Base holonómica

En matemáticas y física matemática , una base de coordenadas o base holonómica para una variedad diferenciable $M$ es un conjunto de campos vectoriales base ${$ $e$ $1$ $, ...,$ $e$ $n$ $}$ definidos en cada punto $P$ de una región de la variedad como

\mathbf {e} _{\alpha }=\lim _{\delta x^{\alpha }\to 0}{\frac {\delta \mathbf {s} }{\delta x^{\alpha }}},

donde $δ s$ es el vector de desplazamiento entre el punto $P$ y un punto cercano $Q$ cuya separación de coordenadas desde $P$ es $δx α$ a lo largo de la curva de coordenadas $x α$ (es decir, la curva en la variedad que pasa por $P$ para la cual la coordenada local $x α$ varía y todas las demás coordenadas son constantes). ^[1]

Es posible hacer una asociación entre dicha base y los operadores derivados direccionales. Dada una curva parametrizada $C$ en la variedad definida por $x α (λ)$ con el vector tangente $u = u α e α$ , donde $u α = ⁠ dxα / dλ ⁠$ , y una función $f (x α)$ definida en un entorno de $C$ , la variación de $f$ a lo largo $de C$ se puede escribir como

{\frac {df}{d\lambda }}={\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}{\frac {\parcial f}{\parcial x^{\alpha }}}=u^{\alpha }{\frac {\parcial }{\parcial x^{\alpha }}}f.

Como tenemos que $u = u α e α$ , la identificación se hace a menudo entre un vector base de coordenadas $e α$ y el operador de derivada parcial $⁠$ $\partial / \partial x α ⁠$ , bajo la interpretación de los vectores como operadores que actúan sobre funciones.^[2]

Una condición local para que una base ${e 1, ..., e n}$ sea holonómica es que todas las derivadas de Lie mutuas se anulen: ^[3]

\left[\mathbf {e} _{\alpha },\mathbf {e} _{\beta }\right]={\mathcal {L}}_{\mathbf {e} _{\alpha } }\mathbf {e} _{\beta }=0.

Una base que no es holonómica se denomina base anholonómica, ^[4] no holonómica o no coordinada.

Dado un tensor métrico $g$ en una variedad $M$ , en general no es posible encontrar una base de coordenadas que sea ortonormal en cualquier región abierta $U$ de $M$ . ^[5] Una excepción obvia es cuando $M$ es el espacio de coordenadas real $R$ $n$ considerado como una variedad con $g$ siendo la métrica euclidiana $δ$ $ij$ $e$ $i$ $\otimes$ $e$ $j$ en cada punto.

Referencias

^ MP Hobson; GP Efstathiou; AN Lasenby (2006), Relatividad general: una introducción para físicos , Cambridge University Press , pág. 57
^ T. Padmanabhan (2010), Gravitación: fundamentos y fronteras , Cambridge University Press , pág. 25
^ Roger Penrose; Wolfgang Rindler, Spinors and Space–Time: Volume 1, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields (Espinores y espacio-tiempo: volumen 1, cálculo de dos espinores y campos relativistas) , Cambridge University Press , págs. 197-199
^ Charles W. Misner; Kip S. Thorne; John Archibald Wheeler (1970), Gravitación , pág. 210
^ Bernard F. Schutz (1980), Métodos geométricos de la física matemática , Cambridge University Press , págs. 47-49, ISBN 978-0-521-29887-2

Véase también

[1] MP Hobson; GP Efstathiou; AN Lasenby (2006), Relatividad general: una introducción para físicos , Cambridge University Press , pág. 57

[2] T. Padmanabhan (2010), Gravitación: fundamentos y fronteras , Cambridge University Press , pág. 25

[3] Roger Penrose; Wolfgang Rindler, Spinors and Space–Time: Volume 1, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields (Espinores y espacio-tiempo: volumen 1, cálculo de dos espinores y campos relativistas) , Cambridge University Press , págs. 197-199

[4] Charles W. Misner; Kip S. Thorne; John Archibald Wheeler (1970), Gravitación , pág. 210

[5] Bernard F. Schutz (1980), Métodos geométricos de la física matemática , Cambridge University Press , págs. 47-49, ISBN 978-0-521-29887-2