Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Función de distribución en forma de cono

La función de distribución en forma de cono, también conocida como distribución tiempo-frecuencia de Zhao-Atlas-Marks , [ 1 ] (acrónimo de distribución ZAM [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

La función de distribución en forma de cono, también conocida como distribución tiempo-frecuencia de Zhao-Atlas-Marks , [ 1 ] (acrónimo de distribución ZAM [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] o ZAMD [ 1 ] ), es uno de los miembros de la función de distribución de clase de Cohen . [ 1 ] [ 6 ] Fue propuesta por primera vez por Yunxin Zhao, Les E. Atlas y Robert J. Marks II en 1990. [ 7 ] El nombre de la distribución proviene de la forma de doble cono de la función núcleo de la distribución en elt,τ{\displaystyle t,\tau }plano. [ 8 ] La ventaja de la función núcleo cónico es que puede eliminar completamente el término cruzado entre dos componentes que tienen la misma frecuencia central. Sin embargo, el término cruzado resultante de componentes con el mismo centro de tiempo no puede ser eliminado completamente por el núcleo en forma de cono. [ 9 ] [ 10 ]

Definición matemática

La definición de la función de distribución en forma de cono es:

doincógnita(t,F)=∫−∞∞∫−∞∞Aincógnita(η,τ)Φ(η,τ)exp⁡(j2π(ηt−τF))dηdτ,{\displaystyle C_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }A_{x}(\eta ,\tau )\Phi (\eta ,\tau )\exp(j2\pi (\eta t-\tau f))\,d\eta \,d\tau ,}

dónde

Aincógnita(η,τ)=∫−∞∞incógnita(t+τ/2)incógnita∗(t−τ/2)mi−j2πtηdt,{\displaystyle A_{x}(\eta ,\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi t\eta }\,dt,}

y la función kernel es

Φ(η,τ)=pecado⁡(πητ)πητexp⁡(−2πατ2).{\displaystyle \Phi \left(\eta ,\tau \right)={\frac {\sin \left(\pi \eta \tau \right)}{\pi \eta \tau }}\exp \left(-2\pi \alpha \tau ^{2}\right).}

La función kernel ent,τ{\displaystyle t,\tau }El dominio se define como:

ϕ(t,τ)={1τexp⁡(−2πατ2),|τ|≥2|t|,0,de lo contrario.{\displaystyle \phi \left(t,\tau \right)={\begin{cases}{\frac {1}{\tau }}\exp \left(-2\pi \alpha \tau ^{2}\right),&|\tau |\geq 2|t|,\\0,&{\mbox{en otro caso}}.\end{cases}}}

A continuación se muestra la distribución de magnitud de la función kernel ent,τ{\displaystyle t,\tau }dominio.

A continuación se muestra la distribución de magnitud de la función kernel enη,τ{\displaystyle \eta ,\tau }dominio con diferentesα{\displaystyle \alpha }valores.

Como se observa en la figura anterior, un núcleo de función de distribución en forma de cono elegido adecuadamente puede filtrar la interferencia en elτ{\displaystyle \tau }eje en elη,τ{\displaystyle \eta ,\tau }dominio, o el dominio de ambigüedad. Por lo tanto, a diferencia de la función de distribución de Choi-Williams , la función de distribución en forma de cono puede reducir eficazmente los resultados de los términos cruzados de dos componentes con la misma frecuencia central. Sin embargo, los términos cruzados en elη{\displaystyle \eta }Los ejes aún se conservan.

La función de distribución en forma de cono se encuentra en la Caja de herramientas de tiempo-frecuencia de MATLAB [ 11 ] y en las Herramientas LabVIEW de National Instruments para análisis de tiempo-frecuencia, series temporales y ondículas [ 12 ].

Propiedades

La función de distribución en forma de cono (ZAM) posee propiedades matemáticas específicas que la distinguen de otros miembros de la clase de Cohen. Estas propiedades determinan la precisión de la distribución al representar la energía de la señal en el tiempo y la frecuencia. [ 13 ]

Marginales

Para una distribución tiempo-frecuenciadoincógnita(t,F){\displaystyle C_{x}(t,f)}Para interpretar correctamente la energía de la señal, a menudo se desea que se cumplan las propiedades marginales:

∫−∞∞doincógnita(t,F)dF=|incógnita(t)|2{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }C_{x}(t,f)df=|x(t)|^{2}}(Margen de tiempo)
∫−∞∞doincógnita(t,F)dt=|incógnita(F)|2{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }C_{x}(t,f)dt=|X(f)|^{2}}(Frecuencia marginal)

En el caso de la distribución en forma de cono:

