Díadas

En matemáticas , específicamente en álgebra multilineal , un tensor diádico o diádico es un tensor de segundo orden , escrito en una notación que se ajusta al álgebra vectorial .

Existen numerosas formas de multiplicar dos vectores euclidianos . El producto escalar toma dos vectores y devuelve un escalar , mientras que el producto vectorial ^{[ a ]} devuelve un pseudovector . Ambos tienen diversas interpretaciones geométricas significativas y se utilizan ampliamente en matemáticas, física e ingeniería . El producto diádico toma dos vectores y devuelve un tensor de segundo orden, denominado diádico en este contexto. Un diádico puede utilizarse para contener información física o geométrica, aunque, en general, no existe una forma directa de interpretarlo geométricamente.

El producto diádico es distributivo respecto de la suma de vectores y asociativo respecto de la multiplicación escalar . Por lo tanto, el producto diádico es lineal en ambos operandos. En general, se pueden sumar dos diádicos para obtener otro y multiplicarlos por números para escalarlo. Sin embargo, el producto no es conmutativo : cambiar el orden de los vectores da como resultado un diádico diferente.

El formalismo del álgebra diádica es una extensión del álgebra vectorial que incluye el producto diádico de vectores. El producto diádico también es asociativo con el producto escalar y el producto vectorial con otros vectores, lo que permite combinar estos productos para obtener otros escalares, vectores o diádicos.

También presenta algunos aspectos del álgebra matricial , ya que las componentes numéricas de los vectores se pueden organizar en vectores fila y columna , y las de los tensores de segundo orden en matrices cuadradas . Además, los productos escalar, vectorial y diádico se pueden expresar en forma matricial. Las expresiones diádicas pueden asemejarse mucho a sus equivalentes matriciales.

El producto escalar de un vector diádico con otro vector da como resultado otro vector, y al calcular el producto escalar de este resultado se obtiene un escalar derivado del vector diádico. El efecto que un vector diádico determinado tiene sobre otros vectores puede proporcionar interpretaciones físicas o geométricas indirectas.

La notación diádica fue establecida por primera vez por Josiah Willard Gibbs en 1884. La notación y la terminología están relativamente obsoletas hoy en día. Sus usos en física incluyen la mecánica de medios continuos y el electromagnetismo .

En este artículo, las variables en negrita y mayúsculas representan díadas (incluidas las díadas), mientras que las variables en negrita y minúsculas representan vectores. Una notación alternativa utiliza barras dobles o simples, respectivamente.

Definiciones y terminología

Productos diádicos, externos y tensoriales

Una díada es un tensor de orden dos y rango uno, y es el producto diádico de dos vectores ( vectores complejos en general), mientras que un diádico es un tensor general de orden dos (que puede ser de rango completo o no).

Existen varios términos y notaciones equivalentes para este producto:

el producto diádico de dos vectores $\mathbf {a}$ y $\mathbf {b}$ se denota por $\mathbf {a} \mathbf {b}$ (yuxtapuestos; sin símbolos, signos de multiplicación, cruces, puntos, etc.; también la notación convencional para el producto geométrico , que es diferente)
el producto exterior de dos vectores columna $\mathbf {a}$ y $\mathbf {b}$ se denota y define como $\mathbf {a} \otimes \mathbf {b}$ o $\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathsf {T}}$ , dónde ${\mathsf {T}}$ significa transponer ,
el producto tensorial de dos vectores $\mathbf {a}$ y $\mathbf {b}$ se denota $\mathbf {a} \otimes \mathbf {b}$ ,

En el contexto diádico, todos tienen la misma definición y significado, y se utilizan como sinónimos, aunque el producto tensorial es un ejemplo del uso más general y abstracto del término.

Espacio euclidiano tridimensional

Para ilustrar el uso equivalente, consideremos el espacio euclidiano tridimensional , donde:

{\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} \end{alineado}}

Sean dos vectores donde i , j , k ( también denotados e₁ , e₂ _,e₃ ) son los vectores base estándar en este espacio vectorial ₍ véase también coordenadas cartesianas ). Entonces _, el producto diádico de a y b puede representarse como una suma:

{\begin{aligned}\mathbf {ab} =\qquad &a_{1}b_{1}\mathbf {ii} +a_{1}b_{2}\mathbf {ij} +a_{1}b_{3}\mathbf {ik} \\{}+{}&a_{2}b_{1}\mathbf {ji} +a_{2}b_{2}\mathbf {jj} +a_{2}b_{3}\mathbf {jk} \\{}+{}&a_{3}b_{1}\mathbf {ki} +a_{3}b_{2}\mathbf {kj} +a_{3}b_{3}\mathbf {kk} \end{aligned}}

o, por extensión, a partir de vectores fila y columna, una matriz de 3 × 3 (también el resultado del producto exterior o producto tensorial de a y b ):

\mathbf {ab} \equiv \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \equiv \mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\end{pmatrix}}.

