Información cuántica

En la década de 1960, Ruslan Stratonovich , Carl Helstrom y Gordon ^{[ 20 ]} propusieron una formulación de comunicaciones ópticas utilizando mecánica cuántica. Esta fue la primera aparición histórica de la teoría de la información cuántica. Estudiaron principalmente las probabilidades de error y las capacidades de los canales de comunicación. ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]} Posteriormente, Alexander Holevo obtuvo un límite superior de la velocidad de comunicación en la transmisión de un mensaje clásico a través de un canal cuántico . ^{[ 23 ] [ 24 ]}

En la década de 1970, comenzaron a desarrollarse técnicas para manipular estados cuánticos de átomos individuales, como la trampa atómica y el microscopio de efecto túnel , lo que permitió aislar átomos individuales y organizarlos en matrices. Antes de estos avances, no era posible un control preciso sobre sistemas cuánticos individuales, y los experimentos utilizaban un control simultáneo más impreciso sobre un gran número de sistemas cuánticos. ^{[ 2 ]} El desarrollo de técnicas viables de manipulación de estados individuales impulsó un mayor interés en el campo de la información y la computación cuánticas.

En la década de 1980, surgió interés en la posibilidad de utilizar efectos cuánticos para refutar la teoría de la relatividad de Einstein . Si fuera posible clonar un estado cuántico desconocido, se podrían usar estados cuánticos entrelazados para transmitir información a una velocidad superior a la de la luz, refutando así la teoría de Einstein. Sin embargo, el teorema de no clonación demostró que tal clonación es imposible. Este teorema fue uno de los primeros resultados de la teoría de la información cuántica. ^{[ 2 ]}

A pesar de todo el entusiasmo e interés por estudiar sistemas cuánticos aislados y tratar de encontrar una manera de eludir la teoría de la relatividad, la investigación en teoría de la información cuántica se estancó en la década de 1980. Sin embargo, casi al mismo tiempo, otra vía comenzó a incursionar en la información y la computación cuánticas: la criptografía . En términos generales, la criptografía es el problema de realizar comunicaciones o cálculos que involucran a dos o más partes que pueden no confiar entre sí. ^{[ 2 ]}

Bennett y Brassard desarrollaron un canal de comunicación en el que es imposible interceptar la comunicación sin ser detectado, una forma de comunicarse secretamente a largas distancias utilizando el protocolo criptográfico cuántico BB84 . ^{[ 25 ]} La idea clave fue el uso del principio fundamental de la mecánica cuántica de que la observación perturba lo observado, y la introducción de un intruso en una línea de comunicación segura alertará inmediatamente a las dos partes que intentan comunicarse sobre la presencia del intruso.

Con la llegada de las ideas revolucionarias de Alan Turing sobre una computadora programable, o máquina de Turing , demostró que cualquier cálculo del mundo real puede traducirse en un cálculo equivalente que involucre una máquina de Turing. ^{[ 26 ] [ 27 ]} Esto se conoce como la tesis de Church-Turing .

Pronto se fabricaron las primeras computadoras, y el hardware informático creció a un ritmo tan acelerado que este crecimiento, gracias a la experiencia en la producción, se codificó en una relación empírica conocida como la ley de Moore . Esta «ley» es una tendencia proyectiva que establece que el número de transistores en un circuito integrado se duplica cada dos años. ^{[ 28 ]} A medida que los transistores se fueron reduciendo para concentrar más potencia por área superficial, comenzaron a aparecer efectos cuánticos en la electrónica, lo que provocó interferencias involuntarias. Esto condujo al surgimiento de la computación cuántica, que utiliza la mecánica cuántica para diseñar algoritmos.

En este punto, las computadoras cuánticas prometían ser mucho más rápidas que las computadoras clásicas para ciertos problemas específicos. Un ejemplo de ello fue desarrollado por David Deutsch y Richard Jozsa , conocido como el algoritmo de Deutsch-Jozsa . Sin embargo, este problema tenía pocas o ninguna aplicación práctica. ^{[ 2 ]} En 1994, Peter Shor planteó un problema muy importante y práctico : encontrar los factores primos de un número entero. El problema del logaritmo discreto, como se le denominó, teóricamente podía resolverse de manera eficiente en una computadora cuántica, pero no en una clásica, lo que demostraba que las computadoras cuánticas debían ser más potentes que las máquinas de Turing.

Casi al mismo tiempo que la informática experimentaba una revolución, también lo hacía la teoría de la información y la comunicación, gracias a Claude Shannon . ^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ]} Shannon desarrolló dos teoremas fundamentales de la teoría de la información: el teorema de codificación de canal sin ruido y el teorema de codificación de canal con ruido . También demostró que los códigos de corrección de errores podían utilizarse para proteger la información que se transmitía.

