función identidad

En matemáticas , una función identidad , también llamada relación identidad , mapa identidad o transformación identidad , es una función que siempre devuelve el valor que se usó como su argumento , sin cambios. Es decir, cuando${\displaystyle f}$es la función identidad, la igualdad${\displaystyle f(x)=x}$es cierto para todos los valores de${\displaystyle x}$a cuál${\displaystyle f}$puede aplicarse.

Formalmente, si${\displaystyle X}$es un conjunto , la función identidad${\displaystyle f}$en${\displaystyle X}$se define como una función con${\displaystyle X}$como su dominio y codominio , satisfaciendo

${\displaystyle f(x)=x}$para todos los elementos${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$. ^{[ 1 ]}

En otras palabras, el valor de la función${\displaystyle f(x)}$en el codominio${\displaystyle X}$siempre es lo mismo que el elemento de entrada${\displaystyle x}$en el dominio${\displaystyle X}$. La función identidad en${\displaystyle X}$es claramente una función inyectiva y también sobreyectiva (su codominio es también su rango ), por lo que es biyectiva . ^{[ 2 ]}

La función identidad${\displaystyle f}$en${\displaystyle X}$a menudo se denota por${\displaystyle \mathrm {id} _ {X}}$.

En la teoría de conjuntos , donde una función se define como un tipo particular de relación binaria , la función identidad viene dada por la relación identidad , o diagonal de${\displaystyle X}$. ^{[ 3 ]}

Si${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$es cualquier función, entonces${\displaystyle f\circ \mathrm {id} _{X}=f=\mathrm {id} _{Y}\circ f}$, dónde "${\displaystyle \circ }$" denota composición de funciones . ^{[ 4 ]} En particular,${\displaystyle \mathrm {id} _ {X}}$es el elemento identidad del monoide de todas las funciones de${\displaystyle X}$a${\displaystyle X}$(bajo composición de funciones).

Dado que el elemento identidad de un monoide es único , ^{[ 5 ]} se puede definir alternativamente la función identidad en${\displaystyle M}$ser este elemento de identidad. Dicha definición se generaliza al concepto de un morfismo de identidad en la teoría de categorías , donde los endomorfismos de${\displaystyle M}$no tienen por qué ser funciones.

• La función identidad es un operador lineal cuando se aplica a espacios vectoriales . ^{[ 6 ]}
• En un${\displaystyle n}$- espacio vectorial dimensional la función identidad está representada por la matriz identidad${\displaystyle I_{n}}$, independientemente de la base elegida para el espacio. ^{[ 7 ]}
• La función identidad en los enteros positivos es una función completamente multiplicativa (esencialmente una multiplicación por 1), considerada en la teoría de números . ^{[ 8 ]}
• En un espacio métrico, la función identidad es trivialmente una isometría . Un objeto sin ninguna simetría tiene como grupo de simetría el grupo trivial que contiene solo esta isometría (tipo de simetría).${\displaystyle \mathrm {C} _ {1}}$). ^{[ 9 ]}
• En un espacio topológico , la función identidad siempre es continua . ^{[ 10 ]}
• La función identidad es idempotente . ^{[ 11 ]}
• Todo mapeo de un conjunto de un solo elemento a sí mismo es necesariamente el mapa identidad.

• Matriz identidad
• Mapa de inclusión
• Función indicadora