cálculo de Ricci

El cálculo de Ricci, y la notación de índices en general, distingue entre índices inferiores (subíndices) e índices superiores (superíndices); estos últimos no son exponentes, aunque puedan parecerlo al lector familiarizado únicamente con otras ramas de las matemáticas.

En el caso especial de que el tensor métrico sea igual en todas partes a la matriz identidad, es posible eliminar la distinción entre índices superiores e inferiores, y entonces todos los índices podrían escribirse en la posición inferior. Fórmulas de coordenadas en álgebra lineal como${\displaystyle a_{ij}b_{jk}}$El producto de matrices puede servir como ejemplo. Pero, en general, debe mantenerse la distinción entre índices superiores e inferiores.

Esta tabla resume cómo la manipulación de índices covariantes y contravariantes se ajusta a la invariancia bajo una transformación pasiva entre bases, con los componentes de cada conjunto de bases en términos del otro reflejados en la primera columna. Los índices con barras se refieren al sistema de coordenadas final después de la transformación. ^{[ 12 ]}

Se utiliza la delta de Kronecker , véase también más abajo .

Los índices que no intervienen en las contracciones se denominan índices libres . Los índices que se utilizan en las contracciones se denominan índices ficticios o índices de sumatoria .

Los componentes de los tensores (como A ^α , B _β ^{γ ,} etc.) son simplemente números reales. Dado que los índices toman diversos valores enteros para seleccionar componentes específicos de los tensores, una sola ecuación tensorial representa muchas ecuaciones ordinarias. Si una igualdad tensorial tiene n índices libres y la dimensionalidad del espacio vectorial subyacente es m , la igualdad representa m ⁿ ecuaciones: cada índice toma todos los valores de un conjunto específico de valores.

Por ejemplo, si

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }}$

Si está en cuatro dimensiones (es decir, cada índice va de 0 a 3 o de 1 a 4), entonces, como hay tres índices libres ( α , β , δ ), hay 4³ ⁼ 64 ecuaciones. Tres de ellas son:

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{0}B_{1}{}^{0}C_{00}+A^{0}B_{1}{}^{1}C_{10}+A^{0}B_{1}{}^{2}C_{20}+A^{0}B_{1}{}^{3}C_{30}+D^{0}{}_{1}{}E_{0}&=T^{0}{}_{1}{}_{0}\\A^{1}B_{0}{}^{0}C_{00}+A^{1}B_{0}{}^{1}C_{10}+A^{1}B_{0}{}^{2}C_{20}+A^{1}B_{0}{}^{3}C_{30}+D^{1}{}_{0}{}E_{0}&=T^{1}{}_{0}{}_{0}\\A^{1}B_{2}{}^{0}C_{02}+A^{1}B_{2}{}^{1}C_{12}+A^{1}B_{2}{}^{2}C_{22}+A^{1}B_{2}{}^{3}C_{32}+D^{1}{}_{2}{}E_{2}&=T^{1}{}_{2}{}_{2}.\end{aligned}}}$

Esto ilustra la compacidad y la eficiencia del uso de la notación de índices: muchas ecuaciones que comparten una estructura similar pueden agruparse en una sola ecuación tensorial simple.

Sustituir cualquier símbolo de índice por otro no altera la ecuación tensorial (siempre que no haya conflicto con otros símbolos ya utilizados). Esto puede resultar útil al manipular índices, como por ejemplo al usar la notación de índices para verificar identidades del cálculo vectorial o identidades de la delta de Kronecker y el símbolo de Levi-Civita (véase también más abajo). Un ejemplo de un cambio correcto es:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\rightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\mu }C_{\mu \delta }+D^{\lambda }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,,}$

mientras que un cambio erróneo es:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\nrightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\mu \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,.}$

En la primera sustitución, λ reemplazó a α y μ reemplazó a γ en todas partes , por lo que la expresión conserva el mismo significado. En la segunda, λ no reemplazó completamente a α , y μ no reemplazó completamente a γ (de hecho, la contracción del índice γ se convirtió en un producto tensorial), lo cual es totalmente inconsistente por las razones que se muestran a continuación.

