Restricción de primera clase

En física , una restricción de primera clase es una magnitud dinámica en un sistema hamiltoniano restringido cuyo corchete de Poisson, junto con todas las demás restricciones, se anula en la superficie de restricción en el espacio de fases (la superficie definida implícitamente por la anulación simultánea de todas las restricciones). Para calcular la restricción de primera clase, se supone que no existen restricciones de segunda clase , o que estas se han calculado previamente y se han generado sus corchetes de Dirac . ^{[ 1 ]}

Dirac introdujo restricciones de primera y segunda clase ( 1950 , p. 136, 1964 , p. 17) como una forma de cuantizar sistemas mecánicos como las teorías de gauge donde la forma simpléctica es degenerada. ^[²^]^[³^]

La terminología de restricciones de primera y segunda clase es confusamente similar a la de restricciones primarias y secundarias , lo que refleja la forma en que se generan. Estas divisiones son independientes: tanto las restricciones de primera como las de segunda clase pueden ser primarias o secundarias, lo que da como resultado cuatro clases diferentes de restricciones.

corchetes de Poisson

Consideremos una variedad de Poisson M con un hamiltoniano suave sobre ella (para teorías de campos, M sería de dimensión infinita).

Supongamos que tenemos algunas restricciones

f_{i}(x)=0,

para n funciones suaves

\{f_{i}\}_{i=1}^{n}

Estos se definirán únicamente de forma gráfica en general. Supongamos que en todo el conjunto restringido, las n derivadas de las n funciones son todas linealmente independientes y también que los corchetes de Poisson

\{f_{i},f_{j}\}

y

\{f_{i},H\}

Todos desaparecen en el subespacio restringido.

Esto significa que podemos escribir

\{f_{i},f_{j}\}=\sum _{k}c_{ij}^{k}f_{k}

para algunas funciones fluidas $c_{ij}^{k}$ — existe un teorema que lo demuestra; y

\{f_{i},H\}=\sum _{j}v_{i}^{j}f_{j}

para algunas funciones fluidas $v_{i}^{j}$ .

Esto se puede hacer globalmente, utilizando una partición de la unidad . Entonces, decimos que tenemos una restricción irreducible de primera clase ( irreducible aquí es en un sentido diferente al que se usa en la teoría de la representación ).

Teoría geométrica

Para una forma más elegante, supongamos que dado un fibrado vectorial sobre ${\mathcal {M}}$ , con $n$ fibra dimensional $V$ . Equipemos este haz vectorial con una conexión . Supongamos también que tenemos una sección suave $f$ de este haz.

Entonces, la derivada covariante de $f$ con respecto a la conexión es una aplicación lineal suave. $\nabla f$ del fibrado tangente $T{\mathcal {M}}$ a $V$ , que conserva el punto base . Supongamos que esta aplicación lineal es invertible por la derecha (es decir, existe una aplicación lineal). $g$ de tal manera que $(\Delta f)g$ es la aplicación identidad ) para todas las fibras en los ceros de $f$ . Entonces, según el teorema de la función implícita , el subespacio de ceros de $f$ es una subvariedad .

El corchete de Poisson ordinario solo se define sobre $C^{\infty }(M)$ , el espacio de funciones suaves sobre M. Sin embargo, utilizando la conexión, podemos extenderlo al espacio de secciones suaves de $f$ si trabajamos con el fibrado de álgebra con el álgebra graduada de V -tensores como fibras.

Supongamos también que bajo este corchete de Poisson, $\{f,f\}=0$ (tenga en cuenta que no es cierto que $\{g,g\}=0$ en general para este "corchete de Poisson extendido" ya no) y $\{f,H\}=0$ en la subvariedad de ceros de $f$ (si estos corchetes también resultan ser cero en todas partes, entonces decimos que las restricciones cierran la capa ). Resulta que la condición de invertibilidad derecha y las condiciones de conmutatividad de flujos son independientes de la elección de la conexión. Por lo tanto, podemos prescindir de la conexión siempre que trabajemos únicamente con el subespacio restringido.

Significado intuitivo

¿Qué significa todo esto intuitivamente? Significa que el hamiltoniano y los flujos de restricción conmutan entre sí en el subespacio restringido; o, dicho de otro modo, que si partimos de un punto en el subespacio restringido, entonces el hamiltoniano y los flujos de restricción llevan ese punto a otro punto en el mismo subespacio.

