Gabor transform

La transformada de Gabor , que recibe su nombre de Dennis Gabor , es un caso especial de la transformada de Fourier de tiempo corto . Se utiliza para determinar el contenido de frecuencia y fase sinusoidal de secciones locales de una señal a medida que cambia con el tiempo. La función que se va a transformar se multiplica primero por una función gaussiana , que puede considerarse una función de ventana , y la función resultante se transforma luego con una transformada de Fourier para obtener el análisis tiempo-frecuencia . ^{[ 1 ]} La función de ventana significa que la señal cercana al tiempo que se analiza tendrá mayor peso. La transformada de Gabor de una señal x ( t ) se define mediante esta fórmula:

${\displaystyle G_{x}(\tau ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e^{-j\omega t}\,dt}$

La función gaussiana tiene un rango infinito y su implementación resulta poco práctica. Sin embargo, se puede elegir un nivel de significancia (por ejemplo, 0,00001) para la distribución de la función gaussiana.

${\displaystyle {\begin{cases}e^{-{\pi }a^{2}}\geq 0.00001;&\left|a\right|\leq 1.9143\\e^{-{\pi }a^{2}}<0.00001;&\left|a\right|>1.9143\end{cases}}}$

Fuera de estos límites de integración (${\displaystyle \left|a\right|>1.9143}$) la función gaussiana es lo suficientemente pequeña como para ser ignorada. Por lo tanto, la transformada de Gabor puede aproximarse satisfactoriamente como

${\displaystyle G_{x}(\tau ,\omega )=\int _{-1.9143+\tau }^{1.9143+\tau }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e^{-j\omega t}\,dt}$

Esta simplificación hace que la transformación de Gabor sea práctica y realizable.

El ancho de la función de ventana también se puede variar para optimizar el compromiso de resolución tiempo-frecuencia para una aplicación particular reemplazando la${\displaystyle {-{\pi }(t-\tau )^{2}}}$con ${\displaystyle {-{\pi }\alpha (t-\tau )^{2}}}$para algunos elegidos${\displaystyle \alpha }$.

La transformada de Gabor es invertible. Debido a que es sobrecompleta, la señal original se puede recuperar de diversas maneras. Por ejemplo, el enfoque de "desventanado" se puede utilizar para cualquier${\displaystyle \tau _ {0}\in (-\infty,\infty)}$:

${\displaystyle x(t)=e^{\pi (t-\tau _{0})^{2}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau _{0},\omega )e^{j\omega t}\,d\omega }$

Alternativamente, se pueden combinar todos los componentes de tiempo:

${\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau ,\omega )e^{j\omega t}\,d\omega \,d\tau }$

La transformada de Gabor posee muchas propiedades similares a las de la transformada de Fourier. Estas propiedades se enumeran en las siguientes tablas.

La principal aplicación de la transformada de Gabor se utiliza en el análisis tiempo-frecuencia . Tomemos como ejemplo la siguiente función. La señal de entrada tiene  un componente de frecuencia de 1 Hz cuando t  ≤  0 y un  componente de frecuencia de 2 Hz cuando t  >  0.

${\displaystyle x(t)={\begin{cases}\cos(2\pi t)&{\text{for }}t\leq 0,\\\cos(4\pi t)&{\text{for }}t>0.\end{cases}}}$

Pero si el ancho de banda total disponible es de 5  Hz, otras bandas de frecuencia, excepto x ( t ), se desperdician. Mediante el análisis tiempo-frecuencia aplicando la transformada de Gabor, se puede conocer el ancho de banda disponible y esas bandas de frecuencia se pueden usar para otras aplicaciones y ahorrar ancho de banda. La imagen de la derecha muestra la señal de entrada x ( t ) y la salida de la transformada de Gabor. Como esperábamos, la distribución de frecuencia se puede separar en dos partes. Una es t  ≤  0 y la otra es t  >  0. La parte blanca es la banda de frecuencia ocupada por x ( t ) y la parte negra no se utiliza. Nótese que para cada punto en el tiempo hay un componente de frecuencia negativo (parte blanca superior) y uno positivo (parte blanca inferior).

