Notación vectorial

Flecha vectorial que apunta de A a B.

Componentes vectoriales. Describir un vector flecha v mediante sus coordenadas x e y produce un isomorfismo de espacios vectoriales.

Producto escalar Dos secuencias de vectores de coordenadas de igual longitud y devuelve un único número

Producto vectorial El producto vectorial con respecto a un sistema de coordenadas diestro

En matemáticas y física , la notación vectorial es una notación comúnmente utilizada para representar vectores , ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} que pueden ser vectores euclidianos o, más generalmente, miembros de un espacio vectorial .

Para denotar un vector, la convención tipográfica común es minúscula, negrita vertical, como en $v$ . La Organización Internacional de Normalización (ISO) recomienda negrita cursiva con serifa, como en $v$ , o cursiva sin serifa con serifa acentuada por una flecha derecha, como en ${\vec {v}}$ . ^{[ 3 ]} En matemáticas avanzadas, los vectores a menudo se representan en un tipo cursivo simple, como cualquier variable .

Las representaciones vectoriales incluyen coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas.

Historia

En 1835, Giusto Bellavitis introdujo la idea de segmentos de línea dirigidos equilentantes. $AB\bumpeq CD$ lo que dio como resultado el concepto de vector como una clase de equivalencia de dichos segmentos. ^{[ 4 ]}

El término vector fue acuñado por W. R. Hamilton alrededor de 1843, cuando reveló los cuaterniones , un sistema que utiliza vectores y escalares para abarcar un espacio de cuatro dimensiones. Para un cuaternión q = a + b i + c j + d k, Hamilton utilizó dos proyecciones: S q = a , para la parte escalar de q , y V q = b i + c j + d k, la parte vectorial. Utilizando los términos modernos producto vectorial (×) y producto escalar (.), el producto de cuaterniones de dos vectores p y q se puede escribir pq = – p . q + p × q . En 1878, W. K. Clifford separó los dos productos para hacer que la operación de cuaterniones fuera útil para los estudiantes en su libro de texto Elementos de Dinámica . Durante una conferencia en la Universidad de Yale , Josiah Willard Gibbs proporcionó la notación para el producto escalar y el producto vectorial , que se introdujo en Análisis Vectorial . ^{[ 5 ]}

En 1891, Oliver Heaviside defendió que Clarendon distinguiera entre vectores y escalares. Criticó el uso de letras griegas por parte de Tait y de letras góticas por parte de Maxwell . ^{[ 6 ]}

En 1912, JB Shaw contribuyó con su "Notación comparativa para expresiones vectoriales" al Boletín de la Asociación de Cuaterniones . ^{[ 7 ]} Posteriormente, Alexander Macfarlane describió 15 criterios para la expresión clara con vectores en la misma publicación. ^{[ 8 ]}

Hermann Grassmann propuso ideas sobre vectores en 1841 y nuevamente en 1862 en alemán . Sin embargo, los matemáticos alemanes no se interesaron tanto por los cuaterniones como los matemáticos angloparlantes. Cuando Felix Klein organizaba la enciclopedia matemática alemana , encargó a Arnold Sommerfeld la estandarización de la notación vectorial. ^{[ 9 ]} En 1950, cuando Academic Press publicó la traducción de G. Kuerti de la segunda edición del volumen 2 de Lecciones de física teórica de Sommerfeld, la notación vectorial fue objeto de una nota a pie de página: «En el texto original en alemán, los vectores y sus componentes están impresos en la misma tipografía gótica. Para esta traducción se ha adoptado la forma más habitual de distinguir tipográficamente entre ambos». ^{[ 10 ]}

Felix Klein comentó sobre las diferencias en la notación de vectores y sus operaciones en 1925 a través del Sr. Seyfarth, quien preparó un suplemento a Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado: Geometría después de "repetidas conferencias" con él. ^{[ 11 ]}^{: vi}

