notación de Einstein

Según esta convención, cuando una variable de índice aparece dos veces en un solo término y no está definida de otra manera (véase Variables libres y ligadas ), implica la suma de ese término sobre todos los valores del índice. Por lo tanto, donde los índices pueden variar sobre el conjunto${\displaystyle \{1,2,3\}}$, $${\displaystyle y=\sum _{i=1}^{3}x^{i}e_{i}=x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2}+x^{3}e_{3}}$$ se simplifica mediante la convención a: $${\displaystyle y=x^{i}e_{i}}$$

Los índices superiores no son exponentes , sino índices de coordenadas, coeficientes o vectores base . Es decir, en este contexto${\displaystyle x^{2}}$debe entenderse como el segundo componente de${\displaystyle x}$en lugar del cuadrado de${\displaystyle x}$(esto puede generar ambigüedad ocasionalmente). La posición del índice superior en${\displaystyle x^{i}}$Esto se debe a que, normalmente, un índice aparece una vez en posición superior (superíndice) y una vez en posición inferior (subíndice) en un término (véase §  Aplicación más abajo). Normalmente,${\displaystyle (x^{1}\ x^{2}\ x^{3})}$sería equivalente al tradicional${\displaystyle (x\ y\ z)}$.

En la relatividad general , una convención común es que

• El alfabeto griego se utiliza para los componentes de espacio y tiempo, donde los índices toman los valores 0, 1, 2 o 3 (las letras de uso frecuente incluyen${\displaystyle \mu }$,${\displaystyle \nu }$, etc.),
• El alfabeto latino se utiliza únicamente para componentes espaciales, donde los índices toman los valores 1, 2 o 3 (las letras de uso frecuente son${\displaystyle i}$,${\displaystyle j}$,...),

En general, los índices pueden abarcar cualquier conjunto de indexación , incluido un conjunto infinito . Esto no debe confundirse con una convención tipográficamente similar que se utiliza para distinguir entre la notación de índice tensorial y la notación de índice abstracto independiente de la base, estrechamente relacionada pero distinta .

Un índice sobre el que se realiza una suma es un índice de suma , en este caso "${\displaystyle i}$". También se le llama índice ficticio ya que cualquier símbolo puede reemplazar "${\displaystyle i}$" sin alterar el significado de la expresión (siempre que no entre en conflicto con otros símbolos de índice en el mismo término).

Un índice que no se suma es un índice libre y debe aparecer solo una vez por término. Si aparece dicho índice, generalmente también aparece en todos los demás términos de una ecuación. Un ejemplo de un índice libre es el "${\displaystyle i}$" en la ecuación${\displaystyle v_{i}=a_{i}b_{j}x^{j}}$, lo cual es equivalente a la ecuación${\textstyle v_{i}=\sum _{j}(a_{i}b_{j}x^{j})}$.

La notación de Einstein puede aplicarse de maneras ligeramente diferentes. Normalmente, cada índice aparece una vez en posición superior (superíndice) y una vez en posición inferior (subíndice) en un término; sin embargo, la convención puede aplicarse de forma más general a cualquier índice repetido dentro de un término. ^{[ 2 ]} Al tratar con vectores covariantes y contravariantes , donde la posición de un índice indica el tipo de vector, suele aplicarse el primer caso; un vector covariante solo puede contraerse con un vector contravariante, lo que corresponde a la suma de los productos de los coeficientes. Por otro lado, cuando hay una base de coordenadas fija (o cuando no se consideran vectores de coordenadas), se puede optar por usar solo subíndices; véase §  Superíndices y subíndices frente a solo subíndices más adelante.

En términos de covarianza y contravarianza de vectores ,

• Los índices superiores representan componentes de vectores contravariantes ( vectores ),
• Los índices más bajos representan componentes de vectores covariantes ( covectores ).

Se transforman de forma contravariante o covariante, respectivamente, con respecto al cambio de base .

En reconocimiento de este hecho, la siguiente notación utiliza el mismo símbolo tanto para un vector o covector como para sus componentes , como en: $${\displaystyle {\begin{aligned}v=e_{i}v^{i}={\begin{bmatrix}e_{1}&e_{2}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\\\vdots \\v^{n}\end{bmatrix}}\\w=w_{i}e^{i}={\begin{bmatrix}w_{1}&w_{2}&\cdots &w_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{1}\\e^{2}\\\vdots \\e^{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle v}$es el vector y${\displaystyle v^{i}}$son sus componentes (no el${\displaystyle i}$covector${\displaystyle v}$),${\displaystyle w}$es el covector y${\displaystyle w_{i}}$son sus componentes. Los elementos del vector base${\displaystyle e_{i}}$son cada uno vectores columna y los elementos base de covectores${\displaystyle e^{i}}$son cada uno covectores de fila. (Véase también §  Descripción abstracta ; dualidad , más abajo y los ejemplos )

En presencia de una forma no degenerada (un isomorfismo)${\displaystyle V\to V^{*}}$, por ejemplo, una métrica riemanniana o una métrica de Minkowski ), se pueden subir y bajar índices .

Una base da tal forma (a través de la base dual ), por lo tanto, cuando se trabaja en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Con una métrica euclidiana y una base ortonormal fija , se tiene la opción de trabajar solo con subíndices.

Sin embargo, si se cambian las coordenadas, la forma en que cambian los coeficientes depende de la varianza del objeto, y no se puede ignorar la distinción; véase Covarianza y contravarianza de vectores .