Dado que deseamos restringirnos únicamente al subespacio restringido, esto sugiere que el hamiltoniano, o cualquier otra observable física , debe definirse solo en dicho subespacio. De forma equivalente, podemos considerar la clase de equivalencia de funciones suaves sobre la variedad simpléctica, que coinciden en el subespacio restringido ( es decir, el álgebra cociente por el ideal generado por las funciones $f ).$

El problema radica en que los flujos hamiltonianos en el subespacio restringido dependen del gradiente del hamiltoniano en ese subespacio, no de su valor. Pero existe una solución sencilla.

Observe las órbitas del subespacio restringido bajo la acción de los flujos simplécticos generados por las $f$ . Esto da una foliación local del subespacio porque satisface las condiciones de integrabilidad ( teorema de Frobenius ). Resulta que si comenzamos con dos puntos diferentes en una misma órbita en el subespacio restringido y los hacemos evolucionar bajo dos hamiltonianos diferentes, respectivamente, que coinciden en el subespacio restringido, entonces la evolución temporal de ambos puntos bajo sus respectivos flujos hamiltonianos siempre estará en la misma órbita en tiempos iguales. También resulta que si tenemos dos funciones suaves A ₁ y B ₁ , que son constantes sobre órbitas al menos en el subespacio restringido (es decir, observables físicos) (es decir, $\{A_{1},f\}=\{B_{1},f\}=0$ sobre el subespacio restringido) y otros dos A ₂ y B ₂ , que también son constantes sobre órbitas tales que A ₁ y B ₁ coinciden con A ₂ y B ₂ respectivamente sobre el subespacio restringido, entonces sus corchetes de Poisson {A ₁ , B ₁ } y {A ₂ , B ₂ } también son constantes sobre órbitas y coinciden sobre el subespacio restringido.

En general, no se pueden descartar los flujos " ergódicos " (que básicamente significan que una órbita es densa en algún conjunto abierto ) ni los flujos "subergódicos" (en los que una órbita es densa en alguna subvariedad de dimensión mayor que la dimensión de la órbita). No podemos tener órbitas que se autointersequen .

Para la mayoría de las aplicaciones "prácticas" de las restricciones de primera clase, no observamos tales complicaciones: el espacio cociente del subespacio restringido por los f-flujos (es decir, el espacio de órbitas) se comporta lo suficientemente bien como para actuar como una variedad diferenciable , que puede transformarse en una variedad simpléctica proyectando la forma simpléctica de M sobre ella (esto se puede demostrar que está bien definido ). A la luz de la observación sobre observables físicos mencionada anteriormente, podemos trabajar con esta variedad simpléctica más "física" y pequeña, pero con 2n dimensiones menos.

En general, el espacio cociente es algo difícil de manejar al realizar cálculos concretos (por no hablar de la no localidad al trabajar con restricciones de difeomorfismo ), por lo que lo que se suele hacer es algo similar. Nótese que la subvariedad restringida es un fibrado (pero no un fibrado en general) sobre la variedad cociente. Así pues, en lugar de trabajar con la variedad cociente, podemos trabajar con una sección del fibrado. Esto se denomina fijación de calibre .

El principal problema es que este conjunto podría no tener una sección global en general. Aquí es donde entra en juego el "problema" de las anomalías globales , por ejemplo. Una anomalía global es diferente de la ambigüedad de Gribov , que se produce cuando una corrección de gauge no funciona para fijar un gauge de forma única; en una anomalía global, no existe una definición consistente del campo de gauge. Una anomalía global es una barrera para definir la teoría de gauge cuántica descubierta por Witten en 1980.

Lo que se ha descrito son restricciones irreducibles de primera clase. Otra complicación es que $\Delta f$ Puede que no sea invertible correctamente en subespacios de la subvariedad restringida de codimensión 1 o mayor (lo que viola la suposición más fuerte enunciada anteriormente en este artículo). Esto sucede, por ejemplo, en la formulación de cotétradas de la relatividad general , en el subespacio de configuraciones donde el campo de cotétradas y la forma de conexión resultan ser cero sobre algún subconjunto abierto del espacio. Aquí, las restricciones son las restricciones de difeomorfismo.