Los términos segmento de línea, segmento de plano, magnitud plana, producto interno y externo provienen de Grassmann, mientras que las palabras escalar, vector, producto escalar y producto vectorial provienen de Hamilton. Los discípulos de Grassmann, por lo demás tan ortodoxos, reemplazaron parcialmente las expresiones apropiadas del maestro por otras. Las terminologías existentes se fusionaron o modificaron, y los símbolos que indican las distintas operaciones se han utilizado con la mayor arbitrariedad. Por estas razones, incluso para el experto, se ha introducido una gran falta de claridad en este campo, que es matemáticamente tan simple. ^{[ 11 ]}^{: 53}

Los esfuerzos por unificar los diversos términos de notación a través de comités del Congreso Internacional de Matemáticos se describieron de la siguiente manera:

El Comité que se creó en Roma para la unificación de la notación vectorial no tuvo el más mínimo éxito, como era de esperar. En el siguiente Congreso en Cambridge (1912), tuvieron que explicar que no habían terminado su tarea y solicitar una prórroga para la reunión del siguiente Congreso, que debía celebrarse en Estocolmo en 1916, pero que se canceló debido a la guerra. El comité de unidades y símbolos corrió la misma suerte. En 1921 publicó una propuesta de notación para cantidades vectoriales, que suscitó de inmediato y desde muchos frentes la más virulenta oposición. ^{[ 11 ]}^{: 52}

Coordenadas rectangulares

Dado un sistema de coordenadas cartesianas , un vector puede especificarse mediante sus coordenadas cartesianas .

Notación de tuplas

Un vector v en un espacio de coordenadas reales n -dimensional se puede especificar utilizando una tupla (lista ordenada) de coordenadas:

\mathbf {v} =(v_{1},v_{2},\dots,v_{n-1},v_{n})

A veces, corchetes angulares $\langle \dots \rangle$ se utilizan en lugar de paréntesis. ^{[ 12 ]}

Notación matricial

Un vector en $\mathbb {R} ^{n}$ También se puede especificar como una matriz de filas o columnas que contiene el conjunto ordenado de componentes. Un vector especificado como una matriz de filas se conoce como un vector de filas ; uno especificado como una matriz de columnas se conoce como un vector de columnas .

Nuevamente, un vector n -dimensional $\mathbf {v}$ puede especificarse en cualquiera de las siguientes formas utilizando matrices:

$\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n-1}&v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n-1}&v_{n}\end{pmatrix}}$
$\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\v_{n}\end{pmatrix}}$

donde v ₁ , v ₂ , …, v _{n − 1} , v _n son los componentes de v . En algunos contextos avanzados, un vector fila y un vector columna tienen significados diferentes; consulte covarianza y contravarianza de vectores para obtener más información.

Notación de vector unitario

Un vector en $\mathbb {R} ^{3}$ (o menos dimensiones, como por ejemplo $\mathbb {R} ^{2}$ donde v _z a continuación es cero) se puede especificar como la suma de los múltiplos escalares de las componentes del vector con los miembros de la base estándar en $\mathbb {R} ^{3}$ La base está representada por los vectores unitarios . ${\boldsymbol {\hat {\imath }}}=(1,0,0)$ , ${\boldsymbol {\hat {\jmath }}}=(0,1,0)$ , y ${\boldsymbol {\hat {k}}}=(0,0,1)$ .

Un vector tridimensional ${\boldsymbol {v}}$ se puede especificar de la siguiente forma, utilizando la notación de vector unitario: $\mathbf {v} =v_{x}{\boldsymbol {\hat {\imath }}}+v_{y}{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+v_{z}{\boldsymbol {\hat {k}}}$

donde v _x , v _y , y v _z son las componentes escalares de v . Las componentes escalares pueden ser positivas o negativas; el valor absoluto de una componente escalar es su magnitud.

