Módulo Verma

Los módulos de Verma , que reciben su nombre de Daya-Nand Verma , son objetos de la teoría de la representación de las álgebras de Lie , una rama de las matemáticas .

Los módulos de Verma pueden utilizarse en la clasificación de representaciones irreducibles de un álgebra de Lie semisimple compleja. Específicamente, aunque los módulos de Verma en sí mismos son de dimensión infinita, sus cocientes pueden utilizarse para construir representaciones de dimensión finita con el mayor peso , donde es dominante e integral. ^{[ 1 ]} Sus homomorfismos corresponden a operadores diferenciales invariantes sobre variedades de banderas . ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

Podemos explicar la idea de un módulo de Verma de la siguiente manera. ^{[ 2 ]} Sea un álgebra de Lie semisimple (sobre , para simplificar). Sea una subálgebra de Cartan fija de y sea el sistema de raíces asociado. Sea un conjunto fijo de raíces positivas. Para cada , elija un elemento no nulo para el espacio de raíces correspondiente y un elemento no nulo en el espacio de raíces . Pensamos en los como "operadores de elevación" y en los como "operadores de descenso". ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{+}}$${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$${\displaystyle X_{\alpha }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$${\displaystyle Y_{\alpha }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$${\displaystyle X_{\alpha }}$${\displaystyle Y_{\alpha }}$

Ahora sea un funcional lineal arbitrario, no necesariamente dominante o integral. Nuestro objetivo es construir una representación de con peso máximo que sea generada por un único vector no nulo con peso . El módulo de Verma es un módulo particular de peso máximo, uno que es maximal en el sentido de que todo otro módulo de peso máximo con peso máximo es un cociente del módulo de Verma. Resultará que los módulos de Verma son siempre de dimensión infinita; sin embargo, si es integral dominante, se puede construir un módulo cociente de dimensión finita del módulo de Verma. Por lo tanto, los módulos de Verma juegan un papel importante en la clasificación de representaciones de dimensión finita de . Específicamente, son una herramienta importante en la parte difícil del teorema del peso máximo , a saber, demostrar que todo elemento integral dominante surge en realidad como el peso máximo de una representación irreducible de dimensión finita de . ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle W_{\lambda }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle v}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Ahora intentaremos comprender intuitivamente cómo debería ser el módulo de Verma con el peso más alto. Dado que debe ser un vector de peso más alto con peso , ciertamente queremos ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle v}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle H\cdot v=\lambda (H)v,\quad H\in {\mathfrak {h}}}$

y

${\displaystyle X_{\alpha }\cdot v=0,\quad \alpha \in R^{+}}$.

Entonces debería estar cubierto por elementos obtenidos al descender por la acción de los 's: ${\displaystyle W_{\lambda }}$${\displaystyle v}$${\displaystyle Y_{\alpha }}$

${\displaystyle Y_{\alpha _{i_{1}}}\cdots Y_{\alpha _{i_{M}}}\cdot v}$.

Ahora imponemos únicamente aquellas relaciones entre vectores de la forma anterior requeridas por las relaciones de conmutación entre los . En particular, el módulo de Verma siempre es de dimensión infinita. Los pesos del módulo de Verma con el peso más alto consistirán en todos los elementos que se pueden obtener de restando combinaciones enteras de raíces positivas. La figura muestra los pesos de un módulo de Verma para . ${\displaystyle Y}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )}$

Un argumento de reordenamiento simple muestra que solo hay una forma posible en que el álgebra de Lie completa puede actuar sobre este espacio. Específicamente, si es cualquier elemento de , entonces por la parte sencilla del teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt , podemos reescribir ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle ZY_{\alpha _{i_{1}}}\cdots Y_{\alpha _{i_{M}}}}$

como una combinación lineal de productos de elementos del álgebra de Lie, donde primero actúan los operadores de elevación, luego los elementos de la subálgebra de Cartan y, finalmente, los operadores de descenso . Al aplicar esta suma de términos a , cualquier término con un operador de elevación es cero, cualquier factor en la subálgebra de Cartan actúa como escalar y, por lo tanto, obtenemos un elemento de la forma original. ${\displaystyle X_{\alpha }}$${\displaystyle Y_{\alpha }}$${\displaystyle v}$

