POVM

En el análisis funcional y la ciencia de la información cuántica , una medida con valores de operador positivo ( POVM ) es una medida cuyos valores son operadores semidefinidos positivos en un espacio de Hilbert . Las POVM son una generalización de las medidas con valores de proyección (PVM) y, en consecuencia, las mediciones cuánticas descritas por las POVM son una generalización de las mediciones cuánticas descritas por las PVM (denominadas mediciones proyectivas ).

En una analogía aproximada, un POVM es a un PVM lo que un estado mixto es a un estado puro . Los estados mixtos son necesarios para especificar el estado de un subsistema de un sistema mayor (véase purificación del estado cuántico ); de forma análoga, los POVM son necesarios para describir el efecto sobre un subsistema de una medición proyectiva realizada sobre un sistema mayor.

Las POVM son el tipo de medición más general en mecánica cuántica y también se pueden utilizar en la teoría cuántica de campos . ^{[ 1 ]} Se utilizan ampliamente en el campo de la información cuántica .

Sea un espacio de Hilbert y un espacio medible con un σ-álgebra de Borel en . Un POVM es una función definida en cuyos valores son operadores autoadjuntos acotados positivos en tales que para todo${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle (X,M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle E\mapsto \langle F(E)\psi \mid \psi \rangle,}$

es una medida aditiva numerable no negativa en el álgebra σ y es el operador identidad . ^{[ 2 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle F(X)=\operatorname {I} _{\mathcal {H}}}$

En mecánica cuántica , la propiedad clave de un POVM es que determina una medida de probabilidad en el espacio de resultados, de modo que puede interpretarse como la probabilidad del evento al medir un estado cuántico . ${\displaystyle \langle F(E)\psi \mid \psi \rangle }$${\displaystyle E}$${\displaystyle |\psi \rangle }$

En el caso más simple, en el que es un conjunto finito, es el conjunto potencia de y es de dimensión finita, un POVM es equivalentemente un conjunto de matrices hermíticas semidefinidas positivas que suman la matriz identidad , ^{[ 3 ] : 90} ${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \{F_{i}\}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .}$

Una POVM se diferencia de una medida con valores de proyección en que, para las medidas con valores de proyección, se requiere que los valores sean proyecciones ortogonales . ${\displaystyle F}$

En el caso discreto, el elemento POVM está asociado con el resultado de la medición , de modo que la probabilidad de obtenerlo al realizar una medición cuántica en el estado cuántico viene dada por ${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})}$,

donde está el operador traza . Cuando el estado cuántico que se mide es un estado puro, esta fórmula se reduce a ${\displaystyle \operatorname {tr} }$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{i})=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle }$.

El caso discreto de una POVM generaliza el caso más simple de una PVM, que es un conjunto de proyectores ortogonales cuya suma es la matriz identidad : ${\displaystyle \{\Pi _{i}\}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Pi _{i}=\operatorname {I} ,\quad \Pi _{i}\Pi _{j}=\delta _{ij}\Pi _{i}.}$

Las fórmulas de probabilidad para una máquina de vectores de probabilidad (MVP) son las mismas que para una máquina de vectores de probabilidad (MVP). Una diferencia importante radica en que los elementos de una MVP no son necesariamente ortogonales. En consecuencia, el número de elementos de una MVP puede ser mayor que la dimensión del espacio de Hilbert en el que actúan. Por otro lado, el número de elementos de una MVP es, como máximo, igual a la dimensión del espacio de Hilbert. ${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$

Nota: Otra forma de escribir esto es "Teorema de Neumark".

El teorema de dilatación de Naimark ^{[ 4 ]} muestra cómo se pueden obtener POVM a partir de PVM que actúan en un espacio mayor. Este resultado es de vital importancia en mecánica cuántica, ya que proporciona una forma de realizar físicamente mediciones POVM. ^{[ 5 ] : 285}

En el caso más simple, de un POVM con un número finito de elementos que actúan sobre un espacio de Hilbert de dimensión finita, el teorema de Naimark dice que si es un POVM que actúa sobre un espacio de Hilbert de dimensión , entonces existe un PVM que actúa sobre un espacio de Hilbert de dimensión y una isometría tal que para todo , ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$${\displaystyle d_{A}}$${\displaystyle \{\Pi _ {i}\}_ {i=1}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}}$${\displaystyle d_{A'}}$${\displaystyle V:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A'}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle F_{i}=V^{\dagger }\Pi _{i}V.}$

Para el caso particular de un POVM de rango 1, es decir, cuando para algunos vectores (no normalizados) , esta isometría se puede construir como ^{[ 5 ] : 285} ${\displaystyle F_{i}=|f_{i}\rangle \langle f_{i}|}$${\displaystyle |f_{i}\rangle }$

