Ondícula de Gabor

Las ondículas de Gabor son ondículas inventadas por Dennis Gabor que utilizan funciones complejas construidas para servir como base para las transformadas de Fourier en aplicaciones de teoría de la información . Son muy similares a las ondículas de Morlet . También están estrechamente relacionadas con los filtros de Gabor . La propiedad importante de la ondícula es que minimiza el producto de sus desviaciones estándar en el dominio del tiempo y la frecuencia (dadas por las varianzas definidas a continuación). Dicho de otro modo, se minimiza la incertidumbre en la información que transporta esta ondícula. Sin embargo, tienen la desventaja de no ser ortogonales, por lo que su descomposición eficiente en la base es difícil. Desde su creación, han surgido diversas aplicaciones, desde el procesamiento de imágenes hasta el análisis de neuronas en el sistema visual humano. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

La motivación para las ondículas de Gabor proviene de encontrar alguna función${\displaystyle f(x)}$que minimiza su desviación estándar en los dominios del tiempo y la frecuencia. De forma más formal, la varianza en el dominio de la posición es:

${\displaystyle (\Delta x)^{2}={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}f(x)f^{*}(x)\,dx}{\int _{-\infty }^{\infty }f(x)f^{*}(x)\,dx}}}$

dónde${\displaystyle f^{*}(x)}$es el conjugado complejo de${\displaystyle f(x)}$y${\displaystyle \mu }$es la media aritmética , definida como:

${\displaystyle \mu ={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)f^{*}(x)\,dx}{\int _{-\infty }^{\infty }f(x)f^{*}(x)\,dx}}}$

La varianza en el dominio del número de onda es:

${\displaystyle (\Delta k)^{2}={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }(k-k_{0})^{2}F(k)F^{*}(k)\,dk}{\int _{-\infty }^{\infty }F(k)F^{*}(k)\,dk}}}$

Dónde${\displaystyle k_{0}}$es la media aritmética de la transformada de Fourier de${\displaystyle f(x)}$,${\displaystyle F(x)}$:

${\displaystyle k_{0}={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }kF(k)F^{*}(k)\,dk}{\int _{-\infty }^{\infty }F(k)F^{*}(k)\,dk}}}$

Una vez definidos estos elementos, la incertidumbre se expresa como:

${\displaystyle (\Delta x)(\Delta k)}$

Se ha demostrado que esta cantidad tiene un límite inferior de${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$. La visión de la mecánica cuántica es interpretar${\displaystyle (\Delta x)}$ya que la incertidumbre en la posición y${\displaystyle \hbar (\Delta k)}$como incertidumbre en el momento. Una función${\displaystyle f(x)}$que tiene el límite de incertidumbre teóricamente más bajo posible es la ondícula de Gabor. ^{[ 3 ]}

La ecuación de una ondícula de Gabor 1-D es una gaussiana modulada por una exponencial compleja, descrita de la siguiente manera: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle f(x)=e^{-(x-x_{0})^{2}/a^{2}}e^{-ik_{0}(x-x_{0})}}$

A diferencia de otras funciones comúnmente utilizadas como bases en las transformadas de Fourier, como${\displaystyle \sin }$y${\displaystyle \cos }$Las ondículas de Gabor tienen la propiedad de estar localizadas, lo que significa que a medida que aumenta la distancia desde el centro${\displaystyle x_{0}}$A medida que aumenta, el valor de la función se suprime exponencialmente.${\displaystyle a}$controla la tasa de esta caída exponencial y${\displaystyle k_{0}}$controla la velocidad de modulación.

También vale la pena destacar la transformada de Fourier (unitaria, convención de frecuencia angular) de una ondícula de Gabor, que también es una ondícula de Gabor:

${\displaystyle F(k)=ae^{-(k-k_{0})^{2}a^{2}}e^{-ix_{0}(k-k_{0})}}$

Aquí se muestra un ejemplo de ondícula:

Al procesar señales temporales, no se puede acceder a datos del futuro, lo que genera problemas al intentar usar funciones de Gabor para procesar señales en tiempo real que dependen de la dimensión temporal. Tony Lindeberg, del Laboratorio de Ciencias del Cerebro Computacional del Instituto Real de Tecnología KTH ^{[ 4 ],} desarrolló un análogo temporal-causal del filtro de Gabor , basado en reemplazar el núcleo gaussiano de la función de Gabor con un núcleo de suavizado temporal-causal y recursivo, denominado núcleo límite temporal-causal. De esta manera, el análisis tiempo-frecuencia, basado en la extensión de valores complejos resultante del núcleo límite temporal-causal, permite capturar transformaciones de una señal temporal esencialmente similares a las que manejan las ondículas de Gabor, correspondientes al grupo de Heisenberg , pero realizadas con operaciones estrictamente temporales-causales y recursivas.

• Gabor transform
• Filtro de Gabor
• Ondícula de Morlet

• Código MATLAB para ondículas de Gabor 2D y extracción de características de Gabor.