En una expresión tensorial, los índices libres siempre aparecen en la misma posición (superior o inferior) en todos los términos, y en una ecuación tensorial, los índices libres son los mismos en ambos lados. Los índices ficticios (que implican una suma sobre ese índice) no tienen por qué ser iguales, por ejemplo:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\delta }E_{\beta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }}$

En cuanto a una expresión errónea:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D_{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }E^{\delta }.}$

En otras palabras, los índices no repetidos deben ser del mismo tipo en cada término de la ecuación. En la identidad anterior, α , β y δ se alinean en toda la expresión, y γ aparece dos veces en un término debido a una contracción (una vez como índice superior y otra como índice inferior), por lo que se trata de una expresión válida. En la expresión inválida, si bien β se alinea, α y δ no lo hacen, y γ aparece dos veces en un término (contracción) y una vez en otro, lo cual es inconsistente.

Al aplicar una regla a varios índices (diferenciación, simetrización, etc., que se muestran a continuación), los corchetes o los signos de puntuación que indican las reglas solo se muestran en un grupo de los índices a los que se aplican.

Si los corchetes encierran índices covariantes , la regla se aplica solo a todos los índices covariantes encerrados entre los corchetes , no a ningún índice contravariante que se encuentre ubicado en un punto intermedio entre los corchetes.

De manera similar, si los corchetes encierran índices contravariantes , la regla se aplica solo a todos los índices contravariantes encerrados , no a los índices covariantes ubicados en posiciones intermedias.

Los paréntesis, (  ) , alrededor de varios índices denotan la parte simetrizada del tensor. Al simetrizar p índices usando σ para recorrer las permutaciones de los números del 1 al p , se toma una suma sobre las permutaciones de esos índices α _{σ ( i )} para i = 1, 2, 3, ..., p , y luego se divide por el número de permutaciones:

${\displaystyle A_{(\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p})\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\,.}$

Por ejemplo, dos índices simetrizantes significan que hay dos índices para permutar y sumar:

${\displaystyle A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)}$

mientras que para tres índices simetrizantes, hay tres índices sobre los que sumar y permutar:

${\displaystyle A_{(\alpha \beta \gamma )\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }+A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }+A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)}$

La simetrización es distributiva respecto de la suma;

${\displaystyle A_{(\alpha }\left(B_{\beta )\gamma \cdots }+C_{\beta )\gamma \cdots }\right)=A_{(\alpha }B_{\beta )\gamma \cdots }+A_{(\alpha }C_{\beta )\gamma \cdots }}$

Los índices no forman parte de la simetrización cuando:

• no al mismo nivel, por ejemplo;

  ${\displaystyle A_{(\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }+A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)}$

• dentro de los paréntesis y entre barras verticales (es decir |⋅⋅⋅|), modificando el ejemplo anterior;

  ${\displaystyle A_{(\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }+A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)}$

Aquí los índices α y γ están simetrizados, β no lo está.

Los corchetes, [  ] , alrededor de varios índices denotan la parte antisimetrizada del tensor. Para p índices antisimetrizados, se toma la suma sobre las permutaciones de esos índices α _{σ ( i )} multiplicada por la signatura de la permutación sgn( σ ) , y luego se divide por el número de permutaciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\[3pt]={}&{\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn}(\sigma )A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\={}&\delta _{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}^{\beta _{1}\dots \beta _{p}}A_{\beta _{1}\cdots \beta _{p}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\\end{aligned}}}$

donde δ β 1 ⋅⋅⋅ β p α 1 ⋅⋅⋅ α p es la delta de Kronecker generalizada de grado 2 p , con escalamiento como se define a continuación.