Así como los vectores base (y unitarios) estándar i , j , k tienen las siguientes representaciones:

{\begin{aligned}\mathbf {i} &={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},&\mathbf {j} &={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},&\mathbf {k} &={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\end{aligned}}

(que se pueden transponer), las díadas de base estándar (y de unidad) tienen la siguiente representación:

{\begin{aligned}\mathbf {ii} &={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {ij} &={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {ik} &={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\mathbf {ji} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {jj} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {jk} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\mathbf {ki} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {kj} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},&\mathbf {kk} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}

Para un ejemplo numérico sencillo en la base estándar:

{\begin{aligned}\mathbf {A} &=2\mathbf {ij} +{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathbf {ji} -8\pi \mathbf {jk} +{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\mathbf {kk} \\[2pt]&=2{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}-8\pi {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\[2pt]&={\begin{pmatrix}0&2&0\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&0&-8\pi \\0&0&{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}

espacio euclidiano N- dimensional

Si el espacio euclidiano es N - dimensional y

{\begin{aligned}\mathbf {a} &=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\mathbf {e} _{i}=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+{\ldots }+a_{N}\mathbf {e} _{N}\\\mathbf {b} &=\sum _{j=1}^{N}b_{j}\mathbf {e} _{j}=b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+\ldots +b_{N}\mathbf {e} _{N}\end{aligned}}

donde e _i y e _j son los vectores base estándar en N dimensiones (el índice i en e _i selecciona un vector específico, no un componente del vector como en a _i ), entonces en forma algebraica su producto diádico es:

\mathbf {ab} =\sum _{j=1}^{N}\sum _{i=1}^{N}a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}.

Esto se conoce como la forma no iónica de la díada. Su producto externo/tensorial en forma matricial es:

\mathbf {ab} =\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&\cdots &a_{1}b_{N}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&\cdots &a_{2}b_{N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{N}b_{1}&a_{N}b_{2}&\cdots &a_{N}b_{N}\end{pmatrix}}.

Un polinomio diádico A , también conocido como diádico, se forma a partir de múltiples vectores a _i y b _j :

\mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {a} _{1}\mathbf {b} _{1}+\mathbf {a} _{2}\mathbf {b} _{2}+\mathbf {a} _{3}\mathbf {b} _{3}+\ldots

Se dice que una díada que no puede reducirse a una suma de menos de N díadas es completa. En este caso, los vectores formadores no son coplanares, véase Chen (1983) .

Clasificación

La siguiente tabla clasifica las díadas:

Identidades

Las siguientes identidades son una consecuencia directa de la definición del producto tensorial: ^{[ 1 ]}

Compatible con la multiplicación escalar :
$(\alpha \mathbf {a} )\mathbf {b} =\mathbf {a} (\alpha \mathbf {b} )=\alpha (\mathbf {a} \mathbf {b} )$
para cualquier escalar $\alpha$ .
Distributiva sobre la suma de vectores :
${\begin{aligned}\mathbf {a} (\mathbf {b} +\mathbf {c} )&=\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {a} \mathbf {c} \\(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\mathbf {c} &=\mathbf {a} \mathbf {c} +\mathbf {b} \mathbf {c} \end{aligned}}$

Álgebra diádica

Producto de diádico y vectorial

Existen cuatro operaciones definidas sobre un vector y una diádica, construidas a partir de los productos definidos sobre vectores.

