Módulo Verma generalizado

En matemáticas , los módulos de Verma generalizados son una generalización de un módulo de Verma ^{(verdadero) [} 1 ^]^y son objetos en la teoría de representación de álgebras de Lie . Fueron estudiados originalmente por James Lepowsky en la década de 1970. La motivación para su estudio radica en que sus homomorfismos corresponden a operadores diferenciales invariantes sobre variedades de banderas generalizadas . El estudio de estos operadores es una parte importante de la teoría de geometrías parabólicas.

Definición

Dejar ${\mathfrak {g}}$ ser un álgebra de Lie semisimple y ${\mathfrak {p}}$ una subálgebra parabólica de ${\mathfrak {g}}$ . Para cualquier representación irreducible de dimensión finita $V$ de ${\mathfrak {p}}$ Definimos el módulo de Verma generalizado como el producto tensorial relativo.

M_{\mathfrak {p}}(V):={\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})\otimes _ {{\mathcal {U}}({\mathfrak {p}})}V

.

La acción de ${\mathfrak {g}}$ es la multiplicación izquierda en ${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})$ .

Si λ es el peso más alto de V, a veces denotamos el módulo de Verma por $M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ .

Tenga en cuenta que $M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ tiene sentido solo para ${\mathfrak {p}}$ -dominante y ${\mathfrak {p}}$ -pesos enteros (ver peso ) $\lambda$ .

Es bien sabido