Transformada de Fourier de corto tiempo con máscara rectangular

En matemáticas y análisis de Fourier , la transformada de Fourier de tiempo corto con máscara rectangular (rec-STFT) es una forma simplificada de la transformada de Fourier de tiempo corto que se utiliza para analizar cómo cambia el contenido de frecuencia de una señal a lo largo del tiempo. En la rec-STFT, se utiliza una ventana rectangular (una función simple de limitación de tiempo de encendido/apagado) para aislar segmentos cortos de la señal. Otros tipos de STFT pueden requerir más tiempo de cálculo (el tiempo que tarda un ordenador o algoritmo en realizar un cálculo o completar una tarea) que la rec-STFT.

La función de máscara rectangular se puede definir para algún límite ( B) en el tiempo ( t ) como

${\displaystyle w(t)={\begin{cases}\ 1;&|t|\leq B\\\ 0;&|t|>B\end{cases}}}$

Podemos modificar B para obtener diferentes compensaciones entre la resolución temporal deseada y la resolución de frecuencia.

Rec-STFT

${\displaystyle X(t,f)=\int _{tB}^{t+B}x(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau }$

Forma inversa

${\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }X(t_{1},f)e^{j2\pi ft}\,df{\text{ donde }}tB<t_{1}<t+B}$

Rec-STFT tiene propiedades similares a la transformada de Fourier.

• Integración

(a)

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }X(t,f)\,df=\int _{tB}^{t+B}x(\tau )\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi f\tau }\,df\,d\tau =\int _{tB}^{t+B}x(\tau )\delta (\tau )\,d\tau ={\begin{cases}\ x(0);&|t|<B\\\ 0;&{\text{en otro caso}}\end{cases}}}$

(b)

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }X(t,f)e^{-j2\pi fv}\,df={\begin{cases}\ x(v);&v-B<t<v+B\\\ 0;&{\text{en otro caso}}\end{cases}}}$

• Propiedad de desplazamiento (desplazamiento a lo largo del eje x)

${\displaystyle \int _{tB}^{t+B}x(\tau +\tau _{0})e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau =X(t+\tau _{0},f)e^{j2\pi f\tau _{0}}}$

• Propiedad de modulación (desplazamiento a lo largo del eje y )

${\displaystyle \int _{tB}^{t+B}[x(\tau )e^{j2\pi f_{0}\tau }]d\tau =X(t,f-f_{0})}$

• entrada especial

1. Cuando${\displaystyle x(t)=\delta (t),X(t,f)={\begin{cases}\ 1;&|t|<B\\\ 0;&{\text{en otro caso}}\end{cases}}}$
2. Cuando${\displaystyle x(t)=1,X(t,f)=2B\operatorname {sinc} (2Bf)e^{j2\pi ft}}$

• Propiedad de linealidad

Si${\displaystyle h(t)=\alpha x(t)+\beta y(t)\,}$,${\displaystyle H(t,f),X(t,f),}$y${\displaystyle Y(t,f)\,}$son sus rec-STFT, entonces

${\displaystyle H(t,f)=\alpha X(t,f)+\beta Y(t,f).}$

• Propiedad de integración de energía

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|X(t,f)|^{2}\,df=\int _{tB}^{t+B}|x(\tau )|^{2}\,d\tau }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }|X(t,f)|^{2}\,df\,dt=2B\int _{-\infty }^{\infty }|x(\tau )|^{2}\,d\tau }$

• Propiedad de suma de energía ( teorema de Parseval )

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }X(t,f)Y^{*}(t,f)\,df=\int _{tB}^{t+B}x(\tau )y^{*}(\tau )\,d\tau }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }X(t,f)Y^{*}(t,f)\,df\,dt=2B\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )y^{*}(\tau )\,d\tau }$

En la imagen, cuando B es menor, la resolución temporal es mejor. Por el contrario, cuando B es mayor, la resolución de frecuencia es mejor.

En comparación con la transformada de Fourier:

• Ventaja: Se puede observar la frecuencia instantánea.
• Desventaja: Mayor complejidad computacional.

En comparación con otros tipos de análisis tiempo-frecuencia :

• Ventaja: Menor tiempo de cálculo para la implementación digital.
• Desventaja: La calidad es peor que la de otros tipos de análisis tiempo-frecuencia. La discontinuidad abrupta de los bordes de la máscara rectangular produce artefactos de resonancia de Gibbs en el dominio de la frecuencia, que pueden mitigarse con ventanas más suaves .

• Principio de incertidumbre

1. Jian-Jiun Ding (2014) Análisis tiempo-frecuencia y transformada wavelet