Una forma de sortear esto es la siguiente: para restricciones reducibles, relajamos la condición sobre la invertibilidad derecha de $\Delta f$ en este: Cualquier función suave que se anula en los ceros de f es la contracción fibrada de f con una sección suave (no única) de una ${\bar {V}}$ -paquete vectorial donde ${\bar {V}}$ es el espacio vectorial dual del espacio vectorial de restricciones V. Esto se denomina condición de regularidad .

Dinámica hamiltoniana restringida a partir de una teoría de gauge lagrangiana.

En primer lugar, asumiremos que la acción es la integral de un lagrangiano local que depende únicamente hasta la primera derivada de los campos. El análisis de casos más generales, si bien es posible, resulta más complejo. Al pasar al formalismo hamiltoniano, encontramos restricciones. Recordemos que en el formalismo de la acción existen configuraciones dentro y fuera de la capa de masas . Las restricciones que se aplican fuera de la capa de masas se denominan restricciones primarias, mientras que las que se aplican solo dentro de la capa de masas se denominan restricciones secundarias.

Ejemplos

Consideremos la dinámica de una partícula puntual de masa $m$ sin grados de libertad internos que se mueve en una variedad espaciotemporal pseudoriemanniana $S$ con métrica g . Supongamos también que el parámetro $τ$ que describe la trayectoria de la partícula es arbitrario (es decir, insistimos en la invariancia de reparametrización ). Entonces, su espacio simpléctico es el fibrado cotangente T*S con la forma simpléctica canónica $ω$ .

Si coordinamos T * S por su posición $x$ en la variedad base $S$ y su posición dentro del espacio cotangente p , entonces tenemos una restricción

f=m^{2}-g(x)^{-1}(p,p)=0

.

Sorprendentemente, el hamiltoniano $H es$ $H$ = 0. Dado que el hamiltoniano solo está definido hasta la clase de equivalencia de funciones suaves que coinciden en el subespacio restringido, podemos usar un nuevo hamiltoniano $H$ ' = $f$ . Entonces, nos encontramos con el interesante caso en el que el hamiltoniano es igual a una restricción. Consulte la sección sobre restricciones hamiltonianas para obtener más detalles.

Consideremos ahora el caso de una teoría de Yang-Mills para un álgebra de Lie simple real $L$ (con una forma de Killing definida negativa $η$ ) acoplada mínimamente a un campo escalar real $σ$ , que se transforma como una representación ortogonal $ρ$ con el espacio vectorial subyacente $V$ bajo $L en$ el espaciotiempo de Minkowski ( $d$ − 1) + 1. Para $l$ en $L$ , escribimos

ρ (l)[σ]

como

l[σ]

Para simplificar, sea A la forma de conexión de la teoría con valores en $L. Nótese que la$ A aquí difiere de la A utilizada por los físicos por un factor de $i$ y $g$ . Esto concuerda con la convención matemática.

La acción $S$ viene dada por

S[\mathbf {A} ,\sigma ]=\int d^{d}x{\frac {1}{4g^{2}}}\eta ((\mathbf {g} ^{-1}\otimes \mathbf {g} ^{-1})(\mathbf {F} ,\mathbf {F} ))+{\frac {1}{2}}\alpha (\mathbf {g} ^{-1}(D\sigma,D\sigma))

donde g es la métrica de Minkowski y F es la forma de curvatura.

d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A}

(¡sin $i$ ni $g$ !) donde el segundo término es una abreviatura formal para suponer que el corchete de Lie es un conmutador, $D$ es la derivada covariante

D\sigma =d\sigma -\mathbf {A} [\sigma ]

y $α$ es la forma ortogonal de $ρ$ .

