Principio de incertidumbre

El principio de incertidumbre puede visualizarse utilizando las funciones de onda en el espacio de posición y momento para una partícula sin espín con masa en una dimensión.

Cuanto más localizada esté la función de onda en el espacio de posiciones, mayor será la probabilidad de encontrar la partícula con coordenadas de posición en esa región; en consecuencia, la función de onda en el espacio de momentos estará menos localizada, por lo que los posibles componentes de momento que podría tener la partícula estarán más dispersos. Por el contrario, cuanto más localizada esté la función de onda en el espacio de momentos, mayor será la probabilidad de encontrar la partícula con esos valores de componentes de momento en esa región; en consecuencia, la función de onda en el espacio de posiciones estará menos localizada, por lo que las coordenadas de posición que podría ocupar la partícula estarán más dispersas. Estas funciones de onda son transformadas de Fourier una de la otra: matemáticamente, el principio de incertidumbre expresa la relación entre variables conjugadas en la transformada.

Onda plana

paquete de ondas

Propagación de ondas de De Broglie en 1D: la parte real de la amplitud compleja se muestra en azul y la parte imaginaria en verde. La probabilidad (representada por la opacidad del color ) de encontrar la partícula en un punto x dado se distribuye como una onda; no existe una posición definida para la partícula. A medida que la amplitud aumenta por encima de cero, la curvatura invierte su signo, por lo que la amplitud comienza a disminuir nuevamente, y viceversa; el resultado es una amplitud alternante: una onda.

Según la hipótesis de De Broglie , cada objeto del universo está asociado a una onda . Por lo tanto, cada objeto, desde una partícula elemental hasta átomos, moléculas, planetas y más allá, está sujeto al principio de incertidumbre.

La función de onda independiente del tiempo de una onda plana monomodo de número de onda k ₀ o momento p ₀ es ^{[ 11 ].}$${\displaystyle \psi (x)\propto e^{ik_{0}x}=e^{ip_{0}x/\hbar }~.}$$

La regla de Born establece que esto debe interpretarse como una función de amplitud de densidad de probabilidad en el sentido de que la probabilidad de encontrar la partícula entre a y b es $${\displaystyle \operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x~.}$$

En el caso de la onda plana monomodo,${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$es 1 si${\displaystyle X=x}$y 0 en caso contrario. En otras palabras, la posición de la partícula es extremadamente incierta en el sentido de que podría estar esencialmente en cualquier punto a lo largo del paquete de ondas.

Por otro lado, consideremos una función de onda que es suma de muchas ondas , que podemos escribir como $${\displaystyle \psi (x)\propto \sum _{n}A_{n}e^{ip_{n}x/\hbar }~,}$$ donde A _n representa la contribución relativa del modo p _n al total general. Las figuras de la derecha muestran cómo, con la adición de muchas ondas planas, el paquete de ondas puede volverse más localizado. Podemos llevar esto un paso más allá hasta el límite continuo , donde la función de onda es una integral sobre todos los modos posibles. $${\displaystyle \psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp~,}$$ con${\displaystyle \varphi (p)}$representa la amplitud de estos modos y se denomina función de onda en el espacio de momentos . En términos matemáticos, decimos que${\displaystyle \varphi (p)}$es la transformada de Fourier de${\displaystyle \psi (x)}$y que x y p son variables conjugadas . La suma de todas estas ondas planas tiene un costo, a saber, el momento se ha vuelto menos preciso, al haberse convertido en una mezcla de ondas de muchos momentos diferentes. ^{[ 12 ]}

Una forma de cuantificar la precisión de la posición y el momento es la desviación estándar σ . Dado que ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$es una función de densidad de probabilidad para la posición, calculamos su desviación estándar.

La precisión de la posición mejora, es decir, se reduce σ _x , mediante el uso de múltiples ondas planas, lo que debilita la precisión del momento, es decir, aumenta σ _p . Dicho de otro modo, σ _x y σ _p tienen una relación inversa o, al menos, están acotadas inferiormente. Este es el principio de incertidumbre, cuyo límite exacto es la cota de Kennard.

