \det(A)}$y (−1) ^{n – 1} tr( A ) respectivamente. ^{[ 6 ]} )

Para un${\displaystyle 2\times 2}$matriz${\displaystyle A,}$El polinomio característico viene dado por: $${\displaystyle t^{2}-\operatorname {tr} (A)t+\det(A).}$$

Utilizando el lenguaje del álgebra exterior , el polinomio característico de un${\displaystyle n\times n}$matriz${\displaystyle A}$puede expresarse como $${\displaystyle p_{A}(t)=\sum _{k=0}^{n}t^{n-k}(-1)^{k}\operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)}$$ dónde${\textstyle \operatorname {tr} \left(\bigwedge ^{k}A\right)}$es el rastro de la${\displaystyle k}$el poder exterior de${\displaystyle A,}$que tiene dimensión${\textstyle {\binom {n}{k}}.}$Esta traza se puede calcular como la suma de todos los menores principales de${\displaystyle A}$de tamaño${\displaystyle k.}$El algoritmo recursivo de Faddeev-LeVerrier calcula estos coeficientes de forma más eficiente .

Cuando la característica del campo de los coeficientes es${\displaystyle 0,}$Cada una de esas trazas puede calcularse alternativamente como un único determinante, el de la${\displaystyle k\times k}$matriz, $${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)={\frac {1}{k!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&k-1&0&\cdots &0\\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&k-2&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\\operatorname {tr} A^{k-1}&\operatorname {tr} A^{k-2}&&\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{k}&\operatorname {tr} A^{k-1}&&\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.}$$

El teorema de Cayley-Hamilton establece que al reemplazar${\displaystyle t}$por${\displaystyle A}$en el polinomio característico (interpretando las potencias resultantes como potencias matriciales y el término constante)${\displaystyle c}$como${\displaystyle c}$veces la matriz identidad) produce la matriz cero . En términos informales, cada matriz satisface su propia ecuación característica. Esta afirmación es equivalente a decir que el polinomio mínimo de${\displaystyle A}$divide el polinomio característico de${\displaystyle A.}$

Dos matrices similares tienen el mismo polinomio característico. Sin embargo, lo contrario no es cierto en general: dos matrices con el mismo polinomio característico no tienen por qué ser similares.

La matriz${\displaystyle A}$y su transpuesta tienen el mismo polinomio característico.${\displaystyle A}$es similar a una matriz triangular si y solo si su polinomio característico puede factorizarse completamente en factores lineales sobre${\displaystyle K}$(Lo mismo ocurre con el polinomio mínimo en lugar del polinomio característico). En este caso${\displaystyle A}$es similar a una matriz en forma normal de Jordan .

Si${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son dos cuadrados${\displaystyle n\times n}$matrices y luego polinomios característicos de${\displaystyle AB}$y${\displaystyle BA}$coincidir: $${\displaystyle p_{AB}(t)=p_{BA}(t).\,}$$

En términos más generales, si${\displaystyle A}$es una matriz de orden${\displaystyle m\times n}$y${\displaystyle B}$es una matriz de orden${\displaystyle n\times m,}$entonces${\displaystyle AB}$es${\displaystyle m\times m}$y${\displaystyle BA}$es${\displaystyle n\times n}$matriz, y uno tiene $${\displaystyle p_{BA}(t)=t^{n-m}p_{AB}(t).\,}$$

Para probar esto, uno puede suponer${\displaystyle n>m,}$mediante intercambio, si es necesario,${\displaystyle A}$y${\displaystyle B.}$Luego, al limitar${\displaystyle A}$en la parte inferior por${\displaystyle n-m}$filas de ceros y${\displaystyle B}$a la derecha, por,${\displaystyle n-m}$columnas de ceros, uno obtiene dos${\displaystyle n\times n}$matrices${\displaystyle A^{\prime }}$y${\displaystyle B^{\prime }}$de tal manera que${\displaystyle B^{\prime }A^{\prime }=BA}$y${\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }}$es igual a${\displaystyle AB}$bordeado por${\displaystyle n-m}$filas y columnas de ceros. El resultado se deduce del caso de matrices cuadradas, comparando los polinomios característicos de${\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }}$y${\displaystyle AB.}$