¿Cuál es la versión hamiltoniana de este modelo? Bueno, primero, tenemos que dividir A de forma no covariante en un componente temporal $φ$ y una parte espacial A → . Luego, el espacio simpléctico resultante tiene las variables conjugadas $σ$ , $π σ$ (que toman valores en el espacio vectorial subyacente de ${\bar {\rho }}$ , la representación dual de $ρ$ ), A → , π → _A , φ y π _φ . Para cada punto espacial, tenemos las restricciones, π _φ =0 y la restricción gaussiana

{\vec {D}}\cdot {\vec {\pi }}_{A}-\rho '(\pi _{\sigma },\sigma )=0

donde dado que $ρ$ es un entrelazador

\rho :L\otimes V\rightarrow V

,

$ρ$ ' es el entrelazador dualizado

\rho ':{\bar {V}}\otimes V\rightarrow L

( $L$ es autodual a través de $η$ ). El hamiltoniano,

H_{f}=\int d^{d-1}x{\frac {1}{2}}\alpha ^{-1}(\pi _{\sigma },\pi _{\sigma })+{\frac {1}{2}}\alpha ({\vec {D}}\sigma \cdot {\vec {D}}\sigma )-{\frac {g^{2}}{2}}\eta ({\vec {\pi }}_{A},{\vec {\pi }}_{A})-{\frac {1}{2g^{2}}}\eta (\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )-\eta (\pi _{\phi },f)-<\pi _{\sigma },\phi [\sigma ]>-\eta (\phi ,{\vec {D}}\cdot {\vec {\pi }}_{A}).

Los dos últimos términos son una combinación lineal de las restricciones gaussianas y tenemos toda una familia de hamiltonianos (equivalentes en gauge) parametrizados por $f$ . De hecho, como los tres últimos términos se anulan para los estados restringidos, podemos omitirlos.

Restricciones de segunda clase

En un sistema hamiltoniano restringido, una magnitud dinámica es de segunda clase si su corchete de Poisson con al menos una restricción no es nulo. Una restricción que tiene un corchete de Poisson distinto de cero con al menos otra restricción es, por lo tanto, una restricción de segunda clase .

Consulte los corchetes de Dirac para ver diversas ilustraciones.

Un ejemplo: una partícula confinada a una esfera.

Antes de pasar a la teoría general, consideremos un ejemplo específico paso a paso para motivar el análisis general.

Comencemos con la acción que describe una partícula newtoniana de masa $m$ confinada a una superficie esférica de radio $R$ dentro de un campo gravitatorio uniforme $g$ . Cuando se trabaja en mecánica lagrangiana , existen varias maneras de implementar una restricción: se puede cambiar a coordenadas generalizadas que resuelven manifiestamente la restricción, o se puede usar un multiplicador de Lagrange manteniendo las coordenadas redundantes así restringidas.

En este caso, la partícula está confinada a una esfera; por lo tanto, la solución natural sería usar coordenadas angulares para describir su posición en lugar de cartesianas y resolver (eliminar automáticamente) la restricción de esa manera (la primera opción). Sin embargo, por razones pedagógicas, consideremos el problema en coordenadas cartesianas (redundantes), con un término multiplicador de Lagrange que impone la restricción.

La acción es dada por

S=\int dtL=\int dt\left[{\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})-mgz+{\frac {\lambda }{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2})\right]

donde el último término es el término multiplicador de Lagrange que impone la restricción.

Por supuesto, como se indicó, podríamos haber usado simplemente coordenadas esféricas diferentes y no redundantes y haberlo escrito como

S=\int dt\left[{\frac {mR^{2}}{2}}({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}(\theta ){\dot {\phi }}^{2})+mgR\cos(\theta )\right]

en cambio, sin restricciones adicionales; pero estamos considerando la anterior coordinación para ilustrar las restricciones.

Los momentos conjugados vienen dados por

p_{x}=m{\dot {x}}

,

p_{y}=m{\dot {y}}

,

p_{z}=m{\dot {z}}

,

p_{\lambda }=0

.

Tenga en cuenta que no podemos determinar $• λ$ a partir de los momentos.

El hamiltoniano viene dado por

H={\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {r}}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}-L={\frac {p^{2}}{2m}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})

.

No podemos eliminar • λ en esta etapa todavía. Aquí estamos tratando • λ como una abreviatura de una función del espacio simpléctico que aún no hemos determinado y no como una variable independiente. Para consistencia notacional, definimos $u$ $1$ $=$ $•$ $λ$ de ahora en adelante. El hamiltoniano anterior con el término $p$ $λ$ es el "hamiltoniano ingenuo". Nótese que, dado que, en la capa de masas, la restricción debe satisfacerse, no se puede distinguir, en la capa de masas, entre el hamiltoniano ingenuo y el hamiltoniano anterior con el coeficiente indeterminado, $•$ $λ$ $=$ $u$ $1$ .

