Transformada wavelet armónica

En las matemáticas del procesamiento de señales , la transformada wavelet armónica , introducida por David Edward Newland en 1993, es una transformación lineal basada en wavelets que convierte una función dada en una representación tiempo-frecuencia . Combina las ventajas de la transformada de Fourier de tiempo corto y la transformada wavelet continua . Puede expresarse en términos de transformadas de Fourier repetidas , y su análogo discreto puede calcularse eficientemente mediante un algoritmo de transformada rápida de Fourier .

La transformación utiliza una familia de ondículas "armónicas" indexadas por dos enteros j (el "nivel" u "orden") y k (la "traslación"), dadas por${\displaystyle w(2^{j}tk)\!}$, dónde

${\displaystyle w(t)={\frac {e^{i4\pi t}-e^{i2\pi t}}{i2\pi t}}.}$

Estas funciones son ortogonales y sus transformadas de Fourier son una función de ventana cuadrada (constante en una determinada banda de octava y cero en el resto). En particular, satisfacen:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w^{*}(2^{j}tk)\cdot w(2^{j'}tk')\,dt={\frac {1}{2^{j}}}\delta _{j,j'}\delta _{k,k'}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w(2^{j}tk)\cdot w(2^{j'}tk')\,dt=0}$

donde "*" denota conjugación compleja y${\displaystyle \delta }$es el delta de Kronecker .

A medida que aumenta el orden j , estas ondículas se localizan más en el espacio de Fourier (frecuencia) y en bandas de frecuencia más altas, y, a la inversa, se localizan menos en el tiempo ( t ). Por lo tanto, cuando se utilizan como base para expandir una función arbitraria, representan comportamientos de la función en diferentes escalas de tiempo (y en diferentes desfases temporales para diferentes k ).

Sin embargo, es posible combinar todos los órdenes negativos ( j < 0) en una sola familia de funciones de "escalamiento".${\displaystyle \varphi (tk)}$dónde

${\displaystyle \varphi (t)={\frac {e^{i2\pi t}-1}{i2\pi t}}.}$

La función φ es ortogonal a sí misma para diferentes k y también es ortogonal a las funciones wavelet para j no negativo :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi ^{*}(t-k)\cdot \varphi (t-k')\,dt=\delta _{k,k'}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w^{*}(2^{j}t-k)\cdot \varphi (t-k')\,dt=0{\text{ for }}j\geq 0}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t-k)\cdot \varphi (t-k')\,dt=0}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w(2^{j}t-k)\cdot \varphi (t-k')\,dt=0{\text{ for }}j\geq 0.}$

En la transformada wavelet armónica, por lo tanto, una función arbitraria de valor real o complejo${\displaystyle f(t)}$(en L2 ) se expande en la base de las ondículas armónicas (para todos los enteros j ) y sus conjugados complejos:

${\displaystyle f(t)=\sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[a_{j,k}w(2^{j}t-k)+{\tilde {a}}_{j,k}w^{*}(2^{j}t-k)\right],}$

o alternativamente en la base de las ondículas para j no negativo complementada por las funciones de escala φ :

${\displaystyle f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[a_{k}\varphi (t-k)+{\tilde {a}}_{k}\varphi ^{*}(t-k)\right]+\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[a_{j,k}w(2^{j}t-k)+{\tilde {a}}_{j,k}w^{*}(2^{j}t-k)\right].}$

En principio, los coeficientes de expansión pueden calcularse utilizando las relaciones de ortogonalidad:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{j,k}&{}=2^{j}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot w^{*}(2^{j}t-k)\,dt\\{\tilde {a}}_{j,k}&{}=2^{j}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot w(2^{j}t-k)\,dt\\a_{k}&{}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot \varphi ^{*}(t-k)\,dt\\{\tilde {a}}_{k}&{}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot \varphi (t-k)\,dt.\end{aligned}}}$

Para una función de valor real f ( t ),${\displaystyle {\tilde {a}}_{j,k}=a_{j,k}^{*}}$y${\displaystyle {\tilde {a}}_{k}=a_{k}^{*}}$de esta forma se puede reducir a la mitad el número de coeficientes de expansión independientes.

Esta expansión tiene la propiedad, análoga al teorema de Parseval , de que:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }2^{-j}\left(|a_{j,k}|^{2}+|{\tilde {a}}_{j,k}|^{2}\right)\\&{}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(|a_{k}|^{2}+|{\tilde {a}}_{k}|^{2}\right)+\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }2^{-j}\left(|a_{j,k}|^{2}+|{\tilde {a}}_{j,k}|^{2}\right)\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx.\end{aligned}}}$

En lugar de calcular los coeficientes de expansión directamente a partir de las relaciones de ortogonalidad, es posible hacerlo mediante una secuencia de transformadas de Fourier. Esto resulta mucho más eficiente en la versión discreta de esta transformada ( t discreta ), donde se pueden aprovechar los algoritmos de la transformada rápida de Fourier .

• Newland, David E. (8 de octubre de 1993). "Análisis de ondículas armónicas". Actas de la Royal Society de Londres . A. 443 (1917): 203– 225. Bibcode : 1993RSPSA.443..203N . doi : 10.1098/rspa.1993.0140 . JSTOR 52388. S2CID 122912891 .  
• Silverman, BW; Vassilicos, JC, eds. (2000). Ondículas: ¿La clave de la información intermitente? Oxford University Press . ISBN 0-19-850716-X.
• Boashash, Boualem, ed. (2003). Análisis y procesamiento de señales tiempo-frecuencia: una referencia completa . Elsevier . ISBN 0-08-044335-4.