La teoría de la información cuántica también siguió una trayectoria similar; en 1995, Ben Schumacher creó un análogo del teorema de codificación sin ruido de Shannon utilizando el cúbito . También se desarrolló una teoría de corrección de errores, que permite a las computadoras cuánticas realizar cálculos eficientes independientemente del ruido y establecer una comunicación fiable a través de canales cuánticos ruidosos. ^{[ 2 ]}

La entropía de Shannon cuantifica la información obtenida al medir el valor de una variable aleatoria. Otra forma de entenderla es considerando la incertidumbre de un sistema antes de la medición. En consecuencia, la entropía, según la concibe Shannon, puede interpretarse como una medida de la incertidumbre previa a la medición o como una medida de la información obtenida tras realizarla. ^{[ 2 ]}

Entropía de Shannon, escrita como una función de una distribución de probabilidad discreta,${\displaystyle P(x_{1}),P(x_{2}),...,P(x_{n})}$asociados con eventos${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$, puede considerarse como la información promedio asociada con este conjunto de eventos, en unidades de bits:$${\displaystyle H(X)=H[P(x_{1}),P(x_{2}),...,P(x_{n})]=-\sum _{i=1}^{n}P(x_{i})\log _{2}P(x_{i})}$$Esta definición de entropía puede utilizarse para cuantificar los recursos físicos necesarios para almacenar la salida de una fuente de información. Las formas de interpretar la entropía de Shannon analizadas anteriormente suelen tener sentido únicamente cuando el número de muestras de un experimento es grande. ^{[ 35 ]}

La entropía de Rényi es una generalización de la entropía de Shannon definida anteriormente. La entropía de Rényi de orden r, escrita como una función de una distribución de probabilidad discreta,${\displaystyle P(a_{1}),P(a_{2}),...,P(a_{n})}$, asociado con eventos${\displaystyle a_{1},...,a_{n}}$, se define como: ^{[ 37 ]}$${\displaystyle H_{r}(A)={1 \over 1-r}\log _{2}\sum _{i=1}^{n}P^{r}(a_{i})}$$para${\displaystyle 0<r<\infty }$y${\displaystyle r\neq 1}$.

Llegamos a la definición de entropía de Shannon de Rényi cuando${\displaystyle r\rightarrow 1}$, de entropía de Hartley (o entropía máxima) cuando${\displaystyle r\rightarrow 0}$y min-entropía cuando${\displaystyle r\rightarrow \infty }$.

Una interpretación de la entropía de Shannon era la incertidumbre asociada a una distribución de probabilidad. Cuando queremos describir la información o la incertidumbre de un estado cuántico, las distribuciones de probabilidad se reemplazan simplemente por operadores de densidad.${\displaystyle \rho }$:$${\displaystyle S(\rho )\equiv -\mathrm {tr} (\rho \ \log _{2}\ \rho )=-\sum _{i}\lambda _{i}\ \log _{2}\ \lambda _{i},}$$dónde${\displaystyle \lambda _{i}}$son los valores propios de${\displaystyle \rho }$.

La entropía de Von Neumann desempeña en la información cuántica un papel similar al que desempeña la entropía de Shannon en la información clásica.

El primer esquema de distribución de clave cuántica, BB84 , fue desarrollado por Charles Bennett y Gilles Brassard en 1984. Generalmente se explica como un método para comunicar de forma segura una clave privada de un tercero a otro para su uso en el cifrado de clave de un solo uso. ^{[ 2 ]}

El esquema E91 fue creado por Artur Ekert en 1991. Utiliza pares de fotones entrelazados. Estos dos fotones pueden ser creados por Alice, Bob o por un tercero, como la espía Eve. Uno de los fotones se distribuye a Alice y el otro a Bob, de manera que cada uno termina con un fotón del par.

Este esquema se basa en dos propiedades del entrelazamiento cuántico:

1. Los estados entrelazados están perfectamente correlacionados, lo que significa que si Alice y Bob miden sus partículas con polarización vertical u horizontal, siempre obtienen el mismo resultado con una probabilidad del 100 %. Lo mismo ocurre si miden cualquier otro par de polarizaciones complementarias (ortogonales). Esto requiere que las dos partes distantes tengan una sincronización direccional exacta. Sin embargo, según la teoría de la mecánica cuántica, el estado cuántico es completamente aleatorio, por lo que es imposible que Alice prediga si obtendrá resultados de polarización vertical u horizontal.
2. Cualquier intento de Eve por espiar destruye este entrelazamiento cuántico, de manera que Alice y Bob pueden detectarlo.

B92 es una versión más simple de BB84. ^{[ 38 ]}

La principal diferencia entre B92 y BB84:

• B92 solo necesita dos estados
• BB84 necesita 4 estados de polarización

Al igual que con el BB84, Alice transmite a Bob una secuencia de fotones codificada con bits elegidos aleatoriamente, pero esta vez los bits que Alice elige determinan las bases que debe usar. Bob también elige aleatoriamente una base para realizar la medición, pero si elige la incorrecta, no medirá nada, lo cual está garantizado por las teorías de la mecánica cuántica. Bob simplemente puede indicarle a Alice, después de cada bit que ella envía, si lo midió correctamente. ^{[ 39 ]}