Transformada de Fourier de corto tiempo

En el caso de tiempo continuo, la función que se va a transformar se multiplica por una función ventana que es distinta de cero solo durante un breve período de tiempo. Se aplica la transformada de Fourier (una función unidimensional) a la señal resultante y, a continuación, se desplaza la ventana a lo largo del eje temporal hasta el final, obteniendo así una representación bidimensional de la señal. Matemáticamente, esto se escribe como:

${\displaystyle \mathbf {STFT} \{x(t)\}(\tau ,\omega )\equiv X(\tau ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)w(t-\tau )e^{-i\omega t}\,dt}$

dónde${\displaystyle w(\tau )}$es la función de ventana , comúnmente una ventana de Hann o una ventana gaussiana centrada en cero, y${\displaystyle x(t)}$es la señal que se va a transformar (nótese la diferencia entre la función de ventana)${\displaystyle w}$y la frecuencia${\displaystyle \omega }$).${\displaystyle X(\tau ,\omega )}$es esencialmente la transformada de Fourier de${\displaystyle x(t)w(t-\tau )}$, una función compleja que representa la fase y la magnitud de la señal en el tiempo y la frecuencia. A menudo se emplea el desenrollado de fase a lo largo de uno o ambos ejes temporales,${\displaystyle \tau }$y eje de frecuencia,${\displaystyle \omega }$, para suprimir cualquier discontinuidad de salto del resultado de fase de la STFT. El índice de tiempo${\displaystyle \tau }$Normalmente se considera que el tiempo es " lento " y no se expresa con una resolución tan alta como el tiempo.${\displaystyle t}$Dado que la STFT es esencialmente una transformada de Fourier multiplicada por una función de ventana, también se la denomina transformada de Fourier con ventana o transformada de Fourier dependiente del tiempo.

En el caso de tiempo discreto, los datos a transformar se pueden dividir en fragmentos o tramas (que generalmente se superponen para reducir los artefactos en los límites). Cada fragmento se transforma mediante la transformada de Fourier , y el resultado complejo se suma a una matriz que registra la magnitud y la fase para cada punto en el tiempo y la frecuencia. Esto se puede expresar como:

${\displaystyle \mathbf {STFT} \{x[n]\}(m,\omega )\equiv X(m,\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]w[nm]e^{-i\omega n}}$

Asimismo, con señal${\displaystyle x[n]}$y ventana${\displaystyle w[n]}$En este caso, m es discreta y ω es continua, pero en la mayoría de las aplicaciones típicas la STFT se realiza en una computadora utilizando la transformada rápida de Fourier , por lo que ambas variables son discretas y cuantificadas .

El cuadrado de la magnitud de la STFT produce la representación espectrograma de la densidad espectral de potencia de la función:

${\displaystyle \operatorname {spectrogram} \{x(t)\}(\tau ,\omega )\equiv |X(\tau ,\omega )|^{2}}$

Véase también la transformada discreta del coseno modificada (MDCT), que también es una transformada relacionada con Fourier que utiliza ventanas superpuestas.

Dado el ancho y la definición de la función de ventana w ( t ), inicialmente requerimos que el área de la función de ventana se escale de manera que

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )\,d\tau =1.}$

De ello se deduce fácilmente que

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w(t-\tau )\,d\tau =1\quad \forall \ t}$

y

${\displaystyle x(t)=x(t)\int _{-\infty }^{\infty }w(t-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }x(t)w(t-\tau )\,d\tau .}$

La transformada continua de Fourier es

${\displaystyle X(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i\omega t}\,dt.}$

Sustituyendo x ( t ) de arriba:

${\displaystyle X(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }x(t)w(t-\tau )\,d\tau \right]\,e^{-i\omega t}\,dt}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }x(t)w(t-\tau )\,e^{-i\omega t}\,d\tau \,dt.}$

Intercambio del orden de integración:

${\displaystyle X(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }x(t)w(t-\tau )\,e^{-i\omega t}\,dt\,d\tau }$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }x(t)w(t-\tau )\,e^{-i\omega t}\,dt\right]\,d\tau }$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }X(\tau ,\omega )\,d\tau .}$

Así pues, la transformada de Fourier puede verse como una especie de suma coherente en fase de todas las STFT de x ( t ). Dado que la transformada inversa de Fourier es

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(\omega )e^{+i\omega t}\,d\omega ,}$

entonces x ( t ) se puede recuperar de X (τ,ω) como

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }X(\tau ,\omega )e^{+i\omega t}\,d\tau \,d\omega .}$

o

${\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(\tau ,\omega )e^{+i\omega t}\,d\omega \right]\,d\tau .}$

Se puede observar, en comparación con lo anterior, que el "grano" o "ondícula" con ventana de x ( t ) es

${\displaystyle x(t)w(t-\tau )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(\tau ,\omega )e^{+i\omega t}\,d\omega .}$

la transformada de Fourier inversa de X (τ,ω) para τ fija.

