En la concha y fuera de ella

En física , particularmente en la teoría cuántica de campos , las configuraciones de un sistema físico que satisfacen las ecuaciones clásicas de movimiento se denominan en la capa de masas ( en la capa ); mientras que aquellas que no las satisfacen se denominan fuera de la capa de masas ( fuera de la capa ).

En la teoría cuántica de campos, las partículas virtuales se denominan fuera de la capa porque no satisfacen la relación energía-momento ; las partículas de intercambio reales sí satisfacen esta relación y se denominan en la capa (de masa). ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} En mecánica clásica , por ejemplo, en la formulación de la acción , las soluciones extremas del principio variacional están en la capa y las ecuaciones de Euler-Lagrange dan las ecuaciones en la capa. El teorema de Noether sobre las simetrías diferenciables de la acción física y las leyes de conservación es otro teorema en la capa.

La capa de masas es sinónimo de hiperboloide de masas , es decir, el hiperboloide en el espacio energía - momento que describe las soluciones a la ecuación:

${\displaystyle E^{2}-|{\vec {p}}\,|^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}$

La fórmula de equivalencia masa-energía que da la energía${\displaystyle E}$en términos de impulso${\displaystyle {\vec {p}}}$y la masa en reposo${\displaystyle m_{0}}$de una partícula. La ecuación para la capa de masa también se escribe a menudo en términos del cuadrimomento ; en notación de Einstein con signatura métrica (+,−,−,−) y unidades donde la velocidad de la luz${\displaystyle c=1}$, como${\displaystyle p^{\mu }p_{\mu }\equiv p^{2}=m_{0}^{2}}$En la literatura también se puede encontrar${\displaystyle p^{\mu }p_{\mu }=-m_{0}^{2}}$si la firma métrica utilizada es (−,+,+,+) ^{[ 4 ]} .

El cuadrimomento de una partícula virtual intercambiada${\displaystyle X}$es${\displaystyle q_{\mu }}$, con masa${\displaystyle q^{2}=m_{X}^{2}}$. El cuadrimomento ${\displaystyle q_{\mu }}$La magnitud de la partícula virtual es la diferencia entre los cuadrimomentos de las partículas entrantes y salientes.

En general, se permite que las partículas virtuales correspondientes a propagadores internos en un diagrama de Feynman estén fuera de la capa de masas, pero la amplitud del proceso disminuirá dependiendo de cuán lejos de la capa de masas estén. ^{[ 5 ]} Esto se debe a que${\displaystyle q^{2}}$La dependencia del propagador está determinada por los cuadrimomentos de las partículas entrantes y salientes. El propagador suele tener singularidades en la capa de masas. ^{[ 6 ]}

Cuando se habla del propagador, los valores negativos para${\displaystyle E}$Las partículas que satisfacen la ecuación se consideran en la capa de masas, aunque la teoría clásica no permite valores negativos para la energía de una partícula. Esto se debe a que el propagador incorpora en una sola expresión los casos en los que la partícula transporta energía en una dirección y su antipartícula en la dirección opuesta; es decir, energías negativas y positivas en la capa de masas.${\displaystyle E}$entonces simplemente representan flujos opuestos de energía positiva.

Un ejemplo proviene de considerar un campo escalar en el espacio de Minkowski de D dimensiones . Consideremos una densidad lagrangiana dada por${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi,\partial _ {\mu}\varphi)}$. La acción es ^{[ 7 ] [ 8 ]} :

${\displaystyle S=\int d^{D}x\,{\mathcal {L}}(\varphi,\partial _ {\mu}\varphi).}$

La ecuación de Euler-Lagrange para esta acción se puede encontrar variando el campo y su derivada y estableciendo la variación a cero , y es:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}}$

Ahora bien, consideremos una traslación infinitesimal del espaciotiempo.${\displaystyle x^{\mu }\rightarrow x^{\mu }+\alpha ^{\mu }}$La densidad lagrangiana${\displaystyle {\mathcal {L}}}$es un escalar, y por lo tanto se transformará infinitesimalmente como${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=\alpha ^{\mu }\partial _ {\mu }{\mathcal {L}}}$bajo la transformación infinitesimal. Por otro lado, mediante el desarrollo de Taylor , tenemos en general:

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}\delta \varphi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _ {\mu }\varphi )}}\delta (\partial _ {\mu }\varphi )}$

Sustituir por${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}}$y observando que${\displaystyle \delta (\partial _ {\mu}\varphi)=\partial _ {\mu}(\delta \varphi)}$(dado que las variaciones son independientes en cada punto del espacio-tiempo):

${\displaystyle \alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\varphi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\varphi )}}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi }$

Dado que esto debe aplicarse a las traducciones independientes,${\displaystyle \alpha ^{\mu }=(\varepsilon ,0,\ldots ,0),(0,\varepsilon ,\ldots ,0),\ldots }$, podemos "dividir" por${\displaystyle \alpha ^{\mu }}$y escribe:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}\partial _{\mu }\varphi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\varphi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi }$

Este es un ejemplo de una ecuación que se cumple fuera de la capa , ya que es válida para cualquier configuración de campos, independientemente de si respeta las ecuaciones de movimiento (en este caso, la ecuación de Euler-Lagrange dada anteriormente). Sin embargo, podemos derivar una ecuación en la capa simplemente sustituyendo la ecuación de Euler-Lagrange:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {L}}=\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\varphi )}}\partial _{\mu }\varphi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\varphi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi }$

Podemos escribir esto como:

${\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\varphi )}}\partial _{\mu }\varphi -\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}\right)=0}$

Y si definimos la cantidad entre paréntesis como${\displaystyle T^{\nu }{}_{\mu }}$, tenemos:

${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\nu }{}_{\mu }=0}$

Este es un ejemplo del teorema de Noether. Aquí, la magnitud conservada es el tensor energía-impulso , que solo se conserva en la capa, es decir, si se satisfacen las ecuaciones de movimiento.