Una versión discreta de la representación de Gabor

${\displaystyle y(t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }C_{nm}\cdot g_{nm}(t)}$

con${\displaystyle g_{nm}(t)=s(t-m\tau _{0})\cdot e^{j\Omega nt}}$

se puede derivar fácilmente discretizando la función base de Gabor en estas ecuaciones. Aquí el parámetro continuo t se reemplaza por el tiempo discreto k . Además, ahora hay que considerar el límite de suma finito en la representación de Gabor. De esta manera, la señal muestreada y ( k ) se divide en M intervalos de tiempo de longitud N. Según${\displaystyle \Omega \leq {\tfrac {2\pi }{\tau _{0}}}}$, el factor Ω para el muestreo crítico es${\displaystyle \Omega ={\tfrac {2\pi }{N}}}$.

De forma similar a la DFT (transformación discreta de Fourier), se obtiene un dominio de frecuencia dividido en N particiones discretas. Una transformación inversa de estas N particiones espectrales conduce entonces a N valores y ( k ) para la ventana de tiempo, que consta de N valores de muestra. Para un total de M ventanas de tiempo con N valores de muestra, cada señal y ( k ) contiene K = N${\displaystyle \cdot }$Valores de muestra M : (la representación discreta de Gabor)

${\displaystyle y(k)=\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}C_{nm}\cdot g_{nm}(k)}$

con${\displaystyle g_{nm}(k)=s(k-mN)\cdot e^{j\Omega nk}}$

Según la ecuación anterior, el N${\displaystyle \cdot }$coeficientes M${\displaystyle C_{nm}}$corresponden al número de valores de muestra K de la señal.

Para sobremuestreo${\displaystyle \Omega }$está configurado para${\displaystyle \Omega \leq {\tfrac {2\pi }{N}}={\tfrac {2\pi }{N^{\prime }}}}$con N ′ > N , lo que resulta en N ′ > N coeficientes de sumatoria en la segunda suma de la representación discreta de Gabor. En este caso, el número de coeficientes de Gabor obtenidos sería M${\displaystyle \cdot }$N ′ > K . Por lo tanto, hay más coeficientes disponibles que valores de muestra y, en consecuencia, se lograría una representación redundante.

Al igual que en la transformada de Fourier de tiempo corto, la resolución en el dominio del tiempo y de la frecuencia se puede ajustar eligiendo diferentes anchos de función de ventana. En los casos de la transformada de Gabor, al agregar varianza${\displaystyle \sigma }$, como en la siguiente ecuación:

La ventana gaussiana escalada (normalizada) se denota como:

${\displaystyle W_{\text{gaussian}}(t)=e^{-\sigma \pi t^{2}}}$

Por lo tanto, la transformada de Gabor escalada se puede escribir como:

${\displaystyle G_{x}(t,f)={\sqrt[{4}]{\sigma }}\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle e^{-\sigma \pi (\tau -t)^{2}}e^{-j2\pi f\tau }x(\tau )d\tau \qquad }$

Con un gran${\displaystyle \sigma }$, la función de ventana será estrecha, lo que provocará una mayor resolución en el dominio del tiempo pero una menor resolución en el dominio de la frecuencia. De manera similar, una pequeña${\displaystyle \sigma }$Esto dará lugar a una ventana amplia, con mayor resolución en el dominio de la frecuencia pero menor resolución en el dominio del tiempo.

Al procesar señales temporales, no se puede acceder a datos del futuro, lo que genera problemas al intentar usar funciones de Gabor para procesar señales en tiempo real. En ^{[ 2 ]} se desarrolló un análogo causal temporal del filtro de Gabor basado en reemplazar el núcleo gaussiano de la función de Gabor con un núcleo causal temporal y recursivo temporal, denominado núcleo límite causal temporal. De esta manera, el análisis tiempo-frecuencia basado en la extensión de valores complejos resultante del núcleo límite causal temporal permite capturar transformaciones de una señal temporal esencialmente similares a las que puede capturar la función de Gabor, y correspondientes al grupo de Heisenberg ; véase ^{[ 2 ]} para más detalles.

• Filtro de Gabor
• Ondícula de Gabor
• átomo de Gabor
• Representación tiempo-frecuencia
• Transformación S
• Transformada de Fourier de corto tiempo
• función de distribución de Wigner

• D. Gabor, Teoría de la comunicación, Parte 1, J. Inst. of Elect. Eng. Parte III, Radio y comunicación, vol. 93, pág.  429, 1946 ( http://genesis.eecg.toronto.edu/gabor1946.pdf )
• Jian-Jiun Ding, Análisis tiempo-frecuencia y transformada wavelet: apuntes de clase, Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad Nacional de Taiwán, Taipéi, Taiwán, 2007.