  • Marginal temporal : El núcleo en el dominio de la ambigüedadΦ(η,τ){\displaystyle \Phi (\eta,\tau)}debe satisfacerΦ(η,0)=1{\displaystyle \Phi (\eta,0)=1}. Para el núcleo ZAM,Φ(η,0)=límiteτ→0pecado⁡(πητ)πητmi−2πατ2=1{\displaystyle \Phi (\eta ,0)=\lim _{\tau \to 0}{\frac {\sin(\pi \eta \tau )}{\pi \eta \tau }}e^{-2\pi \alpha \tau ^{2}}=1}Por lo tanto, la distribución ZAM conserva la marginalidad temporal , es decir, la suma sobre la frecuencia en un tiempo dado.t{\displaystyle t}proporciona la potencia instantánea de la señal. [ 1 ]
  • Frecuencia marginal : La condición esΦ(0,τ)=1{\displaystyle \Phi (0,\tau )=1}. Para el núcleo ZAM, sustituyendoη=0{\displaystyle \eta =0}daΦ(0,τ)=mi−2πατ2{\displaystyle \Phi (0,\tau )=e^{-2\pi \alpha \tau ^{2}}}. Dado que esta expresión depende deτ{\displaystyle \tau }yα{\displaystyle \alpha }y no es estrictamente 1 (a menos queα=0{\displaystyle \alpha =0}, lo que trivializa el núcleo), la distribución ZAM no conserva la marginal de frecuencia . [ 1 ] Esto implica que integrar la distribución en el tiempo no recupera perfectamente el espectro de energía|incógnita(F)|2{\displaystyle |X(f)|^{2}}.

Invariancia de desplazamiento temporal y de frecuencia

La distribución ZAM satisface la invariancia tanto temporal como de desplazamiento de frecuencia.

  • Siy(t)=incógnita(t−t0){\displaystyle y(t)=x(t-t_{0})}, entoncesdoy(t,F)=doincógnita(t−t0,F){\displaystyle C_{y}(t,f)=C_{x}(t-t_{0},f)}.
  • Siy(t)=incógnita(t)mij2πF0t{\displaystyle y(t)=x(t)e^{j2\pi f_{0}t}}, entoncesdoy(t,F)=doincógnita(t,F−F0){\displaystyle C_{y}(t,f)=C_{x}(t,f-f_{0})}.

Estas propiedades son cruciales para analizar señales donde los eventos pueden ocurrir en tiempos o frecuencias arbitrarias sin distorsionar la forma de la representación. [ 14 ]

Valor real

Dado que la función kernel en el dominio de retardo temporalϕ(t,τ){\displaystyle \phi (t,\tau)}satisface la simetría conjugadaϕ(t,−τ)=ϕ∗(t,τ){\displaystyle \phi (t,-\tau )=\phi ^{*}(t,\tau )}, la distribución resultantedoincógnita(t,F){\displaystyle C_{x}(t,f)}Siempre es de valor real. Esto permite una interpretación física directa de la energía de la señal, aunque aún pueden aparecer valores negativos (una característica común en la clase de Cohen, excluyendo el espectrograma).

Rendimiento y supresión entre períodos

Una de las principales motivaciones para la distribución en forma de cono es la supresión de los términos cruzados (términos de interferencia) que surgen en la función de distribución de Wigner (WDF) al analizar señales multicomponente.

Mecanismo de supresión

En el dominio de la ambigüedad (η,τ{\displaystyle \eta ,\tau }), los auto-términos de los componentes de una señal se concentran cerca del origen(0,0){\displaystyle (0,0)}, mientras que los términos cruzados entre componentes se ubican lejos del origen.

  • La distribución de Wigner tiene un núcleo de paso total.ΦWDF(η,τ)=1{\displaystyle \Phi _ {WDF}(\eta,\tau)=1}, preservando todos los términos cruzados.
  • La distribución de Choi-Williams utiliza un núcleo exponencial que abarca ambos ejes, pero que disminuye al alejarse de ellos.
  • La distribución en forma de cono tiene una región de soporte de núcleo única. En lat,τ{\displaystyle t,\tau }dominio, el núcleo es distinto de cero solo dentro del cono definido por|τ|≥2|t|{\displaystyle |\tau |\geq 2|t|}. Esta restricción geométrica en elt−τ{\displaystyle t-\tau }El dominio se traduce en un efecto de filtrado de paso bajo en los términos cruzados en el dominio tiempo-frecuencia.