En el ejemplo anterior, los vectores se representan como${\displaystyle n\times 1}$matrices (vectores columna), mientras que los covectores se representan como${\displaystyle 1\times n}$matrices (covectores fila).

Al utilizar la convención de vector columna:

• " Los índices alcistas van de arriba hacia abajo; los índices bajistas van de izquierda a derecha."
• " Los tensores covariantes son vectores fila cuyos índices están por debajo de ( co-fila-inferior )."
• Los covectores son vectores fila:$${\displaystyle {\begin{bmatrix}w_{1}&\cdots &w_{k}\end{bmatrix}}.}$$Por lo tanto, el índice inferior indica en qué columna te encuentras.
• Los vectores contravariantes son vectores columna:$${\displaystyle {\begin{bmatrix}v^{1}\\\vdots \\v^{k}\end{bmatrix}}}$$Por lo tanto, el índice superior indica en qué fila te encuentras.

La ventaja de la notación de Einstein es que representa las cantidades invariantes con una notación sencilla.

En física, un escalar es invariante bajo transformaciones de base. En particular, un escalar de Lorentz es invariante bajo una transformación de Lorentz . Los términos individuales de la suma no lo son. Cuando se cambia la base, las componentes de un vector cambian mediante una transformación lineal descrita por una matriz. Esto llevó a Einstein a proponer la convención de que los índices repetidos implican que se debe realizar la suma.

En cuanto a los covectores, estos cambian según la matriz inversa . Esto está diseñado para garantizar que la función lineal asociada al covector, la suma anterior, sea la misma independientemente de la base.

El valor de la convención de Einstein radica en que se aplica a otros espacios vectoriales construidos a partir de${\displaystyle V}$utilizando el producto tensorial y la dualidad . Por ejemplo,${\displaystyle V\otimes V}$, el producto tensorial de${\displaystyle V}$consigo mismo, tiene una base que consiste en tensores de la forma${\displaystyle \mathbf {e} _{ij}=\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$Cualquier tensor${\displaystyle \mathbf {T} }$en${\displaystyle V\otimes V}$se puede escribir como: $${\displaystyle \mathbf {T} =T^{ij}\mathbf {e} _{ij}.}$$

El espacio doble${\displaystyle V^{*}}$de${\displaystyle V}$tiene una base${\displaystyle \mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\dots ,\mathbf {e} ^{n}}$que obedece la regla $${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{j}^{i}.}$$ dónde${\displaystyle \delta }$es el delta de Kronecker . Como $${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)=V^{*}\otimes W}$$ Las coordenadas de fila/columna en una matriz corresponden a los índices superior/inferior en el producto tensorial.

El producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de sus componentes correspondientes, con los índices de un vector disminuidos (ver #Subir y bajar índices ): $${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\rangle u^{i}v^{j}=u_{j}v^{j}}$$ En el caso de una base ortonormal , tenemos${\displaystyle u^{j}=u_{j}}$y la expresión se simplifica a: $${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\sum _{j}u^{j}v^{j}=u_{j}v^{j}}$$

En tres dimensiones, el producto vectorial de dos vectores con respecto a una base ortonormal orientada positivamente , lo que significa que${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3}}$, puede expresarse como: $${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{\,jk}^{i}u^{j}v^{k}\mathbf {e} _{i}}$$

Aquí,${\displaystyle \varepsilon _{\,jk}^{i}=\varepsilon _{ijk}}$es el símbolo de Levi-Civita . Dado que la base es ortonormal, elevando el índice${\displaystyle i}$no altera el valor de${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$, cuando se trata como un tensor.

El producto de una matriz${\displaystyle A_{ij}}$con un vector columna${\displaystyle v_{j}}$es: $${\displaystyle \mathbf {u} _{i}=(\mathbf {A} \mathbf {v} )_{i}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}v_{j}}$$ equivalente a $${\displaystyle u^{i}={A^{i}}_{j}v^{j}}$$

Este es un caso especial de multiplicación de matrices.

El producto matricial de dos matrices${\displaystyle A_{ij}}$y${\displaystyle B_{jk}}$es: $${\displaystyle \mathbf {C} _{ik}=(\mathbf {A} \mathbf {B} )_{ik}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}B_{jk}}$$

equivalente a $${\displaystyle {C^{i}}_{k}={A^{i}}_{j}{B^{j}}_{k}}$$

Para una matriz cuadrada${\displaystyle {A^{i}}_{j}}$La traza es la suma de los elementos diagonales, por lo tanto, la suma sobre un índice común.${\displaystyle {A^{i}}_{i}}$.

El producto exterior del vector columna${\displaystyle u^{i}}$por el vector fila${\displaystyle v_{j}}$produce un${\displaystyle m\times n}$matriz${\displaystyle \mathbf {A} }$: $${\displaystyle {A^{i}}_{j}=u^{i}v_{j}={(uv)^{i}}_{j}}$$

Desde${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$representan dos índices diferentes , no hay suma y los índices no se eliminan mediante la multiplicación.

Dado un tensor , se puede elevar un índice o disminuir un índice contrayendo el tensor con el tensor métrico .${\displaystyle g_{\mu \nu }}$. Por ejemplo, tomando el tensor${\displaystyle {T^{\alpha }}_{\beta }}$, se puede bajar un índice: $${\displaystyle g_{\mu \sigma }{T^{\sigma }}_{\beta }=T_{\mu \beta }}$$

O se puede elevar un índice: $${\displaystyle g^{\mu \sigma }{T_{\sigma }}^{\alpha }=T^{\mu \alpha }}$$