Para comprender mejor la estructura del módulo de Verma, podemos elegir un ordenamiento de las raíces positivas como y denotamos los operadores de descenso correspondientes por . Entonces, mediante un simple argumento de reordenamiento, cada elemento de la forma anterior puede reescribirse como una combinación lineal de elementos con los en un orden específico: ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$${\displaystyle Y_{1},\ldots Y_{n}}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y_{1}^{k_{1}}\cdots Y_{n}^{k_{n}}v}$,

donde los son enteros no negativos. De hecho, resulta que dichos vectores forman una base para el módulo de Verma. ${\displaystyle k_{j}}$

Aunque esta descripción del módulo de Verma ofrece una idea intuitiva de su apariencia, aún queda por dar una construcción rigurosa del mismo. En cualquier caso, el módulo de Verma proporciona —para cualquier , no necesariamente dominante o integral— una representación con el peso máximo . El precio que pagamos por esta construcción relativamente simple es que siempre es de dimensión infinita. En el caso de que sea dominante e integral, se puede construir un cociente irreducible de dimensión finita del módulo de Verma. ^{[ 3 ]}${\displaystyle W_{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle W_{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$

Sea la base habitual para : ${\displaystyle {X,Y,H}}$${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\qquad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}~,}$

donde la subálgebra de Cartan es el espacio generado por . Sea definido por para un número complejo arbitrario . Entonces, el módulo de Verma con el peso más alto está generado por vectores linealmente independientes y la acción de los elementos de la base es la siguiente: ^{[ 4 ]}${\displaystyle H}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda (H)=m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle v_{0},v_{1},v_{2},\dots }$

${\displaystyle Y\cdot v_{j}=v_{j+1};\quad X\cdot v_{j}=j(m-(j-1))v_{j-1};\quad H\cdot v_{j}=(m-2j)v_{j}}$.

(Esto significa en particular que y que .) Estas fórmulas están motivadas por la forma en que los elementos base actúan en las representaciones de dimensión finita de , excepto que ya no requerimos que la "cadena" de autovectores para tenga que terminar. ${\displaystyle H\cdot v_{0}=mv_{0}}$${\displaystyle X\cdot v_{0}=0}$${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$${\displaystyle H}$

En esta construcción, es un número complejo arbitrario , no necesariamente real, positivo o entero. Sin embargo, el caso en que es un entero no negativo es especial. En ese caso, se ve fácilmente que el espacio generado por los vectores es invariante, porque . El módulo cociente es entonces la representación irreducible de dimensión finita de dimensión${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle v_{m+1},v_{m+2},\ldots }$${\displaystyle X\cdot v_{m+1}=0}$${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$${\displaystyle m+1.}$

Hay dos construcciones estándar del módulo de Verma, ambas involucran el concepto de álgebra envolvente universal . Continuamos con la notación de la sección anterior: es un álgebra de Lie semisimple compleja, es una subálgebra de Cartan fija, es el sistema de raíces asociado con un conjunto fijo de raíces positivas. Para cada , elegimos elementos distintos de cero y . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{+}}$${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$${\displaystyle X_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$${\displaystyle Y_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$

La primera construcción ^{[ 5 ]} del módulo de Verma es un cociente del álgebra envolvente universal de . Dado que se supone que el módulo de Verma es un -módulo, también será un -módulo, por la propiedad universal del álgebra envolvente. Por lo tanto, si tenemos un módulo de Verma con vector de peso máximo , habrá una aplicación lineal de en dada por ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle W_{\lambda }}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle W_{\lambda }}$

${\displaystyle \Phi (x)=x\cdot v,\quad x\in U({\mathfrak {g}})}$.

Dado que se supone que es generado por , el mapa debe ser sobreyectivo. Dado que se supone que es un vector de peso máximo, el núcleo de debe incluir todos los vectores raíz para en . Dado que, además, se supone que es un vector de peso con peso , el núcleo de debe incluir todos los vectores de la forma ${\displaystyle W_{\lambda }}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle v}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle X_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle R^{+}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle H-\lambda (H)1,\quad H\in {\mathfrak {h}}}$.