Estamos interesados ​​en las variaciones de posición y momento, definidas como $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx-\left(\int _{-\infty }^{\infty }x\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx\right)^{2}}$$$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp-\left(\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp\right)^{2}~.}$$

Sin pérdida de generalidad , asumiremos que las medias se anulan, lo que equivale simplemente a un desplazamiento del origen de nuestras coordenadas. (A continuación se presenta una demostración más general que no hace esta suposición). Esto nos da la forma más simple. $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx}$$$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp~.}$$

La función${\displaystyle f(x)=x\cdot \psi (x)}$puede interpretarse como un vector en un espacio de funciones . Podemos definir un producto interno para un par de funciones u ( x ) y v ( x ) en este espacio vectorial: $${\displaystyle \langle u\mid v\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }u^{*}(x)\cdot v(x)\,dx,}$$ donde el asterisco denota el conjugado complejo .

Con este producto interno definido, observamos que la varianza para la posición se puede escribir como $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\langle f\mid f\rangle ~.}$$

Podemos repetir esto para el momento interpretando la función${\displaystyle {\tilde {g}}(p)=p\cdot \varphi (p)}$como vector, pero también podemos aprovechar el hecho de que${\displaystyle \psi (x)}$y${\displaystyle \varphi (p)}$son transformadas de Fourier una de la otra. Evaluamos la transformada inversa de Fourier mediante integración por partes : $${\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {g}}(p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot \varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[p\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi (\chi )e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \right]\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {i}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\cancel {\left.\psi (\chi )e^{-ip\chi /\hbar }\right|_{-\infty }^{\infty }}}-\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \right]\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&=-i\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\,e^{ip(x-\chi )/\hbar }\,dp\right]\,d\chi \\&=-i\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[\delta \left({\frac {x-\chi }{\hbar }}\right)\right]\,d\chi \\&=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[\delta \left(x-\chi \right)\right]\,d\chi \\&=-i\hbar {\frac {d\psi (x)}{dx}}\\&=\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\cdot \psi (x),\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle v={\frac {\hbar }{-ip}}e^{-ip\chi /\hbar }}$En la integración por partes, el término cancelado desaparece porque la función de onda se anula en ambos infinitos y${\displaystyle |e^{-ip\chi /\hbar }|=1}$y luego usar la función delta de Dirac que es válida porque${\displaystyle {\dfrac {d\psi (\chi )}{d\chi }}}$no depende de p .

El término${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{dx}}}$se denomina operador de momento en el espacio de posiciones. Aplicando el teorema de Plancherel , vemos que la varianza del momento se puede escribir como $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\tilde {g}}(p)|^{2}\,dp=\int _{-\infty }^{\infty }|g(x)|^{2}\,dx=\langle g\mid g\rangle .}$$

La desigualdad de Cauchy-Schwarz afirma que $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\langle f\mid f\rangle \cdot \langle g\mid g\rangle \geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}~.}$$

El módulo al cuadrado de cualquier número complejo z se puede expresar como $${\displaystyle |z|^{2}={\Big (}{\text{Re}}(z){\Big )}^{2}+{\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}\geq {\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}=\left({\frac {z-z^{\ast }}{2i}}\right)^{2}.}$$ dejamos${\displaystyle z=\langle f|g\rangle }$y${\displaystyle z^{*}=\langle g\mid f\rangle }$y sustituir estos en la ecuación anterior para obtener $${\displaystyle |\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}~.}$$

Solo queda evaluar estos productos internos.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\,x\cdot \left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\,\psi (x)\,dx-\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\,\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\cdot x\,\psi (x)\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\left[\left(-x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)+{\frac {d(x\psi (x))}{dx}}\right]\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\left[\left(-x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)+\psi (x)+\left(x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)\right]\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\psi (x)\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx\\&=i\hbar \end{aligned}}}$$

Sustituyendo esto en las desigualdades anteriores, obtenemos $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}\geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}=\left({\frac {i\hbar }{2i}}\right)^{2}={\frac {\hbar ^{2}}{4}}}$$ y tomando la raíz cuadrada $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}~.}$$

con igualdad si y solo si p y x son linealmente dependientes. Nótese que la única física involucrada en esta demostración fue que${\displaystyle \psi (x)}$y${\displaystyle \varphi (p)}$son funciones de onda para la posición y el momento, que son transformadas de Fourier una de la otra. Un resultado similar sería válido para cualquier par de variables conjugadas.

