Base dual

En álgebra lineal , dado un espacio vectorial${\displaystyle V}$con una base${\displaystyle B}$de vectores indexados por un conjunto de índices${\displaystyle I}$(la cardinalidad de${\displaystyle I}$es la dimensión de${\displaystyle V}$), el conjunto dual de${\displaystyle B}$es un conjunto${\displaystyle B^{*}}$de vectores en el espacio dual${\displaystyle V^{*}}$con el mismo conjunto de índices${\displaystyle I}$de tal manera que${\displaystyle B}$y${\displaystyle B^{*}}$forman un sistema biorthogonal . El conjunto dual es siempre linealmente independiente , pero no necesariamente abarca${\displaystyle V^{*}}$Si lo hace, abarca${\displaystyle V^{*}}$, entonces${\displaystyle B^{*}}$se denomina base dual o base recíproca para la base${\displaystyle B}$.

Denotando los conjuntos de vectores indexados como${\displaystyle B=\{v_{i}\}_{i\in I}}$y${\displaystyle B^{*}=\{v^{i}\}_{i\in I}}$, ser biorthogonal significa que los pares de elementos tienen un producto interno igual a 1 si los índices son iguales, e igual a 0 en caso contrario. Simbólicamente, evaluar un vector dual en${\displaystyle V^{*}}$sobre un vector en el espacio original${\displaystyle V}$:

${\displaystyle v^{i}\cdot v_{j}=\delta _{j}^{i}={\begin{cases}1&{\text{if }}i=j\\0&{\text{if }}i\neq j{\text{,}}\end{cases}}}$

dónde${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$es el símbolo del delta de Kronecker .

Para realizar operaciones con un vector, debemos tener un método sencillo para calcular sus componentes. En un sistema de coordenadas cartesianas, la operación necesaria es el producto escalar del vector y el vector base. ^{[ 1 ]} Por ejemplo,

${\displaystyle \mathbf {x} =x^{1}\mathbf {i} _{1}+x^{2}\mathbf {i} _{2}+x^{3}\mathbf {i} _{3}}$

dónde${\displaystyle \{\mathbf {i} _{1},\mathbf {i} _{2},\mathbf {i} _{3}\}}$es la base en un marco cartesiano. Los componentes de${\displaystyle \mathbf {x} }$se puede encontrar por

${\displaystyle x^{k}=\mathbf {x} \cdot \mathbf {i} _{k}.}$

Sin embargo, en un marco no cartesiano, no necesariamente tenemos${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0}$a pesar de${\displaystyle i\neq j}$Sin embargo, siempre es posible encontrar vectores.${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}}$en el espacio dual de tal manera que

${\displaystyle x^{i}=\mathbf {e} ^{i}(\mathbf {x} )\qquad (i=1,2,3).}$

La igualdad se mantiene cuando el${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}}$s son la base dual de${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$s. Observe la diferencia en la posición del índice.${\displaystyle i}$.

El conjunto dual siempre existe y proporciona una inyección de V en V ^∗ , es decir, la aplicación que envía v _i a v ⁱ . Esto dice, en particular, que el espacio dual tiene una dimensión mayor o igual a la de V .

Sin embargo, el conjunto dual de un espacio V de dimensión infinita no abarca su espacio dual V ^∗ . Por ejemplo, consideremos la aplicación w en V ^∗ de V a los escalares subyacentes F dada por w ( v _i ) = 1 para todo i . Esta aplicación es claramente distinta de cero en todos los v _i . Si w fuera una combinación lineal finita de los vectores base duales v ⁱ , digamos${\textstyle w=\sum _{i\in K}\alpha _{i}v^{i}}$para un subconjunto finito K de I , entonces para cualquier j que no esté en K ,${\textstyle w(v_{j})=\left(\sum _{i\in K}\alpha _{i}v^{i}\right)\left(v_{j}\right)=0}$, lo cual contradice la definición de w . Por lo tanto, este w no se encuentra en el espacio generado por el conjunto dual.

El espacio dual de un espacio de dimensión infinita tiene mayor dimensión (lo que implica una cardinalidad infinita mayor) que el espacio original, por lo que no pueden tener una base con el mismo conjunto de índices. Sin embargo, existe un conjunto dual de vectores que define un subespacio del dual isomorfo al espacio original. Además, para espacios vectoriales topológicos , se puede definir un espacio dual continuo , en cuyo caso puede existir una base dual.