Tenemos la restricción principal

p λ =0

.

Por razones de consistencia, exigimos que el corchete de Poisson de todas las restricciones con el hamiltoniano se anule en el subespacio restringido. En otras palabras, las restricciones no deben evolucionar en el tiempo si se pretende que sean idénticamente cero a lo largo de las ecuaciones de movimiento.

A partir de esta condición de consistencia, obtenemos inmediatamente la restricción secundaria.

${\begin{aligned}0&=\{H,p_{\lambda }\}_{\text{PB}}\\&=\sum _{i}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{\lambda }}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{\lambda }}{\partial q_{i}}}\\&={\frac {\partial H}{\partial \lambda }}\\&={\frac {1}{2}}(r^{2}-R^{2})\\&\Downarrow \\0&=r^{2}-R^{2}\end{aligned}}$

Esta restricción debe agregarse al hamiltoniano con un coeficiente indeterminado (no necesariamente constante) $u$ _2, ampliando el hamiltoniano a

H={\frac {p^{2}}{2m}}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})+u_{1}p_{\lambda }+u_{2}(r^{2}-R^{2})~.

De manera similar, a partir de esta restricción secundaria, encontramos la restricción terciaria.

${\begin{aligned}0&=\{H,r^{2}-R^{2}\}_{PB}\\&=\{H,x^{2}\}_{PB}+\{H,y^{2}\}_{PB}+\{H,z^{2}\}_{PB}\\&={\frac {\partial H}{\partial p_{x}}}2x+{\frac {\partial H}{\partial p_{y}}}2y+{\frac {\partial H}{\partial p_{z}}}2z\\&={\frac {2}{m}}(p_{x}x+p_{y}y+p_{z}z)\\&\Downarrow \\0&={\vec {p}}\cdot {\vec {r}}\end{aligned}}$

Nuevamente, se debe agregar esta restricción al hamiltoniano, ya que, en la capa de masas, nadie puede notar la diferencia. Por lo tanto, hasta ahora, el hamiltoniano se ve así:

H={\frac {p^{2}}{2m}}+mgz-{\frac {\lambda }{2}}(r^{2}-R^{2})+u_{1}p_{\lambda }+u_{2}(r^{2}-R^{2})+u_{3}{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}~,

donde $u$ ₁ , $u$ ₂ , y $u$ ₃ aún están completamente indeterminados.

Cabe señalar que, con frecuencia, todas las restricciones que se derivan de las condiciones de consistencia se denominan restricciones secundarias , y no se distingue entre restricciones secundarias, terciarias, cuaternarias, etc.

Seguimos girando la manivela, exigiendo que esta nueva restricción tenga un corchete de Poisson evanescente.

0=\{{\vec {p}}\cdot {\vec {r}},\,H\}_{PB}={\frac {p^{2}}{m}}-mgz+\lambda r^{2}-2u_{2}r^{2}.

Podríamos desesperarnos y pensar que esto no tiene fin, pero debido a que ha aparecido uno de los nuevos multiplicadores de Lagrange, esto no es una nueva restricción, sino una condición que fija el multiplicador de Lagrange:

u_{2}={\frac {\lambda }{2}}+{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {1}{2}}mgz\right).

Sustituyendo esto en nuestro hamiltoniano obtenemos (después de un poco de álgebra)

$H={\frac {p^{2}}{2m}}(2-{\frac {R^{2}}{r^{2}}})+{\frac {1}{2}}mgz(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}})+u_{1}p_{\lambda }+u_{3}{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}$

Ahora que hay nuevos términos en el hamiltoniano, se debe volver atrás y verificar las condiciones de consistencia para las restricciones primarias y secundarias. La condición de consistencia de la restricción secundaria da

{\frac {2}{m}}{\vec {r}}\cdot {\vec {p}}+2u_{3}r^{2}=0.

Nuevamente, esta no es una restricción nueva; solo determina que

u_{3}=-{\frac {{\vec {r}}\cdot {\vec {p}}}{mr^{2}}}~.

¡En este punto ya no hay más restricciones ni condiciones de consistencia que comprobar !

Reuniéndolo todo,

H=\left(2-{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right){\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)mgz-{\frac {({\vec {r}}\cdot {\vec {p}})^{2}}{mr^{2}}}+u_{1}p_{\lambda }

.

