Función de distribución de Choi-Williams

La función de distribución de Choi-Williams es uno de los miembros de la clase de funciones de distribución de Cohen . ^{[ 1 ]} Fue propuesta por primera vez por Hyung-Ill Choi y William J. Williams en 1989. Esta función de distribución adopta un núcleo exponencial para suprimir el término cruzado. Sin embargo, la ganancia del núcleo no disminuye a lo largo de la${\displaystyle \eta ,\tau }$ejes en el dominio de ambigüedad. En consecuencia, la función núcleo de la función de distribución de Choi-Williams solo puede filtrar los términos cruzados que resultan de los componentes que difieren tanto en el centro temporal como en el de frecuencia.

La definición de la función de distribución de Choi-Williams se muestra a continuación:

${\displaystyle C_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }A_{x}(\eta ,\tau )\Phi (\eta ,\tau )\exp(j2\pi (\eta t-\tau f))\,d\eta \,d\tau ,}$

dónde

${\displaystyle A_{x}(\eta ,\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi t\eta }\,dt,}$

y la función kernel es:

${\displaystyle \Phi \left(\eta ,\tau \right)=\exp \left[-\alpha \left(\eta \tau \right)^{2}\right].}$

La principal motivación detrás de la distribución de Choi-Williams es suprimir los términos cruzados (términos de interferencia) que afectan a la función de distribución de Wigner . En el dominio de la función de ambigüedad (definido por variables)${\displaystyle \eta ,\tau }$), los "auto-términos" de una señal (los componentes reales de la señal) suelen concentrarse cerca del origen.${\displaystyle (\eta =0,\tau =0)}$, mientras que los términos cruzados se ubican lejos del origen. ^{[ 2 ]}

La función núcleo de Choi-Williams está diseñada como un filtro de paso bajo en el dominio de la ambigüedad:

${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )=\exp[-\alpha (\eta \tau )^{2}]}$

El análisis de este núcleo revela sus características de filtrado:

• En los ejes (${\displaystyle \eta =0}$o${\displaystyle \tau =0}$), el valor del kernel es${\displaystyle 1}$Esto garantiza que se cumplan las propiedades marginales (véase la sección Propiedades).
• Lejos de los ejes, como el producto${\displaystyle \eta \tau }$A medida que aumenta, el valor del núcleo decae exponencialmente hacia cero.

Geométricamente, esto crea una banda de paso en forma de "cruz" en el dominio de la ambigüedad. El núcleo conserva los componentes de la señal que se encuentran en los ejes (términos automáticos) mientras atenúa los componentes que están lejos de los ejes (términos cruzados). Sin embargo, una limitación conocida es que si los términos cruzados se encuentran exactamente en los ejes,${\displaystyle \eta }$o${\displaystyle \tau }$ejes (lo que ocurre cuando dos componentes tienen el mismo tiempo central o la misma frecuencia central), la distribución de Choi-Williams no puede filtrarlos. ^{[ 3 ]}

La distribución de Choi-Williams posee varias propiedades matemáticas deseables que la hacen atractiva para el análisis de señales no estacionarias.

El parámetro${\displaystyle \alpha }$(a menudo se denota como${\displaystyle 1/\sigma }$en cierta literatura donde el núcleo es${\displaystyle \exp[-(\pi \eta \tau )^{2}/\sigma ]}$) controla el equilibrio entre la resolución automática de términos y la supresión de términos cruzados. ^{[ 6 ]}

• Grande${\displaystyle \alpha }$(Pequeño${\displaystyle \sigma }$) : El núcleo se desintegra muy rápidamente al alejarse de los ejes.
  • Ventajas : Fuerte supresión de términos cruzados.
  • Desventajas : Los autotérminos pueden aparecer borrosos o distorsionados porque el núcleo podría filtrar algunos contenidos de alta frecuencia de los propios autotérminos.
• Pequeño${\displaystyle \alpha }$(Grande${\displaystyle \sigma }$) : El núcleo se aproxima a la unidad (1).
  • Ventajas : Alta resolución de los términos automáticos (aproximada a la distribución de Wigner).
  • Desventajas : Supresión deficiente de términos cruzados; la interferencia se vuelve visible.

En aplicaciones prácticas, el valor de${\displaystyle \alpha }$Suele elegirse empíricamente en función de las características de la señal, generalmente entre 0,1 y 10. Para señales con estructuras multicomponentes complejas, se selecciona un valor intermedio para equilibrar la claridad de los componentes con los patrones de interferencia "fantasma".

• Función de distribución en forma de cono
• función de distribución de Wigner
• Función de ambigüedad
• Transformada de Fourier de corto tiempo

• Apuntes de clase sobre análisis tiempo-frecuencia y transformada wavelet , Jian-Jiun Ding, Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad Nacional de Taiwán (NTU), Taipéi, Taiwán, 2007.
• S. Qian y D. Chen, Análisis conjunto tiempo-frecuencia: métodos y aplicaciones, Cap. 5, Prentice Hall, NJ, 1996.
• H. Choi y WJ Williams, “Representación mejorada del dominio tiempo-frecuencia de señales multicomponente mediante núcleos exponenciales”, IEEE. Trans. Acoustics, Speech, Signal Processing, vol. 37, n.º 6, págs.  862 – 871, junio de 1989.
• Y. Zhao, LE Atlas y RJ Marks, “El uso de núcleos en forma de cono para representaciones generalizadas de tiempo-frecuencia de señales no estacionarias”, IEEE Trans. Acoustics, Speech, Signal Processing, vol. 38, n.º 7, págs.  1084 – 1091, julio de 1990.