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}|i\rangle _{A'}\langle f_{i}|_{A}}$

y el PVM viene dado simplemente por . Nótese que aquí . ${\displaystyle \Pi _{i}=|i\rangle \langle i|_{A'}}$${\displaystyle d_{A'}=n}$

En el caso general, la isometría y el PVM se pueden construir definiendo ^{[ 6 ] [ 7 ]} , , y ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$${\displaystyle \Pi _{i}=\operatorname {I} _{A}\otimes |i\rangle \langle i|_{B}}$

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {F_{i}}}_{A}\otimes {|i\rangle }_{B}.}$

Tenga en cuenta que aquí , por lo que esta es una construcción más derrochadora. ${\displaystyle d_{A'}=nd_{A}}$

En cualquier caso, la probabilidad de obtener el resultado con este PVM, y el estado adecuadamente transformado por la isometría, es la misma que la probabilidad de obtenerlo con el POVM original: ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} \left(V\rho _{A}V^{\dagger }\Pi _{i}\right)=\operatorname {tr} \left(\rho _{A}V^{\dagger }\Pi _{i}V\right)=\operatorname {tr} (\rho _{A}F_{i})}$

Esta construcción puede convertirse en una receta para una realización física del POVM extendiendo la isometría a una unitaria , es decir, encontrando tal que ${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle V|i\rangle _{A}=U|i\rangle _{A'}}$

para desde 1 hasta . Esto siempre se puede hacer. ${\displaystyle i}$${\displaystyle d_{A}}$

La receta para realizar la POVM descrita por en un estado cuántico es entonces incrustar el estado cuántico en el espacio de Hilbert , hacerlo evolucionar con la unitaria y hacer la medición proyectiva descrita por la PVM . ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \{\Pi _{i}\}_{i=1}^{n}}$

El estado posterior a la medición no está determinado por el POVM en sí, sino por el PVM que lo realiza físicamente. Dado que existen infinitos PVM diferentes que realizan el mismo POVM, los operadores por sí solos no determinan cuál será el estado posterior a la medición. Para ver esto, observe que para cualquier unitario los operadores ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle M_{i}=W{\sqrt {F_{i}}}}$

también tendrá la propiedad de que , de modo que usando la isometría ${\displaystyle M_{i}^{\dagger }M_{i}=F_{i}}$

${\displaystyle V_{W}=\sum _{i=1}^{n}{M_{i}}_{A}\otimes {|i\rangle }_{B}}$

En la segunda construcción anterior también se implementará el mismo POVM. En el caso en que el estado que se está midiendo sea un estado puro , el unitario resultante lo toma junto con el ancilla al estado ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$${\displaystyle U_{W}}$

${\displaystyle U_{W}(|\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B})=\sum _{i=1}^{n}M_{i}|\psi \rangle _{A}|i\rangle _{B},}$

y la medición proyectiva en el ancilla colapsará al estado ^{[ 3 ] : 84} ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$

${\displaystyle |\psi '\rangle _{A}={\frac {M_{i_{0}}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{i_{0}}^{\dagger }M_{i_{0}}|\psi \rangle }}}}$

al obtener el resultado . Cuando el estado que se está midiendo se describe mediante una matriz de densidad , el estado posterior a la medición correspondiente viene dado por ${\displaystyle i_{0}}$${\displaystyle \rho _{A}}$

${\displaystyle \rho '_{A}={M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger } \over {\rm {tr}}(M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger })}}$.

Vemos, por lo tanto, que el estado posterior a la medición depende explícitamente de la unitaria . Nótese que, si bien siempre es hermitiana, en general, no tiene por qué serlo. ${\displaystyle W}$${\displaystyle M_{i}^{\dagger }M_{i}=F_{i}}$${\displaystyle M_{i}}$

Otra diferencia con respecto a las mediciones proyectivas es que una medición POVM generalmente no es repetible. Si en la primera medición se obtuvo un resultado, la probabilidad de obtener un resultado diferente en una segunda medición es ${\displaystyle i_{0}}$${\displaystyle i_{1}}$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i_{1}|i_{0})={\operatorname {tr} (M_{i_{1}}M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger }M_{i_{1}}^{\dagger }) \over {\rm {tr}}(M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger })}}$,

que puede ser distinto de cero si y no son ortogonales. En una medición proyectiva, estos operadores son siempre ortogonales y, por lo tanto, la medición siempre es repetible. ${\displaystyle M_{i_{0}}}$${\displaystyle M_{i_{1}}}$

