Operador (física)

donde es la matriz de rotación alrededor de un eje definido por el vector unitario y el ángulo θ .${\displaystyle R({\hat {\boldsymbol {n}}},\theta )}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {n}}}}$

La función de onda debe ser de cuadrado integrable (véase espacios L ^p ), lo que significa:

${\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\psi (\mathbf {r} )^{*}\psi (\mathbf {r} )\,d^{3}\mathbf {r} <\infty }$

y normalizable, de modo que:

${\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =1}$

Dos casos de autoestados (y autovalores) son:

• para autoestados discretos que forman una base discreta, por lo que cualquier estado es una suma donde c _i son números complejos tales que | c _i | ² = c _i ^* c _i es la probabilidad de medir el estado , y el conjunto correspondiente de autovalores a _i también es discreto, ya sea finito o infinitamente numerable . En este caso, el producto interno de dos autoestados viene dado por , donde denota la delta de Kronecker . Sin embargo,${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$$${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\phi _{i}\rangle }$$${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$${\displaystyle \langle \phi _{i}\vert \phi _{j}\rangle =\delta _{ij}}$${\displaystyle \delta _{mn}}$
• Para un continuo de autoestados que forman una base continua, cualquier estado es una integral donde c ( φ ) es una función compleja tal que | c (φ) | ² = c (φ) ^* c (φ) es la probabilidad de medir el estado , y hay un conjunto infinito no numerable de autovalores a . En este caso, el producto interno de dos autoestados se define como , donde aquí denota la delta de Dirac .$${\displaystyle |\psi \rangle =\int c(\phi )\,d\phi |\phi \rangle }$$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle \langle \phi '\vert \phi \rangle =\delta (\phi -\phi ')}$${\displaystyle \delta (x-y)}$

Sea ψ la función de onda de un sistema cuántico y sea cualquier operador lineal para alguna observable A (como posición, momento, energía, momento angular, etc.). Si ψ es una autofunción del operador , entonces${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$

${\displaystyle {\hat {A}}\psi =a\psi ,}$

donde a es el valor propio del operador, correspondiente al valor medido del observable, es decir, el observable A tiene un valor medido a .

Si ψ es una autofunción de un operador dado , entonces se observará una cantidad definida (el autovalor a ) si se realiza una medición del observable A en el estado ψ . Por el contrario, si ψ no es una autofunción de , entonces no tiene autovalor para , y el observable no tiene un único valor definido en ese caso. En cambio, las mediciones del observable A producirán cada autovalor con una cierta probabilidad (relacionada con la descomposición de ψ con respecto a la base propia ortonormal de ).${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$

En notación bra-ket, lo anterior se puede escribir;

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}\psi &={\hat {A}}\psi (\mathbf {r} )={\hat {A}}\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \left\vert {\hat {A}}\right\vert \psi \right\rangle \\a\psi &=a\psi (\mathbf {r} )=a\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \mid a\mid \psi \right\rangle \\\end{aligned}}}$

que son iguales si es un vector propio o un autovector del observable A.${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$

Debido a la linealidad, los vectores pueden definirse en cualquier número de dimensiones, ya que cada componente del vector actúa sobre la función de forma independiente. Un ejemplo matemático es el operador delta , que es en sí mismo un vector (útil en operadores cuánticos relacionados con el momento, como se muestra en la tabla siguiente).

Un operador en un espacio n -dimensional se puede escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle \mathbf {\hat {A}} =\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}}$

donde e _j son vectores base correspondientes a cada operador componente A _j . Cada componente producirá un valor propio correspondiente . Aplicando esto a la función de onda ψ :${\displaystyle a_{j}}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {A}} \psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\psi \right)=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}a_{j}\psi \right)}$

en el que hemos utilizado${\displaystyle {\hat {A}}_{j}\psi =a_{j}\psi .}$

En notación bra-ket:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {A}} \psi =\mathbf {\hat {A}} \psi (\mathbf {r} )=\mathbf {\hat {A}} \left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \mathbf {\hat {A}} \right\vert \psi \right\rangle \\\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right\vert \psi \right\rangle \end{aligned}}}$

Si dos observables A y B tienen operadores lineales y , el conmutador se define por:${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}$

El conmutador es en sí mismo un operador (compuesto). Al aplicar el conmutador a ψ se obtiene:

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi ={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi .}$

Si ψ es una autofunción con autovalores a y b para los observables A y B respectivamente, y si los operadores conmutan:

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi =0,}$

Entonces, las observables A y B pueden medirse simultáneamente con precisión infinita, es decir, con incertidumbres , simultáneamente. Se dice entonces que ψ es la autofunción simultánea de A y B. Para ilustrar esto:${\displaystyle \Delta A=0}$${\displaystyle \Delta B=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi &={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi \\&=a(b\psi )-b(a\psi )\\&=0.\\\end{aligned}}}$

Esto demuestra que la medición de A y B no provoca ningún cambio de estado; es decir, los estados inicial y final son idénticos (sin perturbaciones debidas a la medición). Supongamos que medimos A para obtener el valor a. Luego medimos B para obtener el valor b. Volvemos a medir A. Seguimos obteniendo el mismo valor a. Claramente, el estado ( ψ ) del sistema no se altera, por lo que podemos medir A y B simultáneamente con precisión infinita.

Si los operadores no se desplazan diariamente:

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi \neq 0,}$

no pueden prepararse simultáneamente con precisión arbitraria, y existe una relación de incertidumbre entre las observables.

