Potencial efectivo

El potencial efectivo (también conocido como energía potencial efectiva ) combina múltiples efectos, posiblemente opuestos, en un único potencial . En su forma básica, es la suma de la energía potencial centrífuga "opuesta" con la energía potencial de un sistema dinámico . Puede utilizarse para determinar las órbitas de los planetas (tanto newtonianos como relativistas ) y para realizar cálculos atómicos semiclasicos, y a menudo permite reducir problemas a menos dimensiones .

La forma básica del potencial${\displaystyle U_{\text{eff}}}$se define como $${\displaystyle U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )={\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}+U(\mathbf {r} ),}$$ dónde

L es el momento angular ,

r es la distancia entre las dos masas,

μ es la masa reducida de los dos cuerpos (aproximadamente igual a la masa del cuerpo en órbita si una masa es mucho mayor que la otra),

U ( r ) es la forma general del potencial .

La fuerza efectiva, entonces, es el gradiente negativo del potencial efectivo: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{\text{eff}}&=-\nabla U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )\\&={\frac {L^{2}}{\mu r^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }}-\nabla U(\mathbf {r} ),\end{alineado}}}$$ dónde${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$denota un vector unitario en la dirección radial.

Existen muchas características útiles del potencial efectivo, como por ejemplo: $${\displaystyle U_{\text{eff}}\leq E.}$$

Para hallar el radio de una órbita circular , simplemente minimice el potencial efectivo con respecto a${\displaystyle r}$, o equivalentemente, establezca la fuerza neta en cero y luego resuelva para${\displaystyle r_{0}}$: $${\displaystyle {\frac {dU_{\text{eff}}}{dr}}=0.}$$ Después de resolver para${\displaystyle r_{0}}$, vuelve a conectar esto${\displaystyle U_{\text{eff}}}$para hallar el valor máximo del potencial efectivo${\displaystyle U_{\text{eff}}^{\text{max}}}$.

Una órbita circular puede ser estable o inestable. Si es inestable, una pequeña perturbación podría desestabilizarla, pero una órbita estable volvería al equilibrio. Para determinar la estabilidad de una órbita circular, determine la concavidad del potencial efectivo. Si la concavidad es positiva, $${\displaystyle {\frac {d^{2}U_{\text{eff}}}{dr^{2}}}>0,}$$ La órbita es estable.

La frecuencia de pequeñas oscilaciones, utilizando el análisis hamiltoniano básico , es $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {U_{\text{eff}}''}{m}}},}$$ donde la prima doble indica la segunda derivada del potencial efectivo con respecto a${\displaystyle r}$y se evalúa como mínimo.

Consideremos una partícula de masa m que orbita un objeto mucho más pesado de masa M. Supongamos la mecánica newtoniana , que es clásica y no relativista. La conservación de la energía y el momento angular dan dos constantes E y L , que tienen valores $${\displaystyle E={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-{\frac {GmM}{r}},}$$$${\displaystyle L=sr^{2}{\dot {\phi }},}$$ cuando el movimiento de la masa mayor es despreciable. En estas expresiones,

${\displaystyle {\dot {r}}}$es la derivada de r con respecto al tiempo,

${\displaystyle {\dot {\phi }}}$es la velocidad angular de la masa m , 

G es la constante gravitacional ,

E es la energía total,

L es el momento angular .

Solo se necesitan dos variables, ya que el movimiento ocurre en un plano. Sustituyendo la segunda expresión en la primera y reordenando se obtiene $${\displaystyle m{\dot {r}}^{2}=2E-{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}+{\frac {2GmM}{r}}=2E-{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {L^{2}}{m}}-2GmMr\right),}$$$${\displaystyle {\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}=E-U_{\text{eff}}(r),}$$ dónde $${\displaystyle U_{\text{eff}}(r)={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GmM}{r}}}$$ es el potencial efectivo. ^{[ Nota 1 ]} El problema original de dos variables se ha reducido a un problema de una variable. Para muchas aplicaciones, el potencial efectivo puede tratarse exactamente como la energía potencial de un sistema unidimensional: por ejemplo, un diagrama de energía que utiliza el potencial efectivo determina puntos de inflexión y ubicaciones de equilibrios estables e inestables . Un método similar puede utilizarse en otras aplicaciones, por ejemplo, para determinar órbitas en una métrica de Schwarzschild relativista general .

Los potenciales efectivos se utilizan ampliamente en varios subcampos de la materia condensada, por ejemplo, el potencial de núcleo de Gauss (Likos 2002, Baeurle 2004) y el potencial de Coulomb apantallado (Likos 2001).

• Geopotencial

• José, JV; Saletan, EJ (1998). Dinámica clásica: un enfoque contemporáneo (1.ª  ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63636-0..
• Likos, CN; Rosenfeldt, S.; Dingenouts, N.; Ballauff, M.; Lindner, P.; Werner, N.; Vögtle, F.; et  al. (2002). "Interacción efectiva gaussiana entre dendrímeros flexibles de cuarta generación: un estudio teórico y experimental" . J. Chem. Phys . 117 (4): 1869–1877 . Bibcode : 2002JChPh.117.1869L . doi : 10.1063/1.1486209 . Archivado del original el 19 de julio de 2011.
• Baeurle, SA; Kroener J. (2004). "Modelado de interacciones efectivas de agregados micelares de surfactantes iónicos con el potencial de núcleo gaussiano". J. Math. Chem . 36 (4): 409– 421. doi : 10.1023/B:JOMC.0000044526.22457.bb .
• Likos, CN (2001). "Interacciones efectivas en la física de la materia condensada blanda". Physics Reports . 348 ( 4– 5): 267– 439. Bibcode : 2001PhR...348..267L . CiteSeerX 10.1.1.473.7668 . doi : 10.1016/S0370-1573(00)00141-1 .