En mecánica matricial, las observables como la posición y el momento se representan mediante operadores autoadjuntos. ^{[ 12 ]} Al considerar pares de observables, una cantidad importante es el conmutador . Para un par de operadores y${\displaystyle {\hat {B}}}$, uno define su conmutador como $${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}.}$$ En el caso de posición y momento, el conmutador es la relación de conmutación canónica.$${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar .}$$

El significado físico de la no conmutatividad puede entenderse considerando el efecto del conmutador sobre los autoestados de posición y momento . Sea${\displaystyle |\psi \rangle }$sea ​​un autoestado derecho de posición con un autovalor constante x ₀ . Por definición, esto significa que${\displaystyle {\hat {x}}|\psi \rangle =x_{0}|\psi \rangle .}$Aplicando el conmutador a${\displaystyle |\psi \rangle }$rendimientos $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle ,}$$ donde Î es el operador identidad .

Supongamos, a efectos de demostración por contradicción , que${\displaystyle |\psi \rangle }$También es un autoestado derecho del momento, con autovalor constante p ₀ . Si esto fuera cierto, entonces se podría escribir $${\displaystyle ({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =(x_{0}{\hat {I}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =0.}$$ Por otro lado, la relación de conmutación canónica anterior requiere que $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle \neq 0.}$$ Esto implica que ningún estado cuántico puede ser simultáneamente un autoestado de posición y un autoestado de momento.

Cuando se mide un estado, se proyecta sobre un autoestado en la base de la observable relevante. Por ejemplo, si se mide la posición de una partícula, entonces el estado equivale a un autoestado de posición. Esto significa que el estado no es un autoestado de momento, sino que puede representarse como una suma de múltiples autoestados de la base de momento. En otras palabras, el momento debe ser menos preciso. Esta precisión puede cuantificarse mediante las desviaciones estándar. $${\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\langle {\hat {x}}^{2}\rangle -\langle {\hat {x}}\rangle ^{2}}}}$$$${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\langle {\hat {p}}^{2}\rangle -\langle {\hat {p}}\rangle ^{2}}}.}$$

Al igual que en la interpretación de la mecánica ondulatoria anterior, se observa una compensación entre las respectivas precisiones de ambas, cuantificada por el principio de incertidumbre.

Consideremos un oscilador armónico cuántico unidimensional . Es posible expresar los operadores de posición y momento en términos de los operadores de creación y aniquilación : $${\displaystyle {\hat {x}}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(a+a^{\dagger })}$$$${\displaystyle {\hat {p}}=i{\sqrt {\frac {m\omega \hbar }{2}}}(a^{\dagger }-a).}$$

Utilizando las reglas estándar para operadores de creación y aniquilación en los autoestados de energía, $${\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }$$$${\displaystyle a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle ,}$$ Las varianzas se pueden calcular directamente, $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{m\omega }}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$$$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\hbar m\omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\,.}$$ El producto de estas desviaciones estándar es entonces $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}=\hbar \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}.~}$$

En particular, el límite de Kennard anterior ^{[ 6 ]} está saturado para el estado fundamental n =0 , para el cual la densidad de probabilidad es simplemente la distribución normal .

Densidades de probabilidad de posición (azul) y momento (rojo) para una distribución gaussiana inicial. De arriba abajo, las animaciones muestran los casos Ω = ω , Ω = 2ω y Ω = ω /2 . Nótese la relación inversa entre las anchuras de las distribuciones.

En un oscilador armónico cuántico de frecuencia angular característica ω , coloque un estado que esté desplazado del fondo del potencial por algún desplazamiento x ₀ como $${\displaystyle \psi (x)=\left({\frac {m\Omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\left(-{\frac {m\Omega (x-x_{0})^{2}}{2\hbar }}\right)},}$$ donde Ω describe el ancho del estado inicial pero no tiene por qué ser igual a ω . Mediante la integración sobre el propagador , podemos resolver la solución completa dependiente del tiempo. Después de muchas cancelaciones, las densidades de probabilidad se reducen a $${\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(x_{0}\cos {(\omega t)},{\frac {\hbar }{2m\Omega }}\left(\cos ^{2}(\omega t)+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right)}$$$${\displaystyle |\Phi (p,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(-mx_{0}\omega \sin(\omega t),{\frac {\hbar m\Omega }{2}}\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right),}$$ donde hemos utilizado la notación${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$para denotar una distribución normal de media μ y varianza σ² ^. Copiando las varianzas anteriores y aplicando identidades trigonométricas , podemos escribir el producto de las desviaciones estándar como $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}\sigma _{p}&={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)}}\\&={\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)\cos {(4\omega t)}}}\end{aligned}}}$$

De las relaciones $${\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\geq 2,\quad |\cos(4\omega t)|\leq 1,}$$ Podemos concluir lo siguiente (la igualdad de la derecha solo se cumple cuando Ω = ω ): $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)}}={\frac {\hbar }{2}}.}$$