Por ejemplo, dos índices antisimetrizantes implican:

${\displaystyle A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)}$

mientras que tres índices antisimetrizantes implican:

${\displaystyle A_{[\alpha \beta \gamma ]\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }-A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }-A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)}$

En cuanto a un ejemplo más específico, si F representa el tensor electromagnético , entonces la ecuación

${\displaystyle 0=F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}={\dfrac {1}{3!}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\gamma \alpha ,\beta }+F_{\beta \gamma ,\alpha }-F_{\beta \alpha ,\gamma }-F_{\alpha \gamma ,\beta }-F_{\gamma \beta ,\alpha }\right)\,}$

representa la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de inducción de Faraday .

Como antes, la antisimetrización es distributiva sobre la suma;

${\displaystyle A_{[\alpha }\left(B_{\beta ]\gamma \cdots }+C_{\beta ]\gamma \cdots }\right)=A_{[\alpha }B_{\beta ]\gamma \cdots }+A_{[\alpha }C_{\beta ]\gamma \cdots }}$

Al igual que con la simetrización, los índices no se antisimetrizan cuando:

• no al mismo nivel, por ejemplo;

  ${\displaystyle A_{[\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }-A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)}$

• dentro de los corchetes y entre barras verticales (es decir |⋅⋅⋅|), modificando el ejemplo anterior;

  ${\displaystyle A_{[\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }-A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)}$

Aquí los índices α y γ están antisimetrizados, β no lo está.

Cualquier tensor puede escribirse como la suma de sus partes simétricas y antisimétricas en dos índices:

${\displaystyle A_{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }+A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }}$

como se puede ver al sumar las expresiones anteriores para A _{( αβ ) γ ⋅⋅⋅} y A _{[ αβ ] γ ⋅⋅⋅} . Esto no se cumple para más de dos índices.

Si bien la mayoría de las expresiones del cálculo de Ricci son válidas para bases arbitrarias, las expresiones que involucran derivadas parciales de componentes tensoriales con respecto a coordenadas solo se aplican con una base de coordenadas : una base definida mediante diferenciación con respecto a las coordenadas. Las coordenadas se denotan típicamente por x ^μ , pero en general no forman las componentes de un vector. En el espacio-tiempo plano con coordinatización lineal, una tupla de diferencias de coordenadas, Δ x ^μ , puede tratarse como un vector contravariante. Con las mismas restricciones en el espacio y en la elección del sistema de coordenadas, las derivadas parciales con respecto a las coordenadas producen un resultado que es efectivamente covariante. Aparte de su uso en este caso particular, las derivadas parciales de componentes de tensores no se transforman de forma covariante en general, pero son útiles para construir expresiones que sí lo son, aunque todavía con una base de coordenadas si las derivadas parciales se usan explícitamente, como con las derivadas covariantes, exteriores y de Lie que se muestran a continuación.

Para indicar la diferenciación parcial de los componentes de un campo tensorial con respecto a una variable de coordenadas x ^γ , se coloca una coma antes de un índice inferior adjunto de la variable de coordenadas.

${\displaystyle A_{\alpha \beta \cdots ,\gamma }={\dfrac {\partial }{\partial x^{\gamma }}}A_{\alpha \beta \cdots }}$

Esto puede repetirse (sin añadir más comas):

${\displaystyle A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}\,,\,\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{q}}}}\cdots {\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{p+2}}}}{\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{p+1}}}}A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}}.}$

Estos componentes no se transforman de forma covariante, a menos que la expresión que se esté diferenciando sea un escalar. Esta derivada se caracteriza por la regla del producto y las derivadas de las coordenadas.

${\displaystyle x^{\alpha }{}_{,\gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha },}$

donde δ es la delta de Kronecker .

La derivada covariante solo se define si existe una conexión . Para cualquier campo tensorial, un punto y coma (  ; ) colocado antes de un índice inferior (covariante) adjunto indica diferenciación covariante. Otras alternativas menos comunes al punto y coma incluyen una barra inclinada ( / ) ^{[ 15 ]} o, en el espacio curvo tridimensional, una barra vertical simple (  | )  ^{[ 16 ]} .

