Integración funcional

La integración funcional es un conjunto de resultados en matemáticas y física donde el dominio de una integral ya no es una región ordinaria del espacio, sino un espacio de funciones . Las integrales funcionales aparecen en probabilidad , en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales y en la formulación de la integral de trayectoria en la mecánica cuántica de partículas y campos. Si bien el término sugiere una extensión de la integración ordinaria, la falta de una medida invariante bajo traslaciones en espacios de dimensión infinita implica que las integrales funcionales deben definirse mediante métodos más sutiles o interpretarse formalmente.

En una integral ordinaria (en el sentido de la integración de Lebesgue ), existe una función que se integra (el integrando) y una región del espacio sobre la cual se integra (el dominio de integración). La integral representa el límite de una suma obtenida al dividir la región en partes más pequeñas, evaluar la función en cada una y sumar los resultados. Para cada región pequeña, el valor del integrando no puede variar mucho, por lo que puede reemplazarse por un único valor. En una integral funcional, el dominio de integración es un espacio de funciones. Para cada función, el integrando devuelve un valor que se suma. Hacer que este procedimiento sea riguroso plantea desafíos que siguen siendo objeto de investigación actual.

La integración funcional fue desarrollada por Percy John Daniell en un artículo de 1919 ^{[ 1 ]} y Norbert Wiener en una serie de estudios que culminaron en sus artículos de 1921 sobre el movimiento browniano . Desarrollaron un método riguroso (ahora conocido como la medida de Wiener ) para asignar una probabilidad a la trayectoria aleatoria de una partícula. Richard Feynman desarrolló otra integral funcional, la integral de trayectoria , útil para calcular las propiedades cuánticas de los sistemas. En la integral de trayectoria de Feynman, la noción clásica de una trayectoria única para una partícula se reemplaza por una suma infinita de trayectorias clásicas, cada una ponderada de manera diferente según sus propiedades clásicas.

La integración funcional es fundamental para las técnicas de cuantización en física teórica. Las propiedades algebraicas de las integrales funcionales se utilizan para desarrollar series que se emplean para calcular propiedades en electrodinámica cuántica y el Modelo Estándar de la física de partículas.

Mientras que la integración de Riemann estándar suma una función f ( x ) sobre un rango continuo de valores de x , la integración funcional suma un funcional G [ f ], que puede considerarse como una "función de una función" sobre un rango (o espacio) continuo de funciones f . La mayoría de las integrales funcionales no pueden evaluarse exactamente, sino que deben evaluarse utilizando métodos de perturbación . La definición formal de una integral funcional es $${\displaystyle \int G[f]\;{\mathcal {D}}[f]\equiv \int _{\mathbb {R} }\cdots \int _{\mathbb {R} }G[f]\prod _{x}df(x)\;.}$$Sin embargo, en la mayoría de los casos las funciones f ( x ) se pueden escribir en términos de una serie infinita de funciones ortogonales como${\displaystyle f(x)=f_{n}H_{n}(x)}$y entonces la definición se convierte en $${\displaystyle \int G[f]\;{\mathcal {D}}[f]\equiv \int _{\mathbb {R} }\cdots \int _{\mathbb {R} }G(f_{1};f_{2};\ldots )\prod _{n}df_{n}\;,}$$lo cual es un poco más comprensible. Se demuestra que la integral es una integral funcional con mayúscula.${\displaystyle {\mathcal {D}}}$A veces el argumento se escribe entre corchetes.${\displaystyle {\mathcal {D}}[f]}$, para indicar la dependencia funcional de la función en la medida de integración funcional. ^{[ 2 ]}

La mayoría de las integrales funcionales son en realidad infinitas, pero a menudo el límite del cociente de dos integrales funcionales relacionadas puede ser finito. Las integrales funcionales que se pueden evaluar exactamente suelen comenzar con la siguiente integral gaussiana :

${\displaystyle {\frac {\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left[\int _{\mathbb {R} }f(x)K(x;y)f(y)\,dy+J(x)f(x)\right]dx\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}{\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}}=\exp \left\lbrace {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}J(x)\cdot K^{-1}(x;y)\cdot J(y)\,dx\,dy\right\rbrace \,,}$

en el cual${\displaystyle K(x;y)=K(y;x)}$Al diferenciar funcionalmente esto con respecto a J ( x ) y luego igualarlo a 0, se convierte en una exponencial multiplicada por un monomio en f . Para ver esto, usemos la siguiente notación:

${\displaystyle G[f,J]=-{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left[\int _{\mathbb {R} }f(x)K(x;y)f(y)\,dy+J(x)f(x)\right]dx\,\quad ,\quad W[J]=\int \exp \lbrace G[f,J]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;.}$

Con esta notación, la primera ecuación se puede escribir como:

${\displaystyle {\dfrac {W[J]}{W[0]}}=\exp \left\lbrace {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}J(x)K^{-1}(x;y)J(y)\,dx\,dy\right\rbrace .}$

Ahora, llevando las derivadas funcionales a la definición de${\displaystyle W[J]}$y luego evaluando en${\displaystyle J=0}$, se obtiene:

${\displaystyle {\dfrac {\delta }{\delta J(a)}}W[J]{\Bigg |}_{J=0}=\int f(a)\exp \lbrace G[f,0]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;,}$

${\displaystyle {\dfrac {\delta ^{2}W[J]}{\delta J(a)\delta J(b)}}{\Bigg |}_{J=0}=\int f(a)f(b)\exp \lbrace G[f,0]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;,}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \vdots }$

que es el resultado previsto. Además, utilizando la primera ecuación se llega al resultado útil:

${\displaystyle {\dfrac {\delta ^{2}}{\delta J(a)\delta J(b)}}\left({\dfrac {W[J]}{W[0]}}\right){\Bigg |}_{J=0}=K^{-1}(a;b)\;;}$

Al juntar estos resultados y volver a la notación original, tenemos:

${\displaystyle {\frac {\displaystyle \int f(a)f(b)\exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}{\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}}=K^{-1}(a;b)\,.}$

Otra integral útil es la función delta funcional :

${\displaystyle \int \exp \left\lbrace \int _{\mathbb {R} }f(x)g(x)dx\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]=\delta [g]=\prod _{x}\delta {\big (}g(x){\big )},}$

lo cual es útil para especificar restricciones. Las integrales funcionales también se pueden realizar sobre funciones con valores de Grassmann.${\displaystyle \psi (x)}$, dónde${\displaystyle \psi (x)\psi (y)=-\psi (y)\psi (x)}$, lo cual es útil en electrodinámica cuántica para cálculos que involucran fermiones .

Las integrales funcionales, donde el espacio de integración consiste en trayectorias ( ν = 1), pueden definirse de diversas maneras. Estas definiciones se dividen en dos clases: las construcciones derivadas de la teoría de Wiener dan como resultado una integral basada en una medida , mientras que las construcciones que siguen la integral de trayectoria de Feynman no. Incluso dentro de estas dos grandes divisiones, las integrales no son idénticas; es decir, se definen de manera diferente para distintas clases de funciones.

• Integral de trayectoria de Feynman
• Función de partición (teoría cuántica de campos)
• aproximación del punto de silla

• Jean Zinn-Justin (2009), Scholarpedia 4 (2):8674 .
• Kleinert, Hagen , Integrales de trayectoria en mecánica cuántica, estadística, física de polímeros y mercados financieros , 4.ª edición, World Scientific (Singapur, 2004); ISBN de tapa blanda 981-238-107-4(También disponible en línea: archivos PDF )
• Laskin, Nick (2000). "Mecánica cuántica fraccionaria". Physical Review E . 62 (3): 3135– 3145. arXiv : 0811.1769 . Bibcode : 2000PhRvE..62.3135L . doi : 10.1103/PhysRevE.62.3135 . PMID 11088808 . S2CID 15480739 .  
• Laskin, Nick (2002). "Ecuación de Schrödinger fraccionaria". Physical Review E . 66 (5) 056108. arXiv : quant-ph/0206098 . Bibcode : 2002PhRvE..66e6108L . doi : 10.1103/PhysRevE.66.056108 . PMID 12513557 . S2CID 7520956 .  
• Minlos, RA (2001) [1994], "Integral sobre trayectorias" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• OG Smolyanov, ET Shavgulidze. Integrales continuas . Moscú, Editorial de la Universidad Estatal de Moscú, 1990. (en ruso). http://lib.mexmat.ru/books/5132
• Victor Popov , Integrales funcionales en la teoría cuántica de campos y la física estadística, Springer, 1983
• Sergio Albeverio , Sonia Mazzucchi, Un enfoque unificado para la integración de dimensión infinita, Reviews in Mathematical Physics, 28, 1650005 (2016)
• Klauder, John . " Conferencias sobre integración funcional ". Universidad de Florida. Archivado el 8 de julio de 2024.