Un estado coherente es un autoestado derecho del operador de aniquilación , $${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle ,}$$ que puede representarse en términos de estados de Fock como $${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle }$$

En la imagen donde el estado coherente es una partícula masiva en un oscilador armónico cuántico, los operadores de posición y momento pueden expresarse en términos de los operadores de aniquilación en las mismas fórmulas anteriores y usarse para calcular las varianzas, $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{2m\omega }},}$$$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}={\frac {\hbar m\omega }{2}}.}$$ Por lo tanto, cada estado coherente satura el límite de Kennard. $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}\,{\sqrt {\frac {\hbar m\omega }{2}}}={\frac {\hbar }{2}}.}$$ con la posición y el impulso contribuyendo cada uno con una cantidad${\textstyle {\sqrt {\hbar /2}}}$de forma "equilibrada". Además, cada estado coherente comprimido también satura el límite de Kennard, aunque las contribuciones individuales de posición y momento no tienen por qué estar equilibradas en general.

Consideremos una partícula en una caja unidimensional de longitud${\displaystyle L}$. Las funciones propias en el espacio de posición y momento son $${\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin(k_{n}x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}t},&0<x<L,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$$ y $${\displaystyle \varphi _{n}(p,t)={\sqrt {\frac {\pi L}{\hbar }}}\,\,{\frac {n\left(1-(-1)^{n}e^{-ikL}\right)e^{-i\omega _{n}t}}{\pi ^{2}n^{2}-k^{2}L^{2}}},}$$ dónde${\textstyle \omega _{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar n^{2}}{8L^{2}m}}}$y hemos utilizado la relación de De Broglie${\displaystyle p=\hbar k}$. Las variaciones de${\displaystyle x}$y${\displaystyle p}$se puede calcular explícitamente: $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$$$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}.}$$

Por lo tanto, el producto de las desviaciones estándar es $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}.}$$ A pesar de${\displaystyle n=1,\,2,\,3,\,\ldots }$la cantidad${\textstyle {\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}}$es mayor que 1, por lo que el principio de incertidumbre nunca se viola. Para mayor concreción numérica, el valor más pequeño ocurre cuando${\displaystyle n=1}$, en cuyo caso $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{3}}-2}}\approx 0.568\hbar >{\frac {\hbar }{2}}.}$$

Supongamos que una partícula inicialmente tiene una función de onda en el espacio de momentos descrita por una distribución normal alrededor de un momento constante p ₀ según $${\displaystyle \varphi (p)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\exp \left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}\right),}$$ donde hemos introducido una escala de referencia${\textstyle x_{0}={\sqrt {\hbar /m\omega _{0}}}}$, con${\displaystyle \omega _{0}>0}$describiendo el ancho de la distribución—cf. adimensionalización . Si se permite que el estado evolucione en el espacio libre, entonces las funciones de onda del espacio de posición y momento dependientes del tiempo son $${\displaystyle \Phi (p,t)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\exp \left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}-{\frac {ip^{2}t}{2m\hbar }}\right),}$$$${\displaystyle \Psi (x,t)=\left({\frac {1}{x_{0}{\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}{\frac {e^{-x_{0}^{2}p_{0}^{2}/2\hbar ^{2}}}{\sqrt {1+i\omega _{0}t}}}\,\exp \left(-{\frac {(x-ix_{0}^{2}p_{0}/\hbar )^{2}}{2x_{0}^{2}(1+i\omega _{0}t)}}\right).}$$

Desde${\displaystyle \langle p(t)\rangle =p_{0}}$y${\displaystyle \sigma _{p}(t)=\hbar /({\sqrt {2}}x_{0})}$Esto puede interpretarse como una partícula que se mueve con momento constante con una precisión arbitrariamente alta. Por otro lado, la desviación estándar de la posición es $${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {x_{0}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}}$$ de tal manera que el producto de incertidumbre solo puede aumentar con el tiempo a medida que $${\displaystyle \sigma _{x}(t)\sigma _{p}(t)={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}}$$

En la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica, la relación de Robertson-Schrödinger se deduce de una condición de positividad sobre una función estrella-cuadrada real. Dada una función de Wigner${\displaystyle W(x,p)}$con producto estrella ★ y una función f , generalmente se cumple lo siguiente: ^{[ 21 ]}$${\displaystyle \langle f^{*}\star f\rangle =\int (f^{*}\star f)\,W(x,p)\,dx\,dp\geq 0~.}$$

Elegir${\displaystyle f=a+bx+cp}$, llegamos a $${\displaystyle \langle f^{*}\star f\rangle ={\begin{bmatrix}a^{*}&b^{*}&c^{*}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x\star x\rangle &\langle x\star p\rangle \\\langle p\rangle &\langle p\star x\rangle &\langle p\star p\rangle \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\geq 0~.}$$

Dado que esta condición de positividad es verdadera para todos los valores de a , b y c , se deduce que todos los valores propios de la matriz son no negativos.