Producto de diádico y diádico

Existen cinco operaciones para transformar un vector diádico en otro. Sean a , b , c , d vectores reales. Entonces:

Alquiler

\mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i},\quad \mathbf {B} =\sum _{j}\mathbf {c} _{j}\mathbf {d} _{j}

Si somos dos díadas generales, tenemos:

Producto escalar doble

La primera definición del producto escalar doble es el producto interno de Frobenius ,

{\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)&=\sum _{i,j}\operatorname {tr} \left(\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {d} _{j}\mathbf {c} _{j}^{\mathsf {T}}\right)\\&=\sum _{i,j}\operatorname {tr} \left(\mathbf {c} _{j}^{\mathsf {T}}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {d} _{j}\right)\\&=\sum _{i,j}(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j})(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j})\\&=\mathbf {A} \mathbin {{}_{\centerdot }^{\centerdot }} \mathbf {B} \end{aligned}}

Además, puesto que,

{\begin{aligned}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}&=\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{j}^{\mathsf {T}}\right)^{\mathsf {T}}\\&=\sum _{i,j}\mathbf {b} _{i}\mathbf {a} _{j}^{\mathsf {T}}\end{aligned}}

lo entendemos,

\mathbf {A} \mathbin {{}_{\centerdot }^{\centerdot }} \mathbf {B} =\mathbf {A} \mathbin {\underline {{}_{\centerdot }^{\centerdot }}} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}

Así pues, la segunda definición posible del producto escalar doble es simplemente la primera con una transposición adicional en el segundo elemento diádico. Por estas razones, se prefiere la primera definición del producto escalar doble, aunque algunos autores siguen utilizando la segunda.

Producto cruzado doble

Podemos ver que, para cualquier díada formada por dos vectores a y b , su producto vectorial doble es cero.

\left(\mathbf {ab} \right)\mathbin {{}_{\times }^{\times }} \left(\mathbf {ab} \right)=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {a} \right)\left(\mathbf {b} \times \mathbf {b} \right)=0

Sin embargo, por definición, un producto cruzado doble diádico sobre sí mismo generalmente será distinto de cero. Por ejemplo, un producto cruzado doble diádico A compuesto por seis vectores diferentes.

\mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}

tiene un producto de doble cruz consigo mismo distinto de cero

\mathbf {A} \mathbin {{}_{\times }^{\times }} \mathbf {A} =2\left[\left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)\left(\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}\right)+\left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)\left(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}\right)+\left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)\left(\mathbf {b} _{3}\times \mathbf {b} _{1}\right)\right]

Contracción tensorial

El factor de expansión o de espuela surge de la expansión formal del producto diádico en una base de coordenadas, reemplazando cada producto diádico por un producto escalar de vectores:

{\begin{aligned}|\mathbf {A} |=\qquad &A_{11}\mathbf {i} \cdot \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \cdot \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \cdot \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \cdot \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \cdot \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \cdot \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{11}+A_{22}+A_{33}\end{aligned}}

En notación de índices, esta es la contracción de índices en la diádica:

|\mathbf {A} |=\sum _{i}A_{i}{}^{i}

En tres dimensiones únicamente, el factor de rotación surge al reemplazar cada producto diádico por un producto vectorial.

{\begin{aligned}\langle \mathbf {A} \rangle =\qquad &A_{11}\mathbf {i} \times \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \times \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \times \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \times \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \times \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \times \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \times \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{12}\mathbf {k} -A_{13}\mathbf {j} -A_{21}\mathbf {k} \\{}+{}&A_{23}\mathbf {i} +A_{31}\mathbf {j} -A_{32}\mathbf {i} \\[6pt]=\qquad &\left(A_{23}-A_{32}\right)\mathbf {i} +\left(A_{31}-A_{13}\right)\mathbf {j} +\left(A_{12}-A_{21}\right)\mathbf {k} \\\end{aligned}}

En notación de índices, esta es la contracción de A con el tensor de Levi-Civita.

\langle \mathbf {A} \rangle =\sum _{jk}{\epsilon _{i}}^{jk}A_{jk}.

Unidad diádica

Existe una diádica unitaria, denotada por I , tal que, para cualquier vector a ,

\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {I} =\mathbf {a}

Dada una base de 3 vectores a , b y c , con base recíproca ${\hat {\mathbf {a} }},{\hat {\mathbf {b} }},{\hat {\mathbf {c} }}$ , la unidad diádica se expresa por

\mathbf {I} =\mathbf {a} {\hat {\mathbf {a} }}+\mathbf {b} {\hat {\mathbf {b} }}+\mathbf {c} {\hat {\mathbf {c} }}

En la base estándar (para definiciones de i , j , k, véase la sección anterior § Espacio euclidiano tridimensional ),