Coordenadas polares

Las dos coordenadas polares de un punto en un plano pueden considerarse como un vector bidimensional. Dicho vector consta de una magnitud (o longitud) y una dirección (o ángulo). La magnitud, representada típicamente como r , es la distancia desde un punto de partida, el origen , hasta el punto representado. El ángulo, representado típicamente como θ (la letra griega theta ), es el ángulo, generalmente medido en sentido contrario a las agujas del reloj , entre una dirección fija, típicamente la del eje x positivo, y la dirección desde el origen hasta el punto. El ángulo se reduce típicamente para que se encuentre dentro del rango $0\leq \theta <2\pi$ radianes o $0\leq \theta <360^{\circ }$ .

Notaciones de conjuntos ordenados y matrices

Los vectores se pueden especificar utilizando la notación de pares ordenados (un subconjunto de la notación de conjuntos ordenados que utiliza solo dos componentes) o la notación matricial, como con las coordenadas rectangulares. En estas formas, la primera componente del vector es r (en lugar de v ₁ ), y la segunda componente es θ (en lugar de v ₂ ). Para diferenciar las coordenadas polares de las rectangulares, el ángulo puede ir precedido del símbolo de ángulo, $\angle$ .

Las coordenadas polares bidimensionales para v se pueden representar de cualquiera de las siguientes maneras, utilizando notación de pares ordenados o notación matricial:

$\mathbf {v} =(r,\angle \theta )$
$\mathbf {v} =\langle r,\angle \theta \rangle$
$\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r&\angle \theta \end{bmatrix}}$
$\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r\\\angle \theta \end{bmatrix}}$

donde r es la magnitud, θ es el ángulo y el símbolo del ángulo ( $\angle$ ) es opcional.

Notación directa

Los vectores también pueden especificarse mediante ecuaciones autónomas simplificadas que definen r y θ explícitamente. Esto puede resultar engorroso, pero es útil para evitar la confusión con vectores rectangulares bidimensionales que surge al usar notación de pares ordenados o de matrices.

Un vector bidimensional cuya magnitud es de 5 unidades y cuya dirección es π /9 radianes (20°), se puede especificar utilizando cualquiera de las siguientes formas:

$r=5,\ \theta ={\pi \over 9}$
$r=5,\ \theta =20^{\circ }$

Vectores cilíndricos

Un vector cilíndrico es una extensión del concepto de coordenadas polares a tres dimensiones. Es similar a una flecha en el sistema de coordenadas cilíndricas . Un vector cilíndrico se especifica mediante una distancia en el plano xy , un ángulo y una distancia desde el plano xy (una altura). La primera distancia, generalmente representada como r o ρ (la letra griega rho ), es la magnitud de la proyección del vector sobre el plano xy . El ángulo, generalmente representado como θ o φ (la letra griega phi ), se mide como el desplazamiento desde la línea colineal con el eje x en la dirección positiva; el ángulo se reduce típicamente para que se encuentre dentro del rango $0\leq \theta <2\pi$ . La segunda distancia, generalmente representada como h o z , es la distancia desde el plano xy hasta el punto final del vector.

Notaciones de conjuntos ordenados y matrices

Los vectores cilíndricos utilizan coordenadas polares, donde el segundo componente de distancia se concatena como un tercer componente para formar tripletes ordenados (de nuevo, un subconjunto de la notación de conjuntos ordenados) y matrices. El ángulo puede ir precedido del símbolo de ángulo ( $\angle$ ); la combinación distancia-ángulo-distancia distingue los vectores cilíndricos en esta notación de los vectores esféricos en una notación similar.

Un vector cilíndrico tridimensional v puede representarse de cualquiera de las siguientes maneras, utilizando notación de triplete ordenado o notación matricial:

$\mathbf {v} =(r,\angle \theta ,h)$
$\mathbf {v} =\langle r,\angle \theta ,h\rangle$
$\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r&\angle \theta &h\end{bmatrix}}$
$\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r\\\angle \theta \\h\end{bmatrix}}$

Donde r es la magnitud de la proyección de v sobre el plano xy , θ es el ángulo entre el eje x positivo y v , y h es la altura desde el plano xy hasta el punto final de v . Nuevamente, el símbolo de ángulo ( $\angle$ ) es opcional.