Los autovalores no negativos implican entonces una condición de no negatividad correspondiente sobre el determinante , $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x\star x\rangle &\langle x\star p\rangle \\\langle p\rangle &\langle p\star x\rangle &\langle p\star p\rangle \end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x^{2}\rangle &\left\langle xp+{\frac {i\hbar }{2}}\right\rangle \\\langle p\rangle &\left\langle xp-{\frac {i\hbar }{2}}\right\rangle &\langle p^{2}\rangle \end{bmatrix}}\geq 0~,}$$ o, explícitamente, después de una manipulación algebraica, $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\left(\langle x^{2}\rangle -\langle x\rangle ^{2}\right)\left(\langle p^{2}\rangle -\langle p\rangle ^{2}\right)\geq \left(\langle xp\rangle -\langle x\rangle \langle p\rangle \right)^{2}+{\frac {\hbar ^{2}}{4}}~.}$$

Dado que las relaciones de Robertson y Schrödinger son para operadores generales, pueden aplicarse a cualquier par de observables para obtener relaciones de incertidumbre específicas. A continuación, se presentan algunas de las relaciones más comunes que se encuentran en la literatura.

• Relación de incertidumbre posición-momento lineal : para los operadores de posición y momento lineal, la relación de conmutación canónica${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$implica la desigualdad de Kennard mencionada anteriormente:$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$$
• Relación de incertidumbre del momento angular : Para dos componentes ortogonales del operador de momento angular total de un objeto:$${\displaystyle \sigma _{J_{i}}\sigma _{J_{j}}\geq {\frac {\hbar }{2}}{\big |}\langle J_{k}\rangle {\big |},}$$donde i , j , k son distintos, y J _i denota el momento angular a lo largo del eje x _i . Esta relación implica que, a menos que los tres componentes se anulen simultáneamente, solo se puede definir un único componente del momento angular de un sistema con precisión arbitraria, normalmente el componente paralelo a un campo externo (magnético o eléctrico). Además, para${\displaystyle [J_{x},J_{y}]=i\hbar \varepsilon _{xyz}J_{z}}$una elección${\displaystyle {\hat {A}}=J_{x}}$,${\displaystyle {\hat {B}}=J_{y}}$, en multipletes de momento angular, ψ = | j , m ⟩, limita el invariante de Casimir (momento angular al cuadrado,${\displaystyle \langle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}\rangle }$) desde abajo y por lo tanto produce restricciones útiles como j ( j + 1) ≥ m ( m + 1) , y por lo tanto j ≥ m , entre otras.

• Para el número de electrones en un superconductor y la fase de su parámetro de orden de Ginzburg-Landau ^{[ 22 ] [ 23 ]}$${\displaystyle \Delta N\,\Delta \varphi \geq 1.}$$

La derivación de la desigualdad de Robertson para operadores${\displaystyle {\hat {A}}}$y${\displaystyle {\hat {B}}}$requiere${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi }$y${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi }$por definir. Hay sistemas cuánticos donde estas condiciones no son válidas. ^{[ 24 ]} Un ejemplo es una partícula cuántica en un anillo , donde la función de onda depende de una variable angular.${\displaystyle \theta }$en el intervalo${\displaystyle [0,2\pi ]}$Defina los operadores de "posición" y "momento".${\displaystyle {\hat {A}}}$y${\displaystyle {\hat {B}}}$por $${\displaystyle {\hat {A}}\psi (\theta )=\theta \psi (\theta ),\quad \theta \in [0,2\pi ],}$$ y $${\displaystyle {\hat {B}}\psi =-i\hbar {\frac {d\psi }{d\theta }},}$$ con condiciones de contorno periódicas en${\displaystyle {\hat {B}}}$. La definición de${\displaystyle {\hat {A}}}$depende de${\displaystyle \theta }$rango de 0 a${\displaystyle 2\pi }$Estos operadores satisfacen las relaciones de conmutación habituales para los operadores de posición y momento,${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=i\hbar }$. Más precisamente,${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi =i\hbar \psi }$siempre que ambos${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi }$y${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi }$están definidos, y el espacio de tales${\displaystyle \psi }$es un subespacio denso del espacio de Hilbert cuántico. ^{[ 11 ]}