\mathbf {I} =\mathbf {ii} +\mathbf {jj} +\mathbf {kk}

Explícitamente, el producto escalar a la derecha de la diádica unitaria es

{\begin{aligned}\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} &=(\mathbf {i} \mathbf {i} +\mathbf {j} \mathbf {j} +\mathbf {k} \mathbf {k} )\cdot \mathbf {a} \\&=\mathbf {i} (\mathbf {i} \cdot \mathbf {a} )+\mathbf {j} (\mathbf {j} \cdot \mathbf {a} )+\mathbf {k} (\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} )\\&=\mathbf {i} a_{x}+\mathbf {j} a_{y}+\mathbf {k} a_{z}\\&=\mathbf {a} \end{aligned}}

y a la izquierda

{\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {I} &=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {i} \mathbf {i} +\mathbf {j} \mathbf {j} +\mathbf {k} \mathbf {k} )\\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {i} )\mathbf {i} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {j} )\mathbf {j} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {k} \\&=a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} \\&=\mathbf {a} \end{aligned}}

La matriz correspondiente es

\mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}

Esto se puede fundamentar de manera más cuidadosa (explicando qué podría significar el contenido lógico de la "yuxtaposición de notaciones") utilizando el lenguaje de los productos tensoriales. Si V es un espacio vectorial de dimensión finita , un tensor diádico en V es un tensor elemental en el producto tensorial de V con su espacio dual .

El producto tensorial de V y su espacio dual es isomorfo al espacio de aplicaciones lineales de V a V' : un tensor diádico vf es simplemente la aplicación lineal que envía cualquier w en V a f ( w ) v . Cuando V es un espacio euclidiano n- dimensional , podemos usar el producto interno para identificar el espacio dual con V mismo, lo que convierte a un tensor diádico en un producto tensorial elemental de dos vectores en el espacio euclidiano.

En este sentido, la unidad diádica ij es la función del espacio tridimensional a sí misma que envía a ₁i + a ₂j + a ₃k a a ₂i , y jj envía esta suma a a ₂j . Ahora se revela en qué sentido (preciso) ii + jj + kk es la identidad: envía a ₁i + a ₂j + a ₃k a sí misma porque su efecto es sumar cada vector unitario en la base estándar escalado por el coeficiente del vector en esa base.

Propiedades de las díadas unitarias

{\begin{aligned}\left(\mathbf {a} \times \mathbf {I} \right)\cdot \left(\mathbf {b} \times \mathbf {I} \right)&=\mathbf {ba} -\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\mathbf {I} \\\mathbf {I} {}_{\times }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {ab} \right)&=\mathbf {b} \times \mathbf {a} \\\mathbf {I} {}_{\times }^{\times }\mathbf {A} &=(\mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\mathbf {I} )\mathbf {I} -\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\\\mathbf {I} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {ab} \right)&=\left(\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} \right)\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathrm {tr} \left(\mathbf {ab} \right)\end{aligned}}

donde "tr" denota la traza .

Ejemplos

Proyección vectorial y rechazo

Un vector distinto de cero a siempre se puede dividir en dos componentes perpendiculares, una paralela (‖) a la dirección de un vector unitario n y otra perpendicular (⊥) a él;

\mathbf {a} =\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp }

El componente paralelo se encuentra mediante proyección vectorial , que es equivalente al producto escalar de a con el diádico nn ,

\mathbf {a} _{\parallel }=\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=(\mathbf {nn} )\cdot \mathbf {a}

y la componente perpendicular se encuentra a partir del rechazo vectorial , que es equivalente al producto escalar de a con el diádico I − nn ,

\mathbf {a} _{\perp }=\mathbf {a} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=(\mathbf {I} -\mathbf {nn} )\cdot \mathbf {a}

Rotación diádica

rotaciones 2D

La diádica

\mathbf {J} =\mathbf {ji} -\mathbf {ij} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

es un operador de rotación de 90° en sentido antihorario en 2d. Se le puede aplicar el operador de puntos izquierdo con un vector r = x i + y j para producir el vector,

(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\cdot (x\mathbf {i} +y\mathbf {j} )=x\mathbf {ji} \cdot \mathbf {i} -x\mathbf {ij} \cdot \mathbf {i} +y\mathbf {ji} \cdot \mathbf {j} -y\mathbf {ij} \cdot \mathbf {j} =-y\mathbf {i} +x\mathbf {j} ,

en resumen

\mathbf {J} \cdot \mathbf {r} =\mathbf {r} _{\mathrm {rot} }

o en notación matricial

{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}.

