Álgebra multilineal

El álgebra multilineal es el estudio de funciones con múltiples argumentos con valores vectoriales , siendo las funciones mapas lineales con respecto a cada argumento. Implica conceptos como matrices , tensores , multivectores , sistemas de ecuaciones lineales , espacios de dimensiones superiores , determinantes , productos internos y externos y espacios duales . Es una herramienta matemática utilizada en ingeniería , aprendizaje automático , física y matemáticas . ^[1]

Origen

Si bien muchos conceptos y aplicaciones teóricas involucran vectores únicos , matemáticos como Hermann Grassmann consideraron estructuras que involucran pares, tripletes y multivectores que generalizan vectores . Con múltiples posibilidades combinacionales, el espacio de multivectores se expande a 2 ⁿ dimensiones, donde n es la dimensión del espacio vectorial relevante. ^[2] El determinante se puede formular de manera abstracta utilizando las estructuras del álgebra multilineal.

El álgebra multilineal aparece en el estudio de la respuesta mecánica de los materiales a la tensión y la deformación, involucrando varios módulos de elasticidad . El término " tensor " describe elementos dentro del espacio multilineal debido a su estructura añadida. A pesar del trabajo temprano de Grassmann en 1844 con su Ausdehnungslehre , que también fue republicado en 1862, el tema inicialmente no fue ampliamente comprendido, ya que incluso el álgebra lineal ordinaria planteaba muchos desafíos en ese momento.

Los conceptos de álgebra multilineal encuentran aplicaciones en ciertos estudios de cálculo multivariado y variedades , particularmente en lo que respecta a la matriz jacobiana . Los diferenciales infinitesimales encontrados en el cálculo de una variable se transforman en formas diferenciales en el cálculo multivariado , y su manipulación se lleva a cabo utilizando álgebra exterior . ^[3]

Después de Grassmann, Victor Schlegel realizó avances en el álgebra multilineal en 1872 con la publicación de la primera parte de su System der Raumlehre ^[4] y por Elwin Bruno Christoffel . Cabe destacar que se produjeron avances significativos a través del trabajo de Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita , ^[5] particularmente en la forma de cálculo diferencial absoluto dentro del álgebra multilineal. Marcel Grossmann y Michele Besso introdujeron esta forma a Albert Einstein , y en 1915, la publicación de Einstein sobre la relatividad general , que explicaba la precesión del perihelio de Mercurio , estableció el álgebra multilineal y los tensores como herramientas matemáticas importantes en física.

En 1958, Nicolas Bourbaki incluyó un capítulo sobre álgebra multilineal titulado « Algèbre Multilinéaire » en su serie Elementos de matemática , específicamente dentro del libro de álgebra. El capítulo cubre temas como las funciones bilineales, el producto tensorial de dos módulos y las propiedades de los productos tensoriales. ^[6]

Aplicaciones

Los conceptos de álgebra multilineal encuentran aplicaciones en diversas áreas, entre ellas:

Véase también

Referencias

^ Pandey, Divyanshu; Venugopal, Adithya; Leib, Harry (2024). "Álgebra lineal a multilineal y sistemas que utilizan tensores". Fronteras en Matemática Aplicada y Estadística . 9 . arXiv : 2304.10658 . doi : 10.3389/fams.2023.1259836 . ISSN 2297-4687.
^ Grassmann, Hermann (2000) [1862]. Teoría de la extensión [ Die Ausdehnungslehre ]. Traducido por Kannenberg, Lloyd. American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-9049-3.
^ Fleming, Wendell H. (1977). "Álgebra exterior y cálculo diferencial". Funciones de varias variables . Textos de pregrado en matemáticas (2.ª ed.). Springer. págs. 275–320. doi :10.1007/978-1-4684-9461-7_7. ISBN 978-1-4684-9461-7.OCLC 2401829 .
^ Schlegel, Víctor (2018). System der Raumlehre: Nach den Prinzipien der Grassmann'schen Ausdehnungslehre und als Einleitung in Dieselbe; geometría; Die Gebiete des Punktes, der Geraden, der Ebene . Libros olvidados. ISBN 978-0-364-22177-8.
^ Ricci-Curbastro, Gregorio ; Levi-Civita, Tullio (1900). "Métodos de cálculo différentiel absolu et leurs aplicaciones". Annalen Matemáticas . 54 (1): 125-201. doi :10.1007/BF01454201. ISSN 1432-1807. S2CID 120009332.
↑ Nicolas Bourbaki (1958) Algèbra Multilinéair , capítulo 3 del libro 2 Álgebra , en Éléments de mathématique , París: Hermann

Greub, WH (1967) Álgebra multilineal , Springer
Douglas Northcott (1984) Álgebra multilineal , Cambridge University Press ISBN 0-521-26269-0
Shaw, Ronald (1983). Álgebra multilineal y representaciones de grupos . Vol. 2. Academic Press . ISBN. 978-0-12-639202-9.OCLC 59106339 .

[1] Pandey, Divyanshu; Venugopal, Adithya; Leib, Harry (2024). "Álgebra lineal a multilineal y sistemas que utilizan tensores". Fronteras en Matemática Aplicada y Estadística . 9 . arXiv : 2304.10658 . doi : 10.3389/fams.2023.1259836 . ISSN 2297-4687.

[2] Grassmann, Hermann (2000) [1862]. Teoría de la extensión [ Die Ausdehnungslehre ]. Traducido por Kannenberg, Lloyd. American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-9049-3.

[3] Fleming, Wendell H. (1977). "Álgebra exterior y cálculo diferencial". Funciones de varias variables . Textos de pregrado en matemáticas (2.ª ed.). Springer. págs. 275–320. doi :10.1007/978-1-4684-9461-7_7. ISBN 978-1-4684-9461-7.OCLC 2401829 .

[4] Schlegel, Víctor (2018). System der Raumlehre: Nach den Prinzipien der Grassmann'schen Ausdehnungslehre und als Einleitung in Dieselbe; geometría; Die Gebiete des Punktes, der Geraden, der Ebene . Libros olvidados. ISBN 978-0-364-22177-8.

[5] Ricci-Curbastro, Gregorio ; Levi-Civita, Tullio (1900). "Métodos de cálculo différentiel absolu et leurs aplicaciones". Annalen Matemáticas . 54 (1): 125-201. doi :10.1007/BF01454201. ISSN 1432-1807. S2CID 120009332.

[6] Nicolas Bourbaki (1958) Algèbra Multilinéair , capítulo 3 del libro 2 Álgebra , en Éléments de mathématique , París: Hermann