Notación directa

También se puede especificar directamente un vector cilíndrico mediante ecuaciones autónomas simplificadas que definen r (o ρ ), θ (o φ ) y h (o z ). Es importante mantener la coherencia al elegir los nombres de las variables; no se debe confundir ρ con θ, etc.

Un vector tridimensional, cuya magnitud de proyección sobre el plano xy es de 5 unidades, cuyo ángulo con respecto al eje x positivo es de π /9 radianes (20°) y cuya altura con respecto al plano xy es de 3 unidades, puede especificarse en cualquiera de las siguientes formas:

$r=5,\ \theta ={\pi \over 9},\ h=3$
$r=5,\ \theta =20^{\circ },\ h=3$
$\rho =5,\ \phi ={\pi \over 9},\ z=3$
$\rho =5,\ \phi =20^{\circ },\ z=3$

Vectores esféricos

Un vector esférico es otro método para extender el concepto de vectores polares a tres dimensiones. Es similar a una flecha en el sistema de coordenadas esféricas . Un vector esférico se especifica mediante una magnitud, un ángulo azimutal y un ángulo cenital. La magnitud se suele representar como ρ . El ángulo azimutal, representado como θ , es el desplazamiento ( en sentido antihorario ) desde el eje x positivo . El ángulo cenital, representado como φ , es el desplazamiento desde el eje z positivo. Ambos ángulos se reducen generalmente al rango comprendido entre cero (inclusive) y 2π ( exclusivo).

Notaciones de conjuntos ordenados y matrices

Los vectores esféricos se especifican como vectores polares , donde el ángulo cenital se concatena como un tercer componente para formar tripletes y matrices ordenadas. Los ángulos azimutal y cenital pueden ir precedidos del símbolo de ángulo ( $\angle$ ); el prefijo debe usarse de manera consistente para producir la combinación distancia-ángulo-ángulo que distingue los vectores esféricos de los cilíndricos.

Un vector esférico tridimensional v puede representarse de cualquiera de las siguientes maneras, utilizando notación de triplete ordenado o notación matricial:

$\mathbf {v} =(\rho ,\angle \theta ,\angle \phi )$
$\mathbf {v} =\langle \rho ,\angle \theta ,\angle \phi \rangle$
$\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}\rho &\angle \theta &\angle \phi \end{bmatrix}}$
$\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}\rho \\\angle \theta \\\angle \phi \end{bmatrix}}$

Donde ρ es la magnitud, θ es el ángulo azimutal y φ es el ángulo cenital.

Notación directa

Al igual que los vectores polares y cilíndricos, los vectores esféricos se pueden especificar utilizando ecuaciones autónomas simplificadas, en este caso para ρ , θ y φ .

Un vector tridimensional cuya magnitud es de 5 unidades, cuyo ángulo azimutal es π /9 radianes (20°) y cuyo ángulo cenital es π /4 radianes (45°) se puede especificar como:

$\rho =5,\ \theta ={\pi \over 9},\ \phi ={\pi \over 4}$
$\rho =5,\ \theta =20^{\circ },\ \phi =45^{\circ }$

Operaciones

En cualquier espacio vectorial dado , se definen las operaciones de suma de vectores y multiplicación escalar. Los espacios vectoriales normados también definen una operación conocida como norma (o determinación de magnitud). Los espacios con producto interno también definen una operación conocida como producto interno. $\mathbb {R} ^{n}$ , el producto interno se conoce como producto escalar . En $\mathbb {R} ^{3}$ y $\mathbb {R} ^{7}$ También se define una operación adicional conocida como producto vectorial .