Para cualquier ángulo θ , la diádica de rotación 2D para una rotación en sentido antihorario en el plano es

\mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +\mathbf {J} \sin \theta =(\mathbf {ii} +\mathbf {jj} )\cos \theta +(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\sin \theta ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\;\cos \theta \end{pmatrix}}

donde I y J son como se indicó anteriormente, y la rotación de cualquier vector 2D a = a _x i + a _y j es

\mathbf {a} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \cdot \mathbf {a}

rotaciones 3D

Una rotación tridimensional general de un vector a , alrededor de un eje en la dirección de un vector unitario ω y en sentido antihorario a través de un ángulo θ , se puede realizar utilizando la fórmula de rotación de Rodrigues en forma diádica.

\mathbf {a} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \cdot \mathbf {a} \,,

donde la rotación diádica es

\mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +{\boldsymbol {\Omega }}\sin \theta +{\boldsymbol {\omega \omega }}(1-\cos \theta )\,,

y las entradas cartesianas de ω también forman las de la diádica

{\boldsymbol {\Omega }}=\omega _{x}(\mathbf {kj} -\mathbf {jk} )+\omega _{y}(\mathbf {ik} -\mathbf {ki} )+\omega _{z}(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\,,

El efecto de Ω sobre a es el producto cruzado.

{\boldsymbol {\Omega }}\cdot \mathbf {a} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a}

que es la forma diádica de la matriz de producto cruzado con un vector columna.

Transformación de Lorentz

En la relatividad especial , el impulso de Lorentz con velocidad v en la dirección de un vector unitario n se puede expresar como

t'=\gamma \left(t-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)

\mathbf {r} '=[\mathbf {I} +(\gamma -1)\mathbf {nn} ]\cdot \mathbf {r} -\gamma v\mathbf {n} t

dónde

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

es el factor de Lorentz .

Términos relacionados

Algunos autores generalizan a partir del término diádico a términos relacionados como triádico , tetrádico y poliádico . ^{[ 2 ]}

Véase también

Notas

Notas explicativas

↑ El producto vectorial solo existe en espacios con producto interno orientados de tres y siete dimensiones, y solo posee propiedades deseables en espacios con producto interno tridimensionales. El producto exterior correspondiente existe para todos los espacios vectoriales.

Citas

↑ Spencer (1992), página 19.
↑ Por ejemplo, IV Lindell y AP Kiselev (2001). "Métodos poliádicos en elastodinámica" (PDF) . Progress in Electromagnetics Research . 31 : 113–154 . doi : 10.2528/PIER00051701 .

Referencias

P. Mitiguy (2009). "Vectores y diádicas" (PDF) . Stanford , EE. UU.Capítulo 2
Spiegel, señor; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). Análisis vectorial, esquemas de Schaum . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
AJM Spencer (1992). Mecánica de medios continuos . Dover Publications. ISBN 0-486-43594-6..
Morse, Philip M.; Feshbach, Herman (1953), "§1.6: Diádicas y otros operadores vectoriales", Métodos de física teórica, Volumen 1 , Nueva York: McGraw-Hill , págs. 54–92 , ISBN 978-0-07-043316-8, MR 0059774 {{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda ) .
Ismo V. Lindell (1996). Métodos para el análisis de campos electromagnéticos . Wiley-Blackwell. ISBN 978-0-7803-6039-6..
Hollis C. Chen (1983). Teoría de las ondas electromagnéticas: un enfoque independiente de coordenadas . McGraw Hill. ISBN 978-0-07-010688-8..
K. Cahill (2013). Matemáticas físicas . Cambridge University Press. ISBN 978-1107005211.

Enlaces externos

Análisis vectorial, un libro de texto para uso de estudiantes de matemáticas y física, basado en las conferencias de J. Willard Gibbs PhD LLD y Edwind Bidwell Wilson PhD.
Teoría de campos avanzada, IVLindel
Análisis vectorial y diádico
Introducción al análisis tensorial
Nasa.gov, Fundamentos del análisis tensorial para estudiantes de física e ingeniería con una introducción a la teoría de la relatividad, JC Kolecki
Nasa.gov, Introducción a los tensores para estudiantes de física e ingeniería, JC Kolecki

[1] El producto vectorial solo existe en espacios con producto interno orientados de tres y siete dimensiones, y solo posee propiedades deseables en espacios con producto interno tridimensionales. El producto exterior correspondiente existe para todos los espacios vectoriales.

[2] Spencer (1992), página 19.

[3] Por ejemplo, IV Lindell y AP Kiselev (2001). "Métodos poliádicos en elastodinámica" (PDF) . Progress in Electromagnetics Research . 31 : 113–154 . doi : 10.2528/PIER00051701 .

[ a ]

[ 1 ]

[ 2 ]