${\displaystyle \Delta A\Delta B\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle [A,B]\rangle \right|}$

Incluso si ψ es una autofunción, la relación anterior se mantiene. Pares notables son las relaciones de incertidumbre de posición-momento y energía-tiempo, y los momentos angulares (de espín, orbital y total) alrededor de dos ejes ortogonales cualesquiera (como L _x y L _y , o s _y y s _z , etc.). ^{[ 2 ]}

El valor esperado (o equivalentemente el valor promedio o medio) es la medición promedio de una observable, para una partícula en la región R. El valor esperado del operador se calcula a partir de: ^{[ 3 ]}${\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle }$${\displaystyle {\hat {A}}}$

${\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle =\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|{\hat {A}}\right|\psi \right\rangle .}$

Esto se puede generalizar a cualquier función F de un operador:

${\displaystyle \left\langle F\left({\hat {A}}\right)\right\rangle =\int _{R}\psi (\mathbf {r} )^{*}\left[F\left({\hat {A}}\right)\psi (\mathbf {r} )\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|F\left({\hat {A}}\right)\right|\psi \right\rangle ,}$

Un ejemplo de F es la acción doble de A sobre ψ , es decir, elevar al cuadrado un operador o hacerlo dos veces:

${\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\hat {A}}\right)&={\hat {A}}^{2}\\\Rightarrow \left\langle {\hat {A}}^{2}\right\rangle &=\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}^{2}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left\vert {\hat {A}}^{2}\right\vert \psi \right\rangle \\\end{aligned}}\,\!}$

La definición de un operador hermitiano es: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\hat {A}}={\hat {A}}^{\dagger }}$

A partir de esto, en notación bra-ket:

${\displaystyle \left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle =\left\langle \phi _{j}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{i}\right\rangle ^{*}.}$

Entre las propiedades importantes de los operadores hermíticos se incluyen:

• valores propios reales,
• Los vectores propios con diferentes valores propios son ortogonales ,
• Los autovectores pueden elegirse para que sean una base ortonormal completa ,

Un operador puede escribirse en forma matricial para mapear un vector base a otro. Dado que los operadores son lineales, la matriz es una transformación lineal (también conocida como matriz de transición) entre bases. Cada elemento base puede conectarse con otro, ^{[ 3 ]} mediante la expresión:${\displaystyle \phi _{j}}$

${\displaystyle A_{ij}=\left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle ,}$

que es un elemento de matriz:

${\displaystyle {\hat {A}}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\end{pmatrix}}}$

Otra propiedad de un operador hermitiano es que las autofunciones correspondientes a diferentes autovalores son ortogonales. ^{[ 1 ]} En forma matricial, los operadores permiten encontrar autovalores reales, que corresponden a mediciones. La ortogonalidad permite un conjunto base adecuado de vectores para representar el estado del sistema cuántico. Los autovalores del operador también se evalúan de la misma manera que para la matriz cuadrada , resolviendo el polinomio característico :

${\displaystyle \det \left({\hat {A}}-a{\hat {I}}\right)=0,}$

donde I es la matriz identidad n × n , como operador corresponde al operador identidad. Para una base discreta:

${\displaystyle {\hat {I}}=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}$

mientras que de forma continua:

${\displaystyle {\hat {I}}=\int |\phi \rangle \langle \phi |\mathrm {d} \phi }$

Un operador no singular tiene una inversa definida por:${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {A}}^{-1}}$

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{-1}={\hat {A}}^{-1}{\hat {A}}={\hat {I}}}$

Si un operador no tiene inverso, es un operador singular. En un espacio de dimensión finita, un operador es no singular si y solo si su determinante es distinto de cero:

${\displaystyle \det \left({\hat {A}}\right)\neq 0}$

y por lo tanto el determinante es cero para un operador singular.

Los operadores utilizados en mecánica cuántica se recogen en la tabla siguiente (véase, por ejemplo, ^{[ 1 ] [ 4 ]} ). Los vectores en negrita con acento circunflejo no son vectores unitarios , sino operadores de tres vectores; las tres componentes espaciales se toman conjuntamente.

El procedimiento para extraer información de una función de onda es el siguiente. Consideremos como ejemplo el momento p de una partícula. El operador de momento en la base de posición en una dimensión es:

${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$

Si dejamos que esto actúe sobre ψ, obtenemos:

${\displaystyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi ,}$

Si ψ es una autofunción de , entonces el autovalor del momento p es el valor del momento de la partícula, que se obtiene mediante:${\displaystyle {\hat {p}}}$

${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p\psi .}$

Para tres dimensiones, el operador de momento utiliza el operador nabla para convertirse en:

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla .}$

En coordenadas cartesianas (utilizando los vectores base cartesianos estándar e _x , e _y , e _z ) esto se puede escribir;

${\displaystyle \mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\hat {p}}_{x}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\hat {p}}_{y}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\hat {p}}_{z}=-i\hbar \left(\mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\frac {\partial }{\partial z}}\right),}$

eso es:

${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},\quad {\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},\quad {\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\,\!}$

El proceso para hallar los autovalores es el mismo. Dado que se trata de una ecuación vectorial y de operadores, si ψ es una autofunción, entonces cada componente del operador de momento tendrá un autovalor correspondiente a dicha componente. Al actuar sobre ψ se obtiene:${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p_{x}\psi \\{\hat {p}}_{y}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\psi =p_{y}\psi \\{\hat {p}}_{z}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\psi =p_{z}\psi \\\end{aligned}}\,\!}$