Supongamos que tenemos un sistema cuántico con un espacio de Hilbert bidimensional que sabemos que está en el estado o en el estado , y queremos determinar cuál es. Si y son ortogonales, esta tarea es fácil: el conjunto formará un PVM, y una medición proyectiva en esta base determinará el estado con certeza. Sin embargo, si y no son ortogonales, esta tarea es imposible , en el sentido de que no hay ninguna medición, ni PVM ni POVM, que los distinga con certeza. ^{[ 3 ] : 87} La imposibilidad de discriminar perfectamente entre estados no ortogonales es la base de los protocolos de información cuántica como la criptografía cuántica , el lanzamiento de moneda cuántica y el dinero cuántico . ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$${\displaystyle \{|\psi \rangle \langle \psi |,|\varphi \rangle \langle \varphi |\}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$

La tarea de discriminación inequívoca de estados cuánticos (UQSD) es la siguiente mejor opción: nunca cometer un error sobre si el estado es o , a costa de obtener a veces un resultado no concluyente. Es posible hacer esto con mediciones proyectivas. ^{[ 8 ]} Por ejemplo, si se mide el PVM , donde es el estado cuántico ortogonal a , y se obtiene el resultado , entonces se sabe con certeza que el estado era . Si el resultado fue , entonces es no concluyente. El razonamiento análogo se aplica al PVM , donde es el estado ortogonal a . ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$${\displaystyle \{|\psi \rangle \langle \psi |,|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|\}}$${\displaystyle |\psi ^{\perp }\rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|}$${\displaystyle |\varphi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |}$${\displaystyle \{|\varphi \rangle \langle \varphi |,|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|\}}$${\displaystyle |\varphi ^{\perp }\rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$

Esto es insatisfactorio, ya que no se pueden detectar ambos con una sola medición, y la probabilidad de obtener un resultado concluyente es menor que con los POVM. El POVM que proporciona la mayor probabilidad de un resultado concluyente en esta tarea viene dado por ^{[ 8 ] [ 9 ]}${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$

${\displaystyle F_{\psi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|}$

${\displaystyle F_{\varphi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|}$

${\displaystyle F_{?}=\operatorname {I} -F_{\psi }-F_{\varphi }={\frac {2|\langle \varphi |\psi \rangle |}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\gamma \rangle \langle \gamma |,}$

dónde

${\displaystyle |\gamma \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2(1+|\langle \varphi |\psi \rangle |)}}}(|\psi \rangle +e^{i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}|\varphi \rangle ).}$

Nótese que , por lo que cuando se obtiene el resultado estamos seguros de que el estado cuántico es , y cuando se obtiene el resultado estamos seguros de que el estado cuántico es . ${\displaystyle \operatorname {tr} (|\varphi \rangle \langle \varphi |F_{\psi })=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{\varphi })=0}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$

La probabilidad de obtener un resultado concluyente viene dada por

${\displaystyle 1-|\langle \varphi |\psi \rangle |,}$

cuando el sistema cuántico está en el estado o con la misma probabilidad. Este resultado se conoce como el límite de Ivanović-Dieks-Peres, llamado así en honor a los autores que fueron pioneros en la investigación de UQSD. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$

Dado que los POVM son de rango 1, podemos usar el caso simple de la construcción anterior para obtener una medición proyectiva que realiza físicamente este POVM. Etiquetando los tres estados posibles del espacio de Hilbert ampliado como , , y , vemos que la unitaria resultante lleva el estado a ${\displaystyle |{\text{result ψ}}\rangle }$${\displaystyle |{\text{result φ}}\rangle }$${\displaystyle |{\text{result ?}}\rangle }$${\displaystyle U_{\text{UQSD}}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle U_{\text{UQSD}}|\psi \rangle ={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result ψ}}\rangle +{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result ?}}\rangle ,}$

y de manera similar, el estado necesita ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

${\displaystyle U_{\text{UQSD}}|\varphi \rangle ={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result φ}}\rangle +e^{-i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result ?}}\rangle .}$

Una medición proyectiva proporciona entonces los resultados deseados con las mismas probabilidades que la POVM.

Este POVM se ha utilizado para distinguir experimentalmente estados de polarización no ortogonales de un fotón. La realización del POVM con una medición proyectiva fue ligeramente diferente a la descrita aquí. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

• SIC-POVM
• Medición cuántica
• Formulación matemática de la mecánica cuántica
• Matriz de densidad
• Operación cuántica
• Medida con valor de proyección
• Medida vectorial

• POVMs
  • K. Kraus, Estados, efectos y operaciones, Lecture Notes in Physics 190, Springer (1983).
  • AS Holevo , Aspectos probabilísticos y estadísticos de la teoría cuántica, North-Holland Publ. Cy., Ámsterdam (1982).

• Demostración interactiva sobre la discriminación de estados cuánticos