Si${\displaystyle \lambda }$es un valor propio de una matriz cuadrada${\displaystyle A}$con vector propio${\displaystyle \mathbf {v} ,}$entonces${\displaystyle \lambda ^{k}}$es un valor propio de${\displaystyle A^{k}}$porque $${\displaystyle A^{k}{\textbf {v}}=A^{k-1}A{\textbf {v}}=\lambda A^{k-1}{\textbf {v}}=\dots =\lambda ^{k}{\textbf {v}}.}$$

Se puede demostrar que las multiplicidades también coinciden, y esto se generaliza a cualquier polinomio en lugar de${\displaystyle x^{k}}$: ^{[ 7 ]}

Es decir, la multiplicidad algebraica de${\displaystyle \lambda }$en${\displaystyle f(A)}$es igual a la suma de multiplicidades algebraicas de${\displaystyle \lambda '}$en${\displaystyle A}$encima${\displaystyle \lambda '}$de tal manera que${\displaystyle f(\lambda ')=\lambda .}$ En particular,${\displaystyle \operatorname {tr} (f(A))=\textstyle \sum _{i=1}^{n}f(\lambda _{i})}$y${\displaystyle \operatorname {det} (f(A))=\textstyle \prod _{i=1}^{n}f(\lambda _{i}).}$ Aquí un polinomio${\displaystyle f(t)=t^{3}+1,}$por ejemplo, se evalúa en una matriz${\displaystyle A}$simplemente como${\displaystyle f(A)=A^{3}+I.}$

El teorema se aplica a matrices y polinomios sobre cualquier cuerpo o anillo conmutativo . ^{[ 8 ]} Sin embargo, la suposición de que${\displaystyle p_{A}(t)}$Que una matriz tenga una factorización en factores lineales no siempre es cierto, a menos que la matriz esté sobre un campo algebraicamente cerrado como los números complejos.

La definición anterior del polinomio característico de una matriz${\displaystyle A\in M_{n}(F)}$con entradas en un campo${\displaystyle F}$generaliza sin ningún cambio al caso cuando${\displaystyle F}$es simplemente un anillo conmutativo . Garibaldi (2004) define el polinomio característico para elementos de un álgebra arbitraria de dimensión finita ( asociativa , pero no necesariamente conmutativa) sobre un cuerpo.${\displaystyle F}$y demuestra las propiedades estándar del polinomio característico en esta generalidad.

Es posible calcular el polinomio característico de forma rápida mediante el uso de algoritmos rápidos de multiplicación de matrices en el tiempo${\displaystyle O({n^{\omega }})}$para${\displaystyle \omega }$ligeramente por encima de 2,37. Los algoritmos respectivos se dan en ^{[ 10 ]} .

• Ecuación característica (desambiguación)
• Invariantes de tensores
• Matriz complementaria
• Algoritmo de Faddeev-LeVerrier
• Teorema de Cayley-Hamilton
• Algoritmo de Samuelson-Berkowitz

• TS Blyth y EF Robertson (1998) Álgebra lineal básica , pág. 149, Springer ISBN 3-540-76122-5.
• John B. Fraleigh y Raymond A. Beauregard (1990) Álgebra lineal, segunda edición, p. 246, Addison-Wesley ISBN 0-201-11949-8.
• Garibaldi, Skip (2004), "El polinomio característico y el determinante no son construcciones ad hoc", American Mathematical Monthly , 111 (9): 761–778 , arXiv : math/0203276 , doi : 10.2307/4145188 , JSTOR 4145188 , MR 2104048  
• Werner Greub (1974) Álgebra lineal , 4.ª edición, págs. 120-125 , Springer, ISBN 0-387-90110-8.
• Paul C. Shields (1980) Álgebra lineal elemental , 3.ª edición, pág. 274, Worth Publishers ISBN 0-87901-121-1.
• Gilbert Strang (1988) Álgebra lineal y sus aplicaciones, 3.ª edición, pág. 246, Brooks/Cole ISBN 0-15-551005-3.