La derivada covariante de una función escalar, un vector contravariante y un vector covariante son:

${\displaystyle f_{;\beta }=f_{,\beta }}$

${\displaystyle A^{\alpha }{}_{;\beta }=A^{\alpha }{}_{,\beta }+\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }A^{\gamma }}$

${\displaystyle A_{\alpha$ ;\beta }=A_{\alpha ,\beta }-\Gamma ^{\gamma }{}_{\alpha \beta }A_{\gamma }\,,}

donde Γ ^α _γβ son los coeficientes de conexión.

Para un tensor arbitrario: ^{[ 17 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma }&\\=T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&+\,\Gamma ^{\alpha _{1}}{}_{\delta \gamma }T^{\delta \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}+\cdots +\Gamma ^{\alpha _{r}}{}_{\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\delta }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&-\,\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{1}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\delta \beta _{2}\cdots \beta _{s}}-\cdots -\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{s}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\delta }\,.\end{aligned}}}$

Una notación alternativa para la derivada covariante de cualquier tensor es el símbolo nabla subíndice ∇ _β . Para el caso de un campo vectorial A ^α : ^{[ 18 ]}

${\displaystyle \nabla _{\beta }A^{\alpha }=A^{\alpha }{}_{;\beta }\,.}$

La formulación covariante de la derivada direccional de cualquier campo tensorial a lo largo de un vector v ^γ puede expresarse como su contracción con la derivada covariante, por ejemplo:

${\displaystyle v^{\gamma }A_{\alpha$ ;\gamma }\,.}

Los componentes de esta derivada de un campo tensorial se transforman de forma covariante y, por lo tanto, forman otro campo tensorial, a pesar de que las subexpresiones (la derivada parcial y los coeficientes de conexión) no se transforman de forma covariante por separado.

Este derivado se caracteriza por la regla del producto:

${\displaystyle (A^{\alpha }{}_{\beta \cdots }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots })_{;\epsilon }=A^{\alpha }{}_{\beta \cdots$ ;\epsilon }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots }+A^{\alpha }{}_{\beta \cdots }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots  ;\epsilon }\,.}

La derivada exterior de un campo tensorial totalmente antisimétrico de tipo (0, s ) con componentes A _{α 1 ⋅⋅⋅ α s} (también llamada forma diferencial ) es una derivada covariante bajo transformaciones de base. No depende ni de un tensor métrico ni de una conexión: solo requiere la estructura de una variedad diferenciable. En una base de coordenadas, puede expresarse como la antisimetrización de las derivadas parciales de las componentes del tensor: ^{[ 3 ] : 232–233}

${\displaystyle (\mathrm {d} A)_{\gamma \alpha _{1}\cdots \alpha _{s}}={\frac {\partial }{\partial x^{[\gamma }}}A_{\alpha _{1}\cdots \alpha _{s}]}=A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{s},\gamma ]}.}$

Esta derivada no está definida en ningún campo tensorial con índices contravariantes o que no sea totalmente antisimétrico. Se caracteriza por una regla de producto graduado.

La derivada de Lie es otra derivada que es covariante bajo transformaciones de base. Al igual que la derivada exterior, no depende ni de un tensor métrico ni de una conexión. La derivada de Lie de un campo tensorial de tipo ( r , s ) T a lo largo de (el flujo de) un campo vectorial contravariante Xρ puede expresarse utilizando una base de coordenadas como ^{[ 19 ] .}

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}&\\=X^{\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&-\,X^{\alpha _{1}}{}_{,\gamma }T^{\gamma \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -X^{\alpha _{r}}{}_{,\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\gamma }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+\,X^{\gamma }{}_{,\beta _{1}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\gamma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +X^{\gamma }{}_{,\beta _{s}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\gamma }\,.\end{aligned}}}$