Suma de vectores

La suma de vectores se representa con el signo más, que se utiliza como operador entre dos vectores. La suma de dos vectores u y v se representaría como: $\mathbf {u} +\mathbf {v}$

Multiplicación escalar

La multiplicación escalar se representa de la misma manera que la multiplicación algebraica. Un escalar junto a un vector (uno o ambos entre paréntesis) implica una multiplicación escalar. Los dos operadores comunes, el punto y la cruz rotada, también son aceptables (aunque la cruz rotada casi nunca se usa), pero existe el riesgo de confundirlos con el producto escalar y el producto vectorial, que operan sobre dos vectores. El producto de un escalar k por un vector v puede representarse de cualquiera de las siguientes maneras:

$k\mathbf {v}$
$k\cdot \mathbf {v}$

Resta de vectores y división escalar

Utilizando las propiedades algebraicas de la resta y la división, junto con la multiplicación escalar, también es posible “restar” dos vectores y “dividir” un vector por un escalar.

La resta de vectores se realiza sumando el múltiplo escalar de −1 del segundo vector operando al primer vector operando. Esto se puede representar mediante el uso del signo menos como operador. La diferencia entre dos vectores u y v se puede representar de cualquiera de las siguientes maneras:

$\mathbf {u} +-\mathbf {v}$
$\mathbf {u} -\mathbf {v}$

La división escalar se realiza multiplicando el operando vectorial por el inverso multiplicativo del operando escalar. Esto se puede representar mediante el uso de la barra de fracción o los signos de división como operadores. El cociente de un vector v y un escalar c se puede representar de cualquiera de las siguientes formas:

${1 \over c}\mathbf {v}$
${\mathbf {v} \over c}$
${\mathbf {v} \div c}$

Norma

La norma de un vector se representa con barras dobles a ambos lados del vector. La norma de un vector v se puede representar como: $\|\mathbf {v} \|$

La norma también se representa a veces con barras individuales, como $|\mathbf {v} |$ , pero esto puede confundirse con el valor absoluto (que es un tipo de norma).

Producto interno

El producto escalar de dos vectores (también conocido como producto interno, que no debe confundirse con la multiplicación escalar) se representa como un par ordenado encerrado entre corchetes angulares. El producto interno de dos vectores u y v se representaría como: $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle$

producto escalar

En $\mathbb {R} ^{n}$ El producto escalar también se conoce como producto interno . Además de la notación estándar del producto interno, también se puede usar la notación del producto escalar (que utiliza el punto como operador) (y es más común). El producto escalar de dos vectores u y v se puede representar como: $\mathbf {u} \cdot \mathbf {v}$

En algunos textos antiguos, el producto escalar se sobreentiende entre dos vectores escritos uno al lado del otro. Esta notación puede confundirse con el producto diádico entre dos vectores.

producto cruzado

El producto vectorial de dos vectores (en $\mathbb {R} ^{3}$ ) se representa utilizando la cruz rotada como operador. El producto vectorial de dos vectores u y v se representaría como: $\mathbf {u} \times \mathbf {v}$

Según algunas convenciones (por ejemplo, en Francia y en algunas áreas de las matemáticas superiores), esto también se denota mediante una cuña, ^{[ 13 ]} lo que evita confusiones con el producto de cuña ya que ambos son funcionalmente equivalentes en tres dimensiones: $\mathbf {u} \wedge \mathbf {v}$

En algunos textos antiguos, se utiliza la siguiente notación para el producto vectorial entre u y v : $[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]$