Al hallar las ecuaciones de movimiento, se debe utilizar el hamiltoniano anterior, y siempre que se tenga cuidado de no utilizar restricciones antes de tomar derivadas en el corchete de Poisson, se obtendrán las ecuaciones de movimiento correctas. Es decir, las ecuaciones de movimiento vienen dadas por

{\dot {\vec {r}}}=\{{\vec {r}},\,H\}_{PB},\quad {\dot {\vec {p}}}=\{{\vec {p}},\,H\}_{PB},\quad {\dot {\lambda }}=\{\lambda ,\,H\}_{PB},\quad {\dot {p}}_{\lambda }=\{p_{\lambda },H\}_{PB}.

Antes de analizar el hamiltoniano, considere las tres restricciones,

\varphi _{1}=p_{\lambda },\quad \varphi _{2}=r^{2}-R^{2},\quad \varphi _{3}={\vec {p}}\cdot {\vec {r}}.

Nótese la estructura de corchetes de Poisson no trivial de las restricciones. En particular,

\{\varphi _{2},\varphi _{3}\}=2r^{2}\neq 0.

El corchete de Poisson anterior no solo no se anula fuera de la capa de masas, como cabría esperar, sino que $incluso$ dentro de ella es distinto de cero . Por lo tanto, $φ₂$ y $φ₃$ son restricciones de segunda clase , mientras que $φ₁ es una restricción$ $de$ primera clase. Cabe destacar que estas restricciones satisfacen la condición de regularidad $.$

Aquí tenemos un espacio simpléctico donde el corchete de Poisson no tiene "buenas propiedades" en el subespacio restringido. Sin embargo, Dirac notó que podemos convertir la variedad diferencial subyacente del espacio simpléctico en una variedad de Poisson usando su corchete modificado homónimo, llamado corchete de Dirac , de tal manera que este corchete de Dirac de cualquier función (suave) con cualquiera de las restricciones de segunda clase siempre se anula .

En efecto, estos corchetes (ilustrados para esta superficie esférica en el artículo sobre corchetes de Dirac ) proyectan el sistema de vuelta sobre la superficie de restricciones. Si se desea cuantificar canónicamente este sistema, entonces es necesario convertir los corchetes de Dirac canónicos ^{[ 4 ]} , no los corchetes de Poisson canónicos, en relaciones de conmutación.

El análisis del hamiltoniano anterior revela varios aspectos interesantes. Cabe destacar que, en la capa de masas, cuando se satisfacen las restricciones, el hamiltoniano extendido es idéntico al hamiltoniano ingenuo, tal como se requiere. Además, nótese que $λ$ desaparece del hamiltoniano extendido. Dado que $φ$ $1$ es una restricción primaria de primera clase, debe interpretarse como un generador de una transformación de gauge. La libertad de gauge es la libertad de elegir $λ$ , la cual ha dejado de tener efecto alguno sobre la dinámica de la partícula. Por lo tanto, el hecho de que $λ$ desaparezca del hamiltoniano, que $u$ ₁ sea indeterminado y que $φ$ $1$ = p _λ sea de primera clase, están estrechamente interrelacionados.

Nótese que sería más natural no comenzar con un lagrangiano con un multiplicador de Lagrange, sino tomar $r^{2}-R^{2}$ como restricción primaria y proceda a través del formalismo: El resultado sería la eliminación de la cantidad dinámica $λ$ extraña . Sin embargo, el ejemplo es más instructivo en su forma actual.

Ejemplo: Acción Proca

Otro ejemplo que utilizaremos es la acción Proca . Los campos son: $A^{\mu }=({\vec {A}},\phi )$ y la acción es

S=\int d^{d}xdt\left[{\frac {1}{2}}E^{2}-{\frac {1}{4}}B_{ij}B_{ij}-{\frac {m^{2}}{2}}A^{2}+{\frac {m^{2}}{2}}\phi ^{2}\right]

dónde

{\vec {E}}\equiv -\nabla \phi -{\dot {\vec {A}}}

y

B_{ij}\equiv {\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}

.

$({\vec {A}},-{\vec {E}})$ y $(\phi ,\pi )$ son variables canónicas . Las restricciones de segunda clase son

\pi \approx 0

y

\nabla \cdot {\vec {E}}+m^{2}\phi \approx 0

.