Ahora dejemos${\displaystyle \psi }$ser cualquiera de los autoestados de${\displaystyle {\hat {B}}}$, que son dadas por${\displaystyle \psi (\theta )=e^{2\pi in\theta }}$Estos estados son normalizables, a diferencia de los autoestados del operador de momento en la línea. También el operador${\displaystyle {\hat {A}}}$está limitado, ya que${\displaystyle \theta }$abarca un intervalo acotado. Por lo tanto, en el estado${\displaystyle \psi }$, la incertidumbre de${\displaystyle B}$es cero y la incertidumbre de${\displaystyle A}$es finito, de modo que $${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}=0.}$$ El principio de incertidumbre de Robertson no se aplica en este caso:${\displaystyle \psi }$no está dentro del dominio del operador${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}}$, ya que la multiplicación por${\displaystyle \theta }$perturba las condiciones de contorno periódicas impuestas en${\displaystyle {\hat {B}}}$. ^{[ 11 ]}

Para los operadores de posición y momento habituales${\displaystyle {\hat {X}}}$y${\displaystyle {\hat {P}}}$En la línea real, no pueden ocurrir tales contraejemplos. Siempre que${\displaystyle \sigma _{x}}$y${\displaystyle \sigma _{p}}$están definidos en el estado${\displaystyle \psi }$, el principio de incertidumbre de Heisenberg se mantiene, incluso si${\displaystyle \psi }$no se encuentra en el dominio de${\displaystyle {\hat {X}}{\hat {P}}}$o de${\displaystyle {\hat {P}}{\hat {X}}}$. ^{[ 11 ]}

La incertidumbre de Robertson-Schrödinger puede mejorarse teniendo en cuenta que debe cumplirse para todos los componentes.${\displaystyle \varrho _{k}}$en cualquier descomposición de la matriz de densidad dada como $${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}\varrho _{k}.}$$ Aquí, para las probabilidades${\displaystyle p_{k}\geq 0}$y${\displaystyle \sum _{k}p_{k}=1}$sostener. Luego, usando la relación $${\displaystyle \sum _{k}a_{k}\sum _{k}b_{k}\geq \left(\sum _{k}{\sqrt {a_{k}b_{k}}}\right)^{2}}$$ para${\displaystyle a_{k},b_{k}\geq 0}$, de ello se deduce que ^{[ 25 ]}$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left[\sum _{k}p_{k}L(\varrho _{k})\right]^{2},}$$ donde se define la función en el límite $${\displaystyle L(\varrho )={\sqrt {\left|{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\rho \{A,B\})-\operatorname {tr} (\rho A)\operatorname {tr} (\rho B)\right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\operatorname {tr} (\rho [A,B])\right|^{2}}}.}$$ La relación anterior a menudo tiene un límite mayor que el de la relación de incertidumbre original de Robertson-Schrödinger. Por lo tanto, necesitamos calcular el límite de la incertidumbre de Robertson-Schrödinger para los componentes mixtos del estado cuántico en lugar de para el estado cuántico, y calcular un promedio de sus raíces cuadradas. La siguiente expresión es más fuerte que la relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger. $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left[\max _{p_{k},\varrho _{k}}\sum _{k}p_{k}L(\varrho _{k})\right]^{2},}$$ donde en el lado derecho hay un techo cóncavo sobre las descomposiciones de la matriz de densidad. La relación mejorada anterior está saturada por todos los estados cuánticos de un solo qubit. ^{[ 25 ]}

Con argumentos similares, se puede derivar una relación con un techo convexo en el lado derecho ^{[ 25 ].}$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}F_{Q}[\varrho ,B]\geq 4\left[\min _{p_{k},\Psi _{k}}\sum _{k}p_{k}L(\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert )\right]^{2}}$$ dónde${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,B]}$denota la información cuántica de Fisher y la matriz de densidad se descompone en estados puros como $${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert .}$$ La derivación aprovecha el hecho de que la información cuántica de Fisher es el techo convexo de la varianza multiplicada por cuatro. ^{[ 26 ] [ 27 ]}