Nabla

La notación vectorial se utiliza con el cálculo a través del operador Nabla : $\mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}$ Con una función escalar f , el gradiente se escribe como $\nabla f\,,$

con un campo vectorial F , la divergencia se escribe como $\nabla \cdot F,$

y con un campo vectorial F , el rotacional se escribe como $\nabla \times F.$

Véase también

Referencias

↑ Principios y aplicaciones de las matemáticas para la electrónica de comunicaciones . 1992. pág. 123.
↑ Coffin, Joseph George (1911). Análisis vectorial . J. Wiley & sons.
↑ "ISO 80000-2:2019 Cantidades y unidades — Parte 2: Matemáticas" . Organización Internacional de Normalización. Agosto de 2019.
↑ Lena L. Severance (1930) La teoría de las equipotencias; método de geometría analítica de Sig. Bellavitis , enlace de HathiTrust.
↑ Edwin Bidwell Wilson (1901) Análisis vectorial, basado en las conferencias de JW Gibbs en Internet Archive
↑ Oliver Heaviside (1891) The Electrical Journal , Volumen 28. James Gray, 109 ( alt )
↑ JB Shaw (1912) Notación comparativa para expresiones vectoriales , Boletín de la Asociación de Cuaterniones a través de HathiTrust .
↑ Alexander Macfarlane (1912) Un sistema de notación para el análisis vectorial; con una discusión de los principios subyacentes del Boletín de la Asociación de Cuaterniones
↑ Karin Reich (1995) Die Rolle Arnold Sommerfeld bei der Diskussion um die Vektorrechnung Archivado el 13 de enero de 2021 en Wayback Machine.
↑ Mecánica de cuerpos deformables , pág. 10, en Google Libros
1 2 3 Felix Klein , traductores ER Hendrick y CA Noble (1939) Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado – Geometría , tercera edición
↑ Wright, Richard. "Precálculo 6-03 Vectores" . www.andrews.edu . Consultado el 25 de julio de 2023 .
↑ Cajori, Florian (2011). Historia de las notaciones matemáticas . Dover Publications. pág. 134 (Vol. 2). ISBN 9780486161167.

[1] Principios y aplicaciones de las matemáticas para la electrónica de comunicaciones . 1992. pág. 123.

[2] Coffin, Joseph George (1911). Análisis vectorial . J. Wiley & sons.

[3] "ISO 80000-2:2019 Cantidades y unidades — Parte 2: Matemáticas" . Organización Internacional de Normalización. Agosto de 2019.

[4] Lena L. Severance (1930) La teoría de las equipotencias; método de geometría analítica de Sig. Bellavitis , enlace de HathiTrust.

[5] Edwin Bidwell Wilson (1901) Análisis vectorial, basado en las conferencias de JW Gibbs en Internet Archive

[6] Oliver Heaviside (1891) The Electrical Journal , Volumen 28. James Gray, 109 ( alt )

[7] JB Shaw (1912) Notación comparativa para expresiones vectoriales , Boletín de la Asociación de Cuaterniones a través de HathiTrust .

[8] Alexander Macfarlane (1912) Un sistema de notación para el análisis vectorial; con una discusión de los principios subyacentes del Boletín de la Asociación de Cuaterniones

[9] Karin Reich (1995) Die Rolle Arnold Sommerfeld bei der Diskussion um die Vektorrechnung Archivado el 13 de enero de 2021 en Wayback Machine.

[10] Mecánica de cuerpos deformables , pág. 10, en Google Libros

[KHN-11] 1 2 3 Felix Klein , traductores ER Hendrick y CA Noble (1939) Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado – Geometría , tercera edición

[12] Wright, Richard. "Precálculo 6-03 Vectores" . www.andrews.edu . Consultado el 25 de julio de 2023 .

[13] Cajori, Florian (2011). Historia de las notaciones matemáticas . Dover Publications. pág. 134 (Vol. 2). ISBN 9780486161167.

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Historia

Coordenadas rectangulares

Notación de tuplas

Notación matricial

Notación de vector unitario

Coordenadas polares

Notaciones de conjuntos ordenados y matrices

Notación directa

Vectores cilíndricos

Notaciones de conjuntos ordenados y matrices

Notación directa

Vectores esféricos

Notaciones de conjuntos ordenados y matrices

Notación directa

Operaciones

Suma de vectores

Multiplicación escalar

Resta de vectores y división escalar

Norma

Producto interno

producto escalar

producto cruzado

Nabla

Véase también

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