Transformación de Q constante

En matemáticas y procesamiento de señales , la transformada de Q constante y la transformada de Q variable , conocidas simplemente como CQT y VQT , transforman una serie de datos al dominio de la frecuencia . Están relacionadas con la transformada de Fourier ^{[ 1 ]} y muy estrechamente vinculadas a la transformada wavelet compleja de Morlet ^{[ 2 ]} . Su diseño es adecuado para la representación musical.

La transformación puede considerarse como una serie de filtros f _k , espaciados logarítmicamente en frecuencia, donde el k -ésimo filtro tiene un ancho espectral δf _k igual a un múltiplo del ancho del filtro anterior:

${\displaystyle \delta f_{k}=2^{1/n}\cdot \delta f_{k-1}=\left(2^{1/n}\right)^{k}\cdot \delta f_{\text{min}},}$

donde δf _k es el ancho de banda del k -ésimo filtro, f _min es la frecuencia central del filtro más bajo y n es el número de filtros por octava .

La transformada de Fourier de corto tiempo de x [ n ] para un fotograma desplazado a la muestra m se calcula de la siguiente manera:

${\displaystyle X[k,m]=\sum _{n=0}^{N-1}W[nm]x[n]e^{-j2\pi kn/N}.}$

Dada una serie de datos con una frecuencia de muestreo f _s = 1/ T , donde T es el período de muestreo de nuestros datos, para cada intervalo de frecuencia podemos definir lo siguiente:

• Ancho del filtro, δf _k .
• Q , el "factor de calidad":

${\displaystyle Q={\frac {f_{k}}{\delta f_{k}}}.}$

Esto se muestra a continuación como el número entero de ciclos procesados ​​a una frecuencia central f _k . De este modo, esto define en cierta medida la complejidad temporal de la transformación.

• Longitud de la ventana para el k -ésimo intervalo:

${\displaystyle N[k]={\frac {f_{\text{s}}}{\delta f_{k}}}={\frac {f_{\text{s}}}{f_{k}}}Q.}$

Dado que f _s / f _k es el número de muestras procesadas por ciclo a la frecuencia f _k , Q es el número de ciclos enteros procesados ​​a esta frecuencia central.

El núcleo de transformación equivalente se puede encontrar utilizando las siguientes sustituciones:

• La longitud de la ventana de cada intervalo ahora es una función del número de intervalo:

${\displaystyle N=N[k]=Q{\frac {f_{\text{s}}}{f_{k}}}.}$

• La potencia relativa de cada bin disminuirá a frecuencias más altas, ya que estas se suman sobre menos términos. Para compensar esto, normalizamos por N [ k ].
• Cualquier función de ventana será una función de la longitud de la ventana, y de igual manera una función del número de ventanas. Por ejemplo, la ventana de Hamming equivalente sería:

${\displaystyle W[k,n]=\alpha -(1-\alpha )\cos {\frac {2\pi n}{N[k]-1}},\quad \alpha =25/46,\quad 0\leqslant n\leqslant N[k]-1.}$

• Nuestra frecuencia digital,${\displaystyle {\frac {2\pi k}{N}}}$, se convierte en${\displaystyle {\frac {2\pi Q}{N[k]}}}$.

Después de estas modificaciones, nos quedamos con

${\displaystyle X[k]={\frac {1}{N[k]}}\sum _{n=0}^{N[k]-1}W[k,n]x[n]e^{\frac {-j2\pi Qn}{N[k]}}.}$

El cálculo directo de la transformada de Q constante (ya sea mediante la transformada discreta de Fourier simple o el algoritmo de Goertzel, ligeramente más rápido ) es lento en comparación con la transformada rápida de Fourier . Sin embargo, la propia transformada rápida de Fourier puede emplearse, junto con el uso de un núcleo , para realizar el cálculo equivalente, pero mucho más rápido. ^{[ 4 ]} En 2006 se propuso una implementación inversa aproximada; funciona recurriendo a la transformada discreta de Fourier y solo es adecuada para instrumentos de tono. ^{[ 5 ]}

Un desarrollo de este método con invertibilidad mejorada implica realizar CQT (mediante la transformada rápida de Fourier) octava por octava, utilizando resultados filtrados de paso bajo y submuestreados para tonos consecutivamente más bajos. ^{[ 6 ]} Las implementaciones de este método incluyen la implementación de MATLAB y la implementación de Python de LibROSA. ^{[ 7 ]} LibROSA combina el método de submuestreo con el método directo de transformada rápida de Fourier (que denomina "pseudo-CQT") haciendo que este último procese las frecuencias más altas en su conjunto. ^{[ 7 ]}

La transformada discreta de Fourier deslizante se puede utilizar para un cálculo más rápido de la transformada de Q constante, ya que la transformada discreta de Fourier deslizante no tiene que tener un espaciado de frecuencia lineal ni el mismo tamaño de ventana por bin. ^{[ 8 ]}

Alternativamente, la transformada de Q constante puede aproximarse utilizando múltiples transformadas rápidas de Fourier con diferentes tamaños de ventana y/o frecuencias de muestreo en diferentes rangos de frecuencia, para luego combinarlas. Esto se denomina transformada de Fourier de tiempo corto multirresolución ; sin embargo, los tamaños de ventana para las transformadas rápidas de Fourier multirresolución varían por octava, en lugar de por bin. ^{[ 9 ]}

En general, la transformada se adapta bien a los datos musicales, lo que se evidencia en algunas de sus ventajas con respecto a la transformada rápida de Fourier. Dado que la salida de la transformada es, en esencia, amplitud/fase frente al logaritmo de la frecuencia, se requieren menos intervalos de frecuencia para cubrir un rango determinado de forma eficaz, lo que resulta útil cuando las frecuencias abarcan varias octavas. Como el rango de audición humana abarca aproximadamente diez octavas, desde los 20  Hz hasta los 20  kHz, esta reducción en los datos de salida es significativa.

La transformada muestra una reducción en la resolución de frecuencia con intervalos de frecuencia más altos, lo cual es deseable para aplicaciones auditivas. La transformada imita el sistema auditivo humano, donde a bajas frecuencias la resolución espectral es mejor, mientras que la resolución temporal mejora a frecuencias más altas. En la parte inferior de la escala del piano (alrededor de 30  Hz), una diferencia de 1 semitono equivale a una diferencia de aproximadamente 1,5  Hz, mientras que en la parte superior de la escala musical (alrededor de 5  kHz), una diferencia de 1 semitono equivale a una diferencia de aproximadamente 200  Hz. Por lo tanto, para datos musicales, la resolución de frecuencia exponencial de la transformada de factor Q constante es ideal.

Además, en esta transformada, los armónicos de las notas musicales forman un patrón característico del timbre del instrumento. Suponiendo que cada armónico tenga la misma intensidad relativa, a medida que cambia la frecuencia fundamental, la posición relativa de estos armónicos permanece constante. Esto puede facilitar considerablemente la identificación de instrumentos. La transformada Q constante también puede utilizarse para el reconocimiento automático de tonalidades musicales a partir del contenido cromático acumulado. ^{[ 10 ]}

En comparación con la transformada de Fourier, la implementación de esta transformada es más compleja. Esto se debe al número variable de muestras utilizadas en el cálculo de cada banda de frecuencia, lo que también afecta la longitud de cualquier función de ventana implementada. ^{[ 11 ]}

Cabe destacar que, debido a que la escala de frecuencia es logarítmica, no existe un término de frecuencia cero/CC real, lo que puede ser una desventaja en aplicaciones que sí lo requieren. Sin embargo, para aplicaciones que no lo necesitan, como el audio, esto no representa un inconveniente.