Finalmente, el núcleo de debería ser un ideal izquierdo en ; después de todo, si entonces para todo . ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle x\cdot v=0}$${\displaystyle (yx)\cdot v=y\cdot (x\cdot v)=0}$${\displaystyle y\in U({\mathfrak {g}})}$

La discusión anterior motiva la siguiente construcción del módulo de Verma. Definimos como el espacio vectorial cociente ${\displaystyle W_{\lambda }}$

${\displaystyle W_{\lambda }=U({\mathfrak {g}})/I_{\lambda }}$,

donde es el ideal izquierdo generado por todos los elementos de la forma ${\displaystyle I_{\lambda }}$

${\displaystyle X_{\alpha },\quad \alpha \in R^{+},}$

y

${\displaystyle H-\lambda (H)1,\quad H\in {\mathfrak {h}}}$.

Como es un ideal izquierdo, la acción izquierda natural de sobre sí mismo se extiende al cociente. Por lo tanto, es un -módulo y, en consecuencia, también un -módulo. ${\displaystyle I_{\lambda }}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle W_{\lambda }}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

El procedimiento de " extensión de escalares " es un método para transformar un módulo izquierdo sobre un álgebra (no necesariamente conmutativa) en un módulo izquierdo sobre un álgebra mayor que contiene como subálgebra. Podemos pensar en como un -módulo derecho , donde actúa sobre mediante multiplicación por la derecha. Dado que es un -módulo izquierdo y es un -módulo derecho, podemos formar el producto tensorial de ambos sobre el álgebra : ${\displaystyle V}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{1}}$

${\displaystyle A_{2}\otimes _{A_{1}}V}$.

Ahora bien, dado que es un -módulo izquierdo sobre sí mismo, el producto tensorial anterior posee una estructura de módulo izquierdo sobre el álgebra más grande , determinada unívocamente por el requisito de que ${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A_{2}}$

${\displaystyle a_{1}\cdot (a_{2}\otimes v)=(a_{1}a_{2})\otimes v}$

para todo y en . Por lo tanto, partiendo del -módulo izquierdo , hemos producido un -módulo izquierdo . ${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A_{2}\otimes _{A_{1}}V}$

Ahora aplicamos esta construcción en el contexto de un álgebra de Lie semisimple. Sea la subálgebra de generada por y los vectores raíz con . (Por lo tanto, es una " subálgebra de Borel " de ). Podemos formar un módulo izquierdo sobre el álgebra envolvente universal de la siguiente manera: ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle X_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle F_{\lambda }}$${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$

• ${\displaystyle F_{\lambda }}$es el espacio vectorial unidimensional generado por un único vector junto con una estructura de -módulo tal que actúa como una multiplicación por y los espacios de raíces positivas actúan trivialmente:${\displaystyle v}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \quad H\cdot v=\lambda (H)v,\quad H\in {\mathfrak {h}};\quad X_{\alpha }\cdot v=0,\quad \alpha \in R^{+}}$.

La motivación de esta fórmula es que describe cómo se supone que debe actuar sobre el vector de mayor peso en un módulo de Verma. ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$

Ahora bien, del teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt se deduce que es una subálgebra de . Por lo tanto, podemos aplicar la técnica de extensión de escalares para convertir de un -módulo izquierdo a un -módulo izquierdo de la siguiente manera: ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle F_{\lambda }}$${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle W_{\lambda }}$

${\displaystyle W_{\lambda }:=U({\mathfrak {g}})\otimes _{U({\mathfrak {b}})}F_{\lambda }}$.

Dado que es un módulo izquierdo, es, en particular, un módulo (representación) para . ${\displaystyle W_{\lambda }}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Cualquiera que sea la construcción del módulo de Verma que se utilice, hay que demostrar que no es trivial, es decir, que no es el módulo cero. De hecho, es posible utilizar el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt para demostrar que el espacio vectorial subyacente de es isomorfo a ${\displaystyle W_{\lambda }}$

${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{-})}$

donde es la subálgebra de Lie generada por los espacios de raíces negativas de (es decir, los 's). ^{[ 6 ]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle Y_{\alpha }}$

Los módulos de Verma, considerados como módulos - , son módulos de peso máximo , es decir, se generan mediante un vector de peso máximo . Este vector de peso máximo es (el primero es la unidad en y el segundo es la unidad en el campo , considerado como el módulo - ) y tiene peso . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle 1\otimes 1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle F_{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$