Una definición alternativa que es válida solo en las proximidades de τ, la transformada inversa es:

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{w(t-\tau )}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(\tau ,\omega )e^{+i\omega t}\,d\omega .}$

En general, la función de ventana${\displaystyle w(t)}$tiene las siguientes propiedades:

(a) simetría par:${\displaystyle w(t)=w(-t)}$;

b) no creciente (para tiempo positivo):${\displaystyle w(t)\geq w(s)}$si${\displaystyle |t|\leq |s|}$;

(c) soporte compacto:${\displaystyle w(t)}$es igual a cero cuando |t| es grande.

Cuando la función original es:

${\displaystyle X(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(t-\tau )x(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau }$

Podemos tener un ejemplo sencillo:

w(t) = 1 para |t| menor o igual que B

w(t) = 0 en caso contrario

B = ventana

Ahora la función original de la transformada de Fourier de tiempo corto se puede cambiar como

${\displaystyle X(t,f)=\int _{t-B}^{t+B}x(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau }$

Otro ejemplo:

Utilizando la siguiente señal de muestra${\displaystyle x(t)}$que se compone de un conjunto de cuatro formas de onda sinusoidales unidas en secuencia. Cada forma de onda se compone únicamente de una de cuatro frecuencias (10, 25, 50, 100 Hz ). La definición de${\displaystyle x(t)}$es:

${\displaystyle x(t)={\begin{cases}\cos(2\pi 10t)&0\,\mathrm {s} \leq t<5\,\mathrm {s} \\\cos(2\pi 25t)&5\,\mathrm {s} \leq t<10\,\mathrm {s} \\\cos(2\pi 50t)&10\,\mathrm {s} \leq t<15\,\mathrm {s} \\\cos(2\pi 100t)&15\,\mathrm {s} \leq t<20\,\mathrm {s} \\\end{cases}}}$

Luego se toma una muestra a 400  Hz. Se obtuvieron los siguientes espectrogramas:

La  ventana de 25 ms nos permite identificar el momento preciso en que cambian las señales, pero resulta difícil determinar las frecuencias exactas. En el otro extremo, la ventana de 1000 ms permite observar las frecuencias con precisión, pero el intervalo entre los cambios de frecuencia se difumina.

Otros ejemplos:

${\displaystyle w(t)=exp(\sigma -t^{2})}$

Normalmente llamamos${\displaystyle exp(\sigma -t^{2})}$una función gaussiana o función de Gabor. Cuando la utilizamos, la transformada de Fourier de tiempo corto se denomina "transformada de Gabor".

También se puede explicar haciendo referencia al muestreo y a la frecuencia de Nyquist .

Se toma una ventana de N muestras de una señal real arbitraria a una frecuencia de muestreo f _s . Al aplicar la transformada de Fourier se obtienen N coeficientes complejos. De estos coeficientes, solo la mitad son útiles (los últimos N/2 son el conjugado complejo de los primeros N/2 en orden inverso, ya que se trata de una señal real).

Estos coeficientes N/2 representan las frecuencias de 0 a f _s /2 (Nyquist) y dos coeficientes consecutivos están separados por f _s / N Hz.

Para aumentar la resolución de frecuencia de la ventana, es necesario reducir el espaciado de frecuencia de los coeficientes. Solo hay dos variables, pero disminuir f _s (manteniendo N constante) provocará un aumento del tamaño de la ventana, ya que ahora hay menos muestras por unidad de tiempo. La otra alternativa es aumentar N , pero esto también provoca un aumento del tamaño de la ventana. Por lo tanto, cualquier intento de aumentar la resolución de frecuencia conlleva un mayor tamaño de ventana y, por consiguiente, una reducción de la resolución temporal, y viceversa.