Notación DeWitt

La física a menudo trata con modelos clásicos donde las variables dinámicas son una colección de funciones { φ ^α } _α sobre una variedad de espacio/espacio-tiempo M de dimensión d, donde α es el índice de " sabor ". Esto involucra funcionales sobre los φ' s, derivadas funcionales , integrales funcionales , etc. Desde un punto de vista funcional, esto es equivalente a trabajar con una variedad lisa de dimensión infinita donde sus puntos son una asignación de una función para cada α , y el procedimiento es análogo a la geometría diferencial donde las coordenadas para un punto x de la variedad M son φ ^α ( x ).

En la notación DeWitt (llamada así en honor al físico teórico Bryce DeWitt ), φ ^α ( x ) se escribe como φ ^i, donde i ahora se entiende como un índice que cubre tanto a α como a x .

Entonces, dado un funcional suave A , A _{, i} representa la derivada funcional

${\displaystyle A_{,i}[\varphi ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\delta }{\delta \varphi ^{\alpha }(x)}} A[\varphi]}$

como funcional de φ . En otras palabras, un campo de " 1-forma " sobre la "variedad funcional" de dimensión infinita.

En las integrales, se utiliza la convención de suma de Einstein . Alternativamente,

${\displaystyle A^{i}B_{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{M}\sum _{\alpha }A^{\alpha }(x)B_{\alpha }(x)d^{d}x}$

• Kiefer, Claus (abril de 2007). Gravedad cuántica (tapa dura) (2.ª ed.). Oxford University Press. pág. 361. ISBN 978-0-19-921252-1.