Transformación S

La transformada S como distribución tiempo-frecuencia se desarrolló en 1994 para analizar datos geofísicos. ^{[ 1 ] [ 2 ]} De esta manera, la transformada S es una generalización de la transformada de Fourier de tiempo corto (STFT), extendiendo la transformada wavelet continua y superando algunas de sus desventajas. Por un lado, las sinusoides de modulación están fijas con respecto al eje del tiempo; esto localiza las dilataciones y traslaciones de la ventana gaussiana escalable en la transformada S. Además, la transformada S no tiene un problema de término cruzado y produce una mejor claridad de señal que la transformada de Gabor . Sin embargo, la transformada S tiene sus propias desventajas: la claridad es peor que la función de distribución de Wigner y la función de distribución de clase de Cohen .

En 2010 se inventó un algoritmo de transformada S rápida. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Este reduce la complejidad computacional de O[N ² ·log(N)] a O[N·log(N)] y hace que la transformada sea biyectiva, donde la transformada tiene el mismo número de puntos que la señal o imagen de origen, en comparación con la complejidad de almacenamiento de N ² para la formulación original. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Una implementación está disponible para la comunidad de investigación bajo una licencia de código abierto . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Una formulación general de la transformada S ^{[ 4 ]} aclara la relación con otras transformadas tiempo-frecuencia como la transformada de Fourier, la transformada de Fourier de tiempo corto y la transformada wavelet. ^{[ 4 ]}

Hay varias formas de representar la idea de la transformada S. Aquí, la transformada S se deriva como la corrección de fase de la transformada wavelet continua con ventana siendo la función gaussiana .

• Transformada S

${\displaystyle S_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )|f|e^{-\pi (t-\tau )^{2}f^{2}}e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau }$

• Transformada S inversa

${\displaystyle x(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }S_{x}(t,f)\,dt\right]\,e^{j2\pi f\tau }\,df}$

• Forma del espectro

La definición anterior implica que la función de transformación s puede expresarse como la convolución de${\displaystyle (x(\tau )e^{-j2\pi f\tau })}$y${\displaystyle (|f|e^{-\pi t^{2}f^{2}})}$. Aplicando la transformada de Fourier a ambos${\displaystyle (x(\tau )e^{-j2\pi f\tau })}$y${\displaystyle (|f|e^{-\pi t^{2}f^{2}})}$da

${\displaystyle S_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }X(f+\alpha )\,e^{-\pi \alpha ^{2}/f^{2}}\,e^{j2\pi \alpha t}\,d\alpha }$.

• Transformada S de tiempo discreto

A partir de la forma espectral de la transformada S, podemos derivar la transformada S de tiempo discreto. Sea${\displaystyle t=n\Delta _{T}\,\,f=m\Delta _{F}\,\,\alpha =p\Delta _{F}}$, dónde${\displaystyle \Delta _{T}}$es el intervalo de muestreo y${\displaystyle \Delta _{F}}$es la frecuencia de muestreo. La transformada S de tiempo discreto se puede expresar entonces como:

${\displaystyle S_{x}(n\Delta _{T}\,,m\Delta _{F})=\sum _{p=0}^{N-1}X[(p+m)\,\Delta _{F}]\,e^{-\pi {\frac {p^{2}}{m^{2}}}}\,e^{\frac {j2pn}{N}}}$

A continuación se muestra el pseudocódigo de la implementación.

 Paso 1. Calcular${\displaystyle X[p\Delta _{F}]\,}$ bucle sobre m (voces) Paso 2. Calcular${\displaystyle e^{-\pi {\frac {p^{2}}{m^{2}}}}}$para${\displaystyle f=m\Delta _{F}}$ Paso 3. Mover${\displaystyle X[p\Delta _{F}]}$a${\displaystyle X[(p+m)\Delta _{F}]}$ Paso 4. Multiplica el Paso 2 y el Paso 3.${\displaystyle B[m,p]=X[(p+m)\Delta _{F}]\cdot e^{-\pi {\frac {p^{2}}{m^{2}}}}}$ Paso 5.IDFT(${\displaystyle B[m,p]}$). Repetir.}

• Filtrados de señal ^{[ 9 ]}
• Imágenes por resonancia magnética (IRM) ^{[ 10 ]}
• reconocimiento de perturbaciones en el sistema eléctrico
  • Se ha demostrado que la transformada S puede identificar algunos tipos de perturbaciones, como caídas de tensión, aumentos de tensión, interrupciones momentáneas y transitorios oscilatorios. ^{[ 11 ]}
  • La transformada S también se puede aplicar a otros tipos de perturbaciones, como muescas, armónicos con hundimientos y abultamientos, etc.
  • La transformada S genera contornos adecuados para una simple inspección visual. Sin embargo, la transformada wavelet requiere herramientas específicas como el análisis multirresolución estándar .
• Análisis de señales geofísicas
  • sismología de reflexión
  • Sismología global

• Transformación de Laplace
• transformada wavelet
• Transformada de Fourier de corto tiempo

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• Rocco Ditommaso, Marco Mucciarelli, Felice C. Ponzo (2010). Filtro basado en la transformada S aplicado al análisis del comportamiento dinámico no lineal del suelo y los edificios. XIV Conferencia Europea de Ingeniería Sísmica. Actas. Ohrid, República de Macedonia. 30 de agosto - 3 de septiembre de 2010. (Disponible para descargar en http://roccoditommaso.xoom.it )
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