Acción de Proca

En física , específicamente en teoría de campos y física de partículas , la acción de Proca describe un campo masivo de espín -1 y masa m en el espaciotiempo de Minkowski . La ecuación correspondiente es una ecuación de onda relativista llamada ecuación de Proca . ^{[ 1 ]} La acción y la ecuación de Proca reciben su nombre del físico rumano Alexandru Proca .

La ecuación de Proca está involucrada en el Modelo Estándar y describe allí los tres bosones vectoriales masivos , es decir, los bosones Z y W.

Este artículo utiliza la notación de índice métrico (+−−−) y de signatura métrica en el lenguaje de los 4-vectores .

El campo involucrado es un cuadripotencial complejo ⁠ ⁠${\displaystyle B^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)}$ , donde es una especie de potencial eléctrico generalizado y es un potencial magnético generalizado . El campo se transforma como un cuadrivector complejo .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle B^{\mu }}$

La densidad lagrangiana viene dada por: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }B_{\nu }^{*}-\partial _{\nu }B_{\mu }^{*})(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}B_{\nu }^{*}B^{\nu },}$

donde es la velocidad de la luz en el vacío , es la constante de Planck reducida y es el 4-gradiente .${\displaystyle c}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle \partial _{\mu }}$

La ecuación de movimiento de Euler-Lagrange para este caso, también llamada ecuación de Proca , es:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\Bigl (}\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu }{\Bigr )}+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}B^{\nu }=0,}$

que es equivalente conjugado a ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \left[\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right]B^{\nu }=0}$

y para m ≠ 0 implica

${\displaystyle \partial _{\nu }B^{\nu }=0,}$

equivalente a una condición de calibre de Lorenz generalizada . Sin embargo, para el caso masivo, se trata de una restricción física en lugar de una condición de calibre opcional. Para fuentes no nulas, incluyendo todas las constantes fundamentales, la ecuación de campo es:

${\displaystyle c\mu _{0}j^{\nu }=\left[g^{\mu \nu }\left(\partial _{\sigma }\partial ^{\sigma }+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)-\partial ^{\nu }\partial ^{\mu }\right]B_{\mu }}$

Cuando ⁠ ⁠${\displaystyle m=0}$ , las ecuaciones sin fuente se reducen a las ecuaciones de Maxwell sin carga ni corriente, y lo anterior se reduce a la ecuación de carga de Maxwell. Esta ecuación de campo de Proca está estrechamente relacionada con la ecuación de Klein-Gordon , porque es de segundo orden en el espacio y el tiempo.

En la notación del cálculo vectorial , las ecuaciones sin fuente son:

${\displaystyle \Box \phi -{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\phi }$

${\displaystyle \Box \mathbf {A} +\nabla \left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\mathbf {A} }$

y es el operador de D'Alembert .${\displaystyle \Box }$

La acción de Proca es la versión con calibre fijo de la acción de Stueckelberg a través del mecanismo de Higgs . Cuantizar la acción de Proca requiere el uso de restricciones de segunda clase .

Si ⁠ ⁠${\displaystyle m\neq 0}$ , no son invariantes bajo las transformaciones de gauge del electromagnetismo

${\displaystyle B^{\mu }\mapsto B^{\mu }-\partial ^{\mu }f}$

donde es una función arbitraria.${\displaystyle f}$

• Campo electromagnético
• Fotón
• electrodinámica cuántica
• Gravedad cuántica
• bosón vectorial
• Ecuaciones de onda relativistas
• Ecuación de Klein-Gordon (espín 0)
• Ecuación de Dirac (espín 1/2)

• P. Labelle (2010), Supersimetría desmitificada , McGraw Hill (EE. UU.), ISBN 978-0-07-163641-4
• D. McMahon (2008), Teoría cuántica de campos , McGraw Hill (EE. UU.), ISBN 978-0-07-154382-8
• D. McMahon (2006), Mecánica cuántica desmitificada , McGraw Hill (EE. UU.), ISBN 0-07-145546 9