Vector nulo

En matemáticas , dado un espacio vectorial X con una forma cuadrática asociada q , escrita ( X , q ) , un vector nulo o vector isótropo es un elemento distinto de cero x de X para el cual q ( x ) = 0 .

En la teoría de formas bilineales reales , las formas cuadráticas definidas y las formas cuadráticas isótropas son distintas. Se distinguen en que sólo para estas últimas existe un vector nulo distinto de cero.

Un espacio cuadrático ( X , q ) que tiene un vector nulo se denomina espacio pseudoeuclidiano . El término vector isótropo v cuando q ( v ) = 0 se ha utilizado en espacios cuadráticos, ^[1] y espacio anisotrópico para un espacio cuadrático sin vectores nulos.

Un espacio vectorial pseudoeuclidiano se puede descomponer (de forma no unívoca) en subespacios ortogonales A y B , X = A + B , donde q es definida positiva en A y definida negativa en B. El cono nulo , o cono isótropo , de X consiste en la unión de esferas equilibradas: El cono nulo es también la unión de las líneas isótropas a través del origen. $${\displaystyle \bigcup _{r\geq 0}\{x=a+b:q(a)=-q(b)=r,\ \ a,b\in B\}.}$$

Un álgebra de composición con un vector nulo es un álgebra dividida . ^[2]

En un álgebra de composición ( A , +, ×, *), la forma cuadrática es q( x ) = xx *. Cuando x es un vector nulo, entonces no hay inverso multiplicativo para x y, dado que x ≠ 0, A no es un álgebra de división .

En la construcción de Cayley–Dickson , las álgebras desdobladas surgen en las series de números bicomplejos , bicuaterniones y bioctoniones , que utilizan el cuerpo de números complejos como base de esta construcción de duplicación debido a LE Dickson (1919). En particular, estas álgebras tienen dos unidades imaginarias , que conmutan, de modo que su producto, cuando se eleva al cuadrado, da +1: ${\displaystyle \mathbb {C}}$

${\displaystyle (hi)^{2}=h^{2}i^{2}=(-1)(-1)=+1.}$Entonces

${\displaystyle (1+hola)(1+hola)^{*}=(1+hola)(1-hola)=1-(hola)^{2}=0}$Entonces 1 + hi es un vector nulo.

Las subálgebras reales, los números complejos divididos , los cuaterniones divididos y los octoniones divididos , con sus conos nulos que representan el seguimiento de la luz dentro y fuera de 0 ∈ A , sugieren una topología del espacio-tiempo .

Los vectores similares a la luz del espacio de Minkowski son vectores nulos.

Los cuatro biquaterniones linealmente independientes l = 1 + hi , n = 1 + hj , m = 1 + hk y m ^∗ = 1 – hk son vectores nulos y { l , n , m , m ^∗ } puede servir como base para el subespacio utilizado para representar el espacio-tiempo . Los vectores nulos también se utilizan en el enfoque del formalismo de Newman-Penrose para las variedades del espacio-tiempo. ^[3]

En el módulo Verma de un álgebra de Lie hay vectores nulos.

• Dubrovin, BA; Fomenko, AT ; Novikov, SP (1984). Geometría moderna: métodos y aplicaciones . Traducido por Burns, Robert G. Springer. pág. 50. ISBN 0-387-90872-2.
• Shaw, Ronald (1982). Álgebra lineal y representaciones grupales. Vol. 1. Academic Press . pág. 151. ISBN 0-12-639201-3.
• Neville, EH (Eric Harold) (1922). Prolegómenos a la geometría analítica en el espacio euclidiano anisotrópico de tres dimensiones. Cambridge University Press . p. 204.