El hamiltoniano viene dado por

H=\int d^{d}x\left[{\frac {1}{2}}E^{2}+{\frac {1}{4}}B_{ij}B_{ij}-\pi \nabla \cdot {\vec {A}}+{\vec {E}}\cdot \nabla \phi +{\frac {m^{2}}{2}}A^{2}-{\frac {m^{2}}{2}}\phi ^{2}\right]

.

Véase también

Referencias

↑ Ingemar Bengtsson. "Sistemas hamiltonianos restringidos" (PDF) . Universidad de Estocolmo . Consultado el 29 de mayo de 2018. Partimos de un lagrangiano . $L(q,{\dot {q}}),$ Derivamos los momentos canónicos, postulamos los corchetes de Poisson ingenuos y calculamos el hamiltoniano. Para simplificar, suponemos que no existen restricciones de segunda clase, o que, de existir, ya se han tratado y los corchetes ingenuos se han sustituido por corchetes de Dirac. Queda un conjunto de restricciones [...]
↑ Dirac, Paul AM (1950), "Dinámica hamiltoniana generalizada", Canadian Journal of Mathematics , 2 : 129–148 , doi : 10.4153/CJM-1950-012-1 , ISSN 0008-414X , MR 0043724 , S2CID 119748805
↑ Dirac, Paul AM (1964), Lecciones sobre mecánica cuántica , Serie de monografías de la Escuela de Posgrado de Ciencias Belfer, vol. 2, Escuela de Posgrado de Ciencias Belfer, Nueva York, ISBN 9780486417134, MR 2220894 {{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda ) . Reimpresión íntegra del original, Dover Publications, Nueva York, NY, 2001.
↑ Corrigan, E.; Zachos, CK (1979). "Cargas no locales para el modelo σ supersimétrico". Physics Letters B . 88 ( 3– 4): 273. Bibcode : 1979PhLB...88..273C . doi : 10.1016/0370-2693(79)90465-9 .

Lecturas adicionales

Falck, NK; Hirshfeld, AC (1983). "Cuantización de Dirac-corchet de un sistema no lineal restringido: El rotador rígido". European Journal of Physics . 4 (1): 5– 9. Bibcode : 1983EJPh....4....5F . doi : 10.1088/0143-0807/4/1/003 . S2CID 250845310 .
Homma, T.; Inamoto, T.; Miyazaki, T. (1990). "Ecuación de Schrödinger para la partícula no relativista confinada en una hipersuperficie en un espacio curvo". Physical Review D. 42 ( 6): 2049– 2056. Bibcode : 1990PhRvD..42.2049H . doi : 10.1103/PhysRevD.42.2049 . PMID 10013054 .

[FysikSuSePDF-1] Ingemar Bengtsson. "Sistemas hamiltonianos restringidos" (PDF) . Universidad de Estocolmo . Consultado el 29 de mayo de 2018. Partimos de un lagrangiano . $L(q,{\dot {q}}),$ Derivamos los momentos canónicos, postulamos los corchetes de Poisson ingenuos y calculamos el hamiltoniano. Para simplificar, suponemos que no existen restricciones de segunda clase, o que, de existir, ya se han tratado y los corchetes ingenuos se han sustituido por corchetes de Dirac. Queda un conjunto de restricciones [...]

[2] Dirac, Paul AM (1950), "Dinámica hamiltoniana generalizada", Canadian Journal of Mathematics , 2 : 129–148 , doi : 10.4153/CJM-1950-012-1 , ISSN 0008-414X , MR 0043724 , S2CID 119748805

[3] Dirac, Paul AM (1964), Lecciones sobre mecánica cuántica , Serie de monografías de la Escuela de Posgrado de Ciencias Belfer, vol. 2, Escuela de Posgrado de Ciencias Belfer, Nueva York, ISBN 9780486417134, MR 2220894 {{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda ) . Reimpresión íntegra del original, Dover Publications, Nueva York, NY, 2001.

[4] Corrigan, E.; Zachos, CK (1979). "Cargas no locales para el modelo σ supersimétrico". Physics Letters B . 88 ( 3– 4): 273. Bibcode : 1979PhLB...88..273C . doi : 10.1016/0370-2693(79)90465-9 .

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