Esta derivada se caracteriza por la regla del producto y el hecho de que la derivada de Lie de un campo vectorial contravariante respecto a sí mismo es cero:

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}X)^{\alpha }=X^{\gamma }X^{\alpha }{}_{,\gamma }-X^{\alpha }{}_{,\gamma }X^{\gamma }=0\,.}$

La delta de Kronecker es como la matriz identidad cuando se multiplica y se contrae:

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{\beta }^{\alpha }\,A^{\beta }&=A^{\alpha }\\\delta _{\nu }^{\mu }\,B_{\mu }&=B_{\nu }.\end{aligned}}}$

Los componentes δ ^α _β son los mismos en cualquier base y forman un tensor invariante de tipo (1, 1) , es decir, la identidad del fibrado tangente sobre la aplicación identidad de la variedad base , y por lo tanto su traza es un invariante. ^{[ 20 ]} Su traza es la dimensionalidad del espacio; por ejemplo, en el espaciotiempo de cuatro dimensiones ,

${\displaystyle \delta _{\rho }^{\rho }=\delta _{0}^{0}+\delta _{1}^{1}+\delta _{2}^{2}+\delta _{3}^{3}=4.}$

La delta de Kronecker pertenece a la familia de las deltas de Kronecker generalizadas. La delta de Kronecker generalizada de grado 2p se puede definir en términos de la delta de Kronecker mediante (una definición común incluye un multiplicador adicional de p ! a la derecha):

${\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}=\delta _{\beta _{1}}^{[\alpha _{1}}\cdots \delta _{\beta _{p}}^{\alpha _{p}]},}$

y actúa como un antisimetrizador en los índices p :

${\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}\,A^{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}=A^{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]}.}$

Una conexión afín tiene un tensor de torsión T ^α _βγ :

${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }-\gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma },}$

donde γ ^α _{β γ} vienen dadas por las componentes del corchete de Lie de la base local, que se anulan cuando se trata de una base de coordenadas.

Para una conexión de Levi-Civita, este tensor se define como cero, lo que para una base de coordenadas da las ecuaciones

${\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }.}$

Si este tensor se define como

${\displaystyle R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma ,\mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma ,\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }\,,}$

entonces es el conmutador de la derivada covariante consigo misma: ^{[ 21 ] [ 22 ]}

${\displaystyle A_{\nu$ ;\rho \sigma }-A_{\nu  ;\sigma \rho }=A_{\beta }R^{\beta }{}_{\nu \rho \sigma }\,,}

puesto que la conexión no tiene torsión, lo que significa que el tensor de torsión se anula.

Esto se puede generalizar para obtener el conmutador para dos derivadas covariantes de un tensor arbitrario de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma \delta }&-T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\delta \gamma }\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!=-R^{\alpha _{1}}{}_{\rho \gamma \delta }T^{\rho \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -R^{\alpha _{r}}{}_{\rho \gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\rho }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+R^{\sigma }{}_{\beta _{1}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\sigma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +R^{\sigma }{}_{\beta _{s}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\sigma }\,\end{aligned}}}$

que a menudo se denominan identidades de Ricci . ^{[ 23 ]}

El tensor métrico g _αβ se utiliza para reducir índices y proporciona la longitud de cualquier curva de tipo espacial.

${\displaystyle {\text{length}}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,}$

donde γ es cualquier parametrización suave y estrictamente monótona de la trayectoria. También proporciona la duración de cualquier curva de tipo temporal.

${\displaystyle {\text{duration}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {{\frac {-1}{c^{2}}}g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,}$

donde γ es cualquier parametrización suave estrictamente monótona de la trayectoria. Véase también Elemento de línea .

La matriz inversa g ^αβ del tensor métrico es otro tensor importante, utilizado para elevar índices:

${\displaystyle g^{\alpha \beta }g_{\beta \gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha }\,.}$