Los módulos de Verma son módulos de peso , es decir, es una suma directa de todos sus espacios de peso . Cada espacio de peso en es de dimensión finita y la dimensión del espacio de peso es el número de formas de expresar como una suma de raíces positivas (esto está estrechamente relacionado con la llamada función de partición de Kostant ). Esta afirmación se deriva de la afirmación anterior de que el módulo de Verma es isomorfo como espacio vectorial a , junto con el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt para . ${\displaystyle W_{\lambda }}$${\displaystyle W_{\lambda }}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle W_{\mu }}$${\displaystyle \lambda -\mu }$${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{-})}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{-})}$

Los módulos de Verma tienen una propiedad muy importante: si es cualquier representación generada por un vector de peso máximo de peso , existe un homomorfismo sobreyectivo . Es decir, todas las representaciones con peso máximo que son generadas por el vector de peso máximo (los llamados módulos de peso máximo ) son cocientes de${\displaystyle V}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle W_{\lambda }\to V.}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle W_{\lambda }.}$

${\displaystyle W_{\lambda }}$contiene un único submódulo maximal, y su cociente es la única representación irreducible (salvo isomorfismo ) con el mayor peso ^{[ 7 ].} Si el mayor peso es dominante e integral, entonces se demuestra que este cociente irreducible es en realidad de dimensión finita. ^{[ 8 ].}${\displaystyle \lambda .}$${\displaystyle \lambda }$

Como ejemplo, consideremos el caso discutido anteriormente. Si el peso más alto es "integral dominante" —lo que significa simplemente que es un entero no negativo— entonces y el espacio generado por los elementos es invariante. La representación cociente es entonces irreducible con dimensión . La representación cociente está generada por vectores linealmente independientes . La acción de es la misma que en el módulo de Verma, excepto que en el cociente, en comparación con en el módulo de Verma. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}$${\displaystyle m}$${\displaystyle Xv_{m+1}=0}$${\displaystyle v_{m+1},v_{m+2},\ldots }$${\displaystyle m+1}$${\displaystyle v_{0},v_{1},\ldots ,v_{m}}$${\displaystyle \operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}$${\displaystyle Yv_{m}=0}$${\displaystyle Yv_{m}=v_{m+1}}$

El módulo de Verma en sí mismo es irreducible si y solo si es antidominante. ^{[ 9 ]} En consecuencia, cuando es integral, es irreducible si y solo si ninguna de las coordenadas de en la base de pesos fundamentales es del conjunto , mientras que, en general, esta condición es necesaria pero insuficiente para que sea irreducible. ${\displaystyle W_{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle W_{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$${\displaystyle W_{\lambda }}$

El módulo de Verma se llama regular si su peso máximo λ está en la órbita de Weyl afín de un peso dominante . En otras palabras, existe un elemento w del grupo de Weyl W tal que ${\displaystyle W_{\lambda }}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$

${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}}$

¿Dónde se produce la acción afín del grupo de Weyl ? ${\displaystyle \cdot }$

El módulo de Verma se llama singular si no hay un peso dominante en la órbita afín de λ. En este caso, existe un peso tal que está en la pared de la cámara de Weyl fundamental (δ es la suma de todos los pesos fundamentales ). ${\displaystyle W_{\lambda }}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}+\delta }$

Para cualesquiera dos pesos existe un homomorfismo no trivial${\displaystyle \lambda ,\mu }$

${\displaystyle W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }}$

puede existir solo si y están vinculados con una acción afín del grupo de Weyl del álgebra de Lie . Esto se deduce fácilmente del teorema de Harish-Chandra sobre caracteres centrales infinitesimales . ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle W}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Cada homomorfismo de módulos de Verma es inyectivo y la dimensión

${\displaystyle \dim(\operatorname {Hom} (W_{\mu },W_{\lambda }))\leq 1}$

para cualquier . Por lo tanto, existe un distinto de cero si y solo si es isomorfo a un submódulo (único) de . ${\displaystyle \mu ,\lambda }$${\displaystyle W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }}$${\displaystyle W_{\mu }}$${\displaystyle W_{\lambda }}$

La clasificación completa de los homomorfismos de módulos de Verma fue realizada por Bernstein–Gelfand–Gelfand ^{[ 10 ]} y Verma ^{[ 11 ]} y se puede resumir en la siguiente declaración:

Existe un homomorfismo no nulo si y solo si existe ${\displaystyle W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }}$

una secuencia de pesos

${\displaystyle \mu =\nu _{0}\leq \nu _{1}\leq \ldots \leq \nu _{k}=\lambda }$

de tal manera que para algunas raíces positivas (y es la reflexión de la raíz correspondiente y es la suma de todos los pesos fundamentales ) y para cada es un número natural ( es la corresponsalía asociada a la raíz ).${\displaystyle \nu _{i-1}+\delta =s_{\gamma _{i}}(\nu _{i}+\delta )}$${\displaystyle \gamma _{i}}$${\displaystyle s_{\gamma _{i}}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle 1\leq i\leq k,(\nu _{i}+\delta )(H_{\gamma _{i}})}$${\displaystyle H_{\gamma _{i}}}$${\displaystyle \gamma _{i}}$

Si los módulos de Verma y son regulares , entonces existe un peso dominante único y elementos únicos w , w ′ del grupo de Weyl W tales que ${\displaystyle M_{\mu }}$${\displaystyle M_{\lambda }}$${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$

${\displaystyle \mu =w'\cdot {\tilde {\lambda }}}$

y

${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }},}$

donde es la acción afín del grupo de Weyl. Si los pesos son además enteros , entonces existe un homomorfismo no nulo. ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle W_{\mu }\to W_{\lambda }}$

si y solo si

${\displaystyle w\leq w'}$

en la ordenación de Bruhat del grupo Weyl.

Dejar

${\displaystyle 0\subset A\subset B\subset W_{\lambda }}$

Sea una secuencia de -módulos tal que el cociente B/A sea irreducible con peso máximo μ. Entonces existe un homomorfismo no nulo . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle W_{\mu }\to W_{\lambda }}$

Una consecuencia sencilla de esto es que, para cualquier módulo de peso máximo tal que ${\displaystyle V_{\mu },V_{\lambda }}$

${\displaystyle V_{\mu }\subset V_{\lambda }}$

Existe un homomorfismo no nulo . ${\displaystyle W_{\mu }\to W_{\lambda }}$

Sea una representación irreducible de dimensión finita del álgebra de Lie con peso máximo λ. Sabemos por la sección sobre homomorfismos de módulos de Verma que existe un homomorfismo ${\displaystyle V_{\lambda }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle W_{w'\cdot \lambda }\to W_{w\cdot \lambda }}$

si y solo si

${\displaystyle w\leq w'}$

en el orden de Bruhat del grupo de Weyl . El siguiente teorema describe una resolución proyectiva de en términos de módulos de Verma (fue demostrado por Bernstein – Gelfand – Gelfand en 1975 ^{[ 12 ]} ): ${\displaystyle V_{\lambda }}$

Existe una secuencia exacta de homomorfismos ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle 0\to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=n}W_{w\cdot \lambda }\to \cdots \to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=2}W_{w\cdot \lambda }\to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=1}W_{w\cdot \lambda }\to W_{\lambda }\to V_{\lambda }\to 0}$

donde n es la longitud del elemento más grande del grupo de Weyl.

También existe una resolución similar para los módulos Verma generalizados . Se la denomina brevemente resolución BGG .

• Clasificación de representaciones de dimensión finita de álgebras de Lie
• Teorema del peso máximo
• Módulo Verma generalizado
• Módulo Weyl

• De Kerf, EA; Bäuerle, GGA; Ten Kroode, APE, eds. (1997). «Representaciones: técnicas de álgebra envolvente». Álgebras de Lie: álgebras de Lie de dimensión finita e infinita y aplicaciones en física . Estudios de física matemática. Vol. 7. pp.  71–113 . doi : 10.1016/S0925-8582(97)80004-8 . ISBN 978-0-444-82836-1.
• Carter, R. (2005), Álgebras de Lie de tipo finito y afín , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-85138-1.
• Dixmier, J. (1977), Álgebras envolventes , Ámsterdam, Nueva York, Oxford: North-Holland, ISBN 978-0-444-11077-0.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Humphreys, J. (1980), Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación , Springer Verlag, ISBN 978-3-540-90052-8.
• Knapp, AW (2002), Lie Groups Beyond an introduction (2.ª ed.), Birkhäuser, p. 285, ISBN 978-0-8176-3926-6.
• Rocha, Alvany (2001) [1994], "Resolución BGG" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Roggenkamp, ​​K.; Stefanescu, M. (2002), Álgebra - Teoría de la representación , Springer, ISBN 978-0-7923-7114-4.

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