Similitud de matrices

En álgebra lineal , dos matrices n x n A y B se denominan similares si existe una matriz invertible n x n P tal que $${\displaystyle B=P^{-1}AP.}$$ Dos matrices son similares si y solo si representan la misma aplicación lineal bajo dos bases posiblemente diferentes , siendo P la matriz de cambio de base . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Una transformación A ↦ P ⁻¹ AP se denomina transformación de semejanza o conjugación de la matriz A. En el grupo lineal general , la semejanza es, por lo tanto, lo mismo que la conjugación , y las matrices semejantes también se denominan conjugadas ; sin embargo, en un subgrupo H dado del grupo lineal general, la noción de conjugación puede ser más restrictiva que la de semejanza, ya que requiere que P se elija para que pertenezca a H.

Al definir una transformación lineal, puede ocurrir que un cambio de base dé como resultado una forma más simple de la misma transformación. Por ejemplo, la matriz que representa una rotación en ℝ³ cuando el eje de rotación no está alineado con el eje ^de coordenadas puede ser complicada de calcular. Si el eje de rotación estuviera alineado con el eje z positivo , entonces sería simplemente $${\displaystyle S={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}},}$$ dónde${\displaystyle \theta }$es el ángulo de rotación. En el nuevo sistema de coordenadas, la transformación se escribiría como $${\displaystyle y'=Sx',}$$ donde x' e y' son respectivamente los vectores original y transformado en una nueva base que contiene un vector paralelo al eje de rotación. En la base original, la transformación se escribiría como $${\displaystyle y=Tx,}$$ donde los vectores x e y y la matriz de transformación desconocida T están en la base original. Para escribir T en términos de la matriz más simple, usamos la matriz de cambio de base P que transforma x e y como${\displaystyle x'=Px}$y${\displaystyle y'=Py}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}&&y'&=Sx'\\[1.6ex]&\Rightarrow &Py&=SPx\\[1.6ex]&\Rightarrow &y&=\left(P^{-1}SP\right)x=Tx\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, la matriz en la base original,${\displaystyle T}$, se da por${\displaystyle T=P^{-1}SP}$La transformación en la base original resulta ser el producto de tres matrices fáciles de derivar. En efecto, la transformación de similitud opera en tres pasos: cambiar a una nueva base ( P ), realizar la transformación simple ( S ) y volver a la base anterior ( P ^-1 ).

La semejanza es una relación de equivalencia en el espacio de matrices cuadradas.

Dado que las matrices son similares si y solo si representan el mismo operador lineal con respecto a bases (posiblemente) diferentes, las matrices similares comparten todas las propiedades de su operador subyacente común:

• Rango
• Polinomio característico y atributos que se pueden derivar del mismo:
  • Determinante
  • Rastro
  • Autovalores y sus multiplicidades algebraicas
• Multiplicidades geométricas de los valores propios (pero no de los espacios propios, que se transforman según la matriz de cambio base P utilizada).
• polinomio mínimo
• Forma normal de Frobenius
• Forma normal de Jordan , salvo una permutación de los bloques de Jordan.
• Índice de nilpotencia
• Divisores elementales , que forman un conjunto completo de invariantes para la semejanza de matrices sobre un dominio ideal principal.

Debido a esto, para una matriz A dada , uno está interesado en encontrar una "forma normal" simple B que sea similar a A ; el estudio de A se reduce entonces al estudio de la matriz más simple B. Por ejemplo, A se llama diagonalizable si es similar a una matriz diagonal . No todas las matrices son diagonalizables, pero al menos sobre los números complejos (o cualquier cuerpo algebraicamente cerrado ), toda matriz es similar a una matriz en forma de Jordan . Ninguna de estas formas es única (las entradas diagonales o los bloques de Jordan pueden permutarse), por lo que realmente no son formas normales ; además, su determinación depende de poder factorizar el polinomio mínimo o característico de A (equivalentemente, encontrar sus autovalores). La forma canónica racional no tiene estos inconvenientes: existe sobre cualquier cuerpo, es verdaderamente única y se puede calcular usando solo operaciones aritméticas en el cuerpo; A y B son similares si y solo si tienen la misma forma canónica racional. La forma canónica racional está determinada por los divisores elementales de A ; Estos valores pueden obtenerse inmediatamente de una matriz en forma de Jordan, pero también pueden determinarse directamente para cualquier matriz calculando la forma normal de Smith , sobre el anillo de polinomios, de la matriz (con entradas polinómicas) XI _n − A (la misma cuyo determinante define el polinomio característico). Cabe destacar que esta forma normal de Smith no es una forma normal de A en sí misma; además, tampoco es similar a XI _n − A , sino que se obtiene a partir de esta última mediante multiplicaciones por la izquierda y por la derecha por diferentes matrices invertibles (con entradas polinómicas).

La semejanza de matrices no depende del cuerpo base: si L es un cuerpo que contiene a K como subcuerpo , y A y B son dos matrices sobre K , entonces A y B son similares como matrices sobre K si y solo si son similares como matrices sobre L. Esto se debe a que la forma canónica racional sobre K es también la forma canónica racional sobre L. Esto significa que se pueden usar formas de Jordan, que solo existen sobre un cuerpo mayor, para determinar si las matrices dadas son similares.

En la definición de semejanza, si la matriz P puede elegirse como una matriz de permutación , entonces A y B son permutativamente similares; si P puede elegirse como una matriz unitaria, entonces A y B son unitariamente equivalentes. El teorema espectral establece que toda matriz normal es unitariamente equivalente a alguna matriz diagonal. El teorema de Specht afirma que dos matrices son unitariamente equivalentes si y solo si satisfacen ciertas igualdades de traza.

• Formas canónicas
• Congruencia de matrices
• Equivalencia matricial
• Rotación de Jacobi