Frecuencia negativa

En matemáticas , el concepto de frecuencia con signo ( frecuencia negativa y positiva ) puede indicar tanto la velocidad como el sentido de rotación ; puede ser tan simple como una rueda que gira en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario. La velocidad se expresa en unidades como revoluciones (también llamadas ciclos ) por segundo ( hercios ) o radianes por segundo (donde 1 ciclo corresponde a 2π radianes ) .

Ejemplo: Matemáticamente, el vector $(\cos(t),\sin(t))$ tiene una frecuencia positiva de +1 radián por unidad de tiempo y gira en sentido antihorario alrededor de un círculo unitario , mientras que el vector $(\cos(-t),\sin(-t))$ tiene una frecuencia negativa de −1 radián por unidad de tiempo, que gira en el sentido de las agujas del reloj.

Sinusoides

Sea $ω > 0$ una frecuencia angular con unidades de radianes/segundo. Entonces, la función $f(t) = -ωt + θ$ tiene una pendiente de $-ω$ , que se denomina frecuencia negativa . Pero cuando la función se usa como argumento de un operador coseno, el resultado es indistinguible de $cos(ωt - θ)$ . De manera similar, $sin(- ωt + θ)$ es indistinguible de $sin(ωt - θ + π)$ . Por lo tanto, cualquier sinusoide puede representarse en términos de una frecuencia positiva. El signo de la pendiente de fase subyacente es ambiguo.

La ambigüedad se resuelve cuando los operadores coseno y seno se pueden observar simultáneamente, porque $cos(ωt + θ)$ adelanta $a sin(ωt + θ)$ en 1/4 de ciclo (es decir, π / 2 radianes) cuando $ω$ $> 0$ , y se retrasa en 1/4 de ciclo cuando $ω$ $< 0$ . De manera similar, un vector, $(cos$ $ωt$ $, sin$ ωt $)$ $,$ gira en sentido antihorario si $ω$ $> 0$ , y en sentido horario si $ω$ $< 0$ . Por lo tanto, el signo de $\omega$ También se conserva en la función de valor complejo :

cuyo corolario es:

En la ecuación 1, el segundo término es una adición a $\cos(\omega t)$ que resuelve la ambigüedad. En la ecuación 2, el segundo término parece una suma, pero en realidad es una cancelación que reduce un vector bidimensional a una sola dimensión, lo que resulta en la ambigüedad. La ecuación 2 también muestra por qué la transformada de Fourier tiene respuestas en ambos $\pm \omega ,$ a pesar de $\omega$ Solo puede tener un signo. Lo que hace la respuesta falsa es permitir que la transformada inversa distinga entre una función de valor real y una compleja.

Aplicaciones

Simplificación de la transformada de Fourier

Quizás la aplicación más conocida de la frecuencia negativa sea la fórmula:

{\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt,

que es una medida de la energía en función $f(t)$ a frecuencia $\omega .$ Cuando se evalúa para un continuo de argumentos $\omega ,$ El resultado se llama transformada de Fourier . ^{[ A ]}

Por ejemplo, consideremos la función:

f(t)=A_{1}e^{i\omega _{1}t}+A_{2}e^{i\omega _{2}t},\ \forall \ t\in \mathbb {R} ,\ \omega _{1}>0,\ \omega _{2}>0.

Y:

{\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }[A_{1}e^{i\omega _{1}t}+A_{2}e^{i\omega _{2}t}]e^{-i\omega t}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }A_{1}e^{i\omega _{1}t}e^{-i\omega t}dt+\int _{-\infty }^{\infty }A_{2}e^{i\omega _{2}t}e^{-i\omega t}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }A_{1}e^{i(\omega _{1}-\omega )t}dt+\int _{-\infty }^{\infty }A_{2}e^{i(\omega _{2}-\omega )t}dt\end{aligned}}

Cabe señalar que, si bien la mayoría de las funciones no constan de sinusoides de duración infinita, esta idealización es una simplificación común para facilitar su comprensión.

Observando el primer término de este resultado, cuando $\omega =\omega _ {1},$ la frecuencia negativa $-\omega _{1}$ cancela la frecuencia positiva, dejando solo el coeficiente constante $A_{1}$ (porque $e^{i0t}=e^{0}=1$ ), lo que provoca que la integral infinita diverja. En otros valores de $\omega$ Las oscilaciones residuales hacen que la integral converja a cero. Esta transformada de Fourier idealizada se suele escribir como:

{\hat {f}}(\omega )=2\pi A_{1}\delta (\omega -\omega _{1})+2\pi A_{2}\delta (\omega -\omega _{2}).

Para duraciones realistas, las divergencias y convergencias son menos extremas, y aparecen convergencias menores no nulas ( fuga espectral ) en muchas otras frecuencias, pero el concepto de frecuencia negativa sigue siendo válido. La formulación original de Fourier ( la transformada seno-seno y la transformada coseno ) requiere una integral para el coseno y otra para el seno. Además, las expresiones trigonométricas resultantes suelen ser menos manejables que las expresiones exponenciales complejas. (Véase Señal analítica , Fórmula de Euler § Relación con la trigonometría y Fasor ).

Muestreo de frecuencias positivas y negativas y aliasing

Véase también

Ángulo § Signo

Notas

↑ Existen varias formas de la transformada de Fourier. Esta es la forma no unitaria en frecuencia angular del tiempo.

Lecturas adicionales

Lyons, Richard G. (11 de noviembre de 2010). Cap. 8.4. Comprensión del procesamiento digital de señales (3.ª ed.). Prentice Hall. 944 págs. ISBN 0137027419.
Lyons, Richard G. (noviembre de 2001). "Comprensión del dominio de frecuencia del procesamiento de señales digitales" . Revista RF Design . Recuperado el 29 de diciembre de 2022 .

[1] Existen varias formas de la transformada de Fourier. Esta es la forma no unitaria en frecuencia angular del tiempo.

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