Otra forma de introducir el espacio dual de un espacio vectorial ( módulo ) es introduciéndolo en un sentido categórico. Para ello, sea${\displaystyle A}$ser un módulo definido sobre el anillo${\displaystyle R}$(eso es,${\displaystyle A}$es un objeto de la categoría${\displaystyle R{\text{-}}\mathbf {Mod} }$). Luego definimos el espacio dual de${\displaystyle A}$, denotado${\displaystyle A^{\ast }}$, ser${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A,R)}$, el módulo formado por todos${\displaystyle R}$-homomorfismos de módulos lineales de${\displaystyle A}$en${\displaystyle R}$. Nótese entonces que podemos definir un dual del dual, denominado doble dual de${\displaystyle A}$, escrito como${\displaystyle A^{\ast \ast }}$y definido como${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A^{\ast },R)}$.

Para construir formalmente una base para el espacio dual, ahora restringiremos nuestra visión al caso en el que${\displaystyle F}$es un libre de dimensión finita (izquierda)${\displaystyle R}$-módulo, donde${\displaystyle R}$es un anillo con unidad. Entonces, asumimos que el conjunto${\displaystyle X}$es una base para${\displaystyle F}$A partir de aquí, definimos la función delta de Kronecker.${\displaystyle \delta _{xy}}$sobre la base${\displaystyle X}$por${\displaystyle \delta _{xy}=1}$si${\displaystyle x=y}$y${\displaystyle \delta _{xy}=0}$si${\displaystyle x\neq y}$. Luego el conjunto${\displaystyle S=\lbrace f_{x}:F\to R\;|\;f_{x}(y)=\delta _{xy}\rbrace }$describe un conjunto linealmente independiente con cada${\displaystyle f_{x}\in {\text{Hom}}_{R}(F,R)}$. Desde${\displaystyle F}$es de dimensión finita, la base${\displaystyle X}$es de cardinalidad finita. Entonces, el conjunto${\displaystyle S}$es una base para${\displaystyle F^{\ast }}$y${\displaystyle F^{\ast }}$es un derecho libre${\displaystyle R}$-módulo.

Por ejemplo, los vectores base estándar de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$(el plano cartesiano ) son

${\displaystyle \left\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}}$

y los vectores base estándar de su espacio dual${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2})^{*}}$son

${\displaystyle \left\{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}\right\}{\text{.}}}$

En el espacio euclidiano tridimensional , para una base dada${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}}$, la base biorthogonal (dual)${\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\mathbf {e} ^{3}\}}$Se pueden encontrar mediante las siguientes fórmulas:

${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}=\left({\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{V}}\right)^{\mathsf {T}},\ \mathbf {e} ^{2}=\left({\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{V}}\right)^{\mathsf {T}},\ \mathbf {e} ^{3}=\left({\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{V}}\right)^{\mathsf {T}}.}$

donde ^T denota la transpuesta y

${\displaystyle V\,=\,\left(\mathbf {e} _{1};\mathbf {e} _{2};\mathbf {e} _{3}\right)\,=\,\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})\,=\,\mathbf {e} _{2}\cdot (\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1})\,=\,\mathbf {e} _{3}\cdot (\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2})}$

es el volumen del paralelepípedo formado por los vectores base${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\,\mathbf {e} _{2}}$y${\displaystyle \mathbf {e} _{3}.}$

En general, la base dual de una base en un espacio vectorial de dimensión finita se puede calcular fácilmente de la siguiente manera: dada la base${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$y base dual correspondiente${\displaystyle f^{1},\ldots ,f^{n}}$podemos construir matrices

${\displaystyle {\begin{aligned}F&={\begin{bmatrix}f_{1}&\cdots &f_{n}\end{bmatrix}}\\G&={\begin{bmatrix}f^{1}&\cdots &f^{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Entonces, la propiedad definitoria de la base dual establece que

${\displaystyle G^{\mathsf {T}}F=I}$

Por lo tanto, la matriz para la base dual${\displaystyle G}$se puede calcular como

${\displaystyle G=\left(F^{-1}\right)^{\mathsf {T}}}$

• Red recíproca
• Índice de Miller
• Eje de zona

• Lebedev, Leonid P.; Cloud, Michael J.; Eremeyev, Victor A. (2010). Análisis tensorial con aplicaciones a la mecánica . World Scientific. ISBN 978-981431312-4.
• "Encontrando la base dual" . Stack Exchange . 27 de mayo de 2012.