Específicamente, el núcleo ZAM atenúa fuertemente los componentes de interferencia que resultan de señales separadas en frecuencia (que aparecen en elτ{\displaystyle \tau }eje en el dominio de ambigüedad) mientras se preserva la resolución de componentes separados en el tiempo. Esto hace que ZAM sea particularmente eficaz para señales compuestas por eventos de corta duración que ocurren en diferentes frecuencias. [ 15 ]

Comparación con otras distribuciones

Si bien la distribución ZAM sobresale en la eliminación de términos cruzados formados por componentes con el mismo tiempo central pero diferentes frecuencias (términos cruzados "verticales" en el plano TF), es menos eficaz para eliminar términos cruzados de componentes con la misma frecuencia pero diferentes tiempos (términos cruzados "horizontales"), como lo demuestra el kernel.Φ(η,τ){\displaystyle \Phi (\eta,\tau)}no se descompone a lo largo delη{\displaystyle \eta }eje (eje de desplazamiento de frecuencia) tan fuertemente como lo hace a lo largo delτ{\displaystyle \tau }eje. [ 1 ]

Véase también

Referencias

  1. 1 2 3 4 5 6 Leon Cohen, Análisis tiempo-frecuencia: Teoría y aplicaciones, Prentice Hall, (1994)
  2. ↑ LM Khadra; JA Draidi; MA Khasawneh; MM Ibrahim. (1998). "Distribuciones tiempo-frecuencia basadas en núcleos generalizados en forma de cono para la representación de señales no estacionarias". Journal of the Franklin Institute . 335 (5): 915– 928. doi : 10.1016/s0016-0032(97)00023-9 .
  3. ↑ Deze Zeng; Xuan Zeng; G. Lu; B. Tang (2011). "Clasificación automática de modulación de señales de radar utilizando la representación generalizada tiempo-frecuencia de Zhao, Atlas y Marks". IET Radar, Sonar & Navigation . 5 (4): 507– 516. doi : 10.1049/iet-rsn.2010.0174 .
  4. ↑ James R. Bulgrin; Bernard J. Rubal; Theodore E. Posch; Joe M. Moody. "Comparación de las distribuciones tiempo-frecuencia binomial, ZAM y de entropía cruzada mínima de los sonidos cardíacos intracardíacos". Signals, Systems and Computers, 1994. Actas de la Vigésimo Octava Conferencia de Asilomar de 1994. 1 : 383–387 .
  5. ↑ Christos, Skeberis, Zaharias D. Zaharis, Thomas D. Xenos y Dimitrios Stratakis. (2014). "Análisis de la distribución ZAM de las mediciones de interferencia de propagación ionosférica de ondas de radio". Conferencia Internacional de Telecomunicaciones y Multimedia (TEMU), 2014 : 155–161 .{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  6. ↑ Leon Cohen (1989). "Distribuciones tiempo-frecuencia: una revisión". Actas del IEEE . 77 (7): 941– 981. CiteSeerX 10.1.1.1026.2853 . doi : 10.1109/5.30749 . 
  7. ↑ Y. Zhao; LE Atlas; RJ Marks II (julio de 1990). "El uso de núcleos en forma de cono para representaciones generalizadas tiempo-frecuencia de señales no estacionarias". IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing . 38 (7): 1084– 1091. CiteSeerX 10.1.1.682.8170 . doi : 10.1109/29.57537 . 
  8. ↑ RJ Marks II (2009). Manual de análisis de Fourier y sus aplicaciones . Oxford University Press.
  9. ↑ Patrick J. Loughlin; James W. Pitton; Les E. Atlas (1993). "Representaciones bilineales tiempo-frecuencia: Nuevas perspectivas y propiedades". IEEE Transactions on Signal Processing . 41 (2): 750– 767. Bibcode : 1993ITSP...41..750L . doi : 10.1109/78.193215 .
  10. ↑ Seho Oh; RJ Marks II (1992). "Algunas propiedades de la representación generalizada tiempo-frecuencia con núcleo en forma de cono". IEEE Transactions on Signal Processing . 40 (7): 1735– 1745. Bibcode : 1992ITSP...40.1735O . doi : 10.1109/78.143445 .
  11. ↑Caja de herramientas de tiempo-frecuencia para usar con MATLAB
  12. ↑National Instruments. Herramientas LabVIEW para análisis tiempo-frecuencia, series temporales y ondículas.Distribución en forma de cono de TFA VI
  13. ↑ Seho Oh; RJ Marks II (1992). "Algunas propiedades de la representación generalizada tiempo-frecuencia con núcleo en forma de cono". IEEE Transactions on Signal Processing . 40 (7): 1735– 1745. doi : 10.1109/78.143445 .
  14. ↑ Hlawatsch, F.; Boudreaux-Bartels, GF (1992). "Representaciones lineales y cuadráticas de señales tiempo-frecuencia". IEEE Signal Processing Magazine . 9 (2): 21– 67. doi : 10.1109/79.127284 .
  15. ↑ P. Goncalves; R. Baraniuk (1998). "Distribuciones pseudoafines de Wigner: definición y formulación del núcleo". IEEE Transactions on Signal Processing . 46 (6): 1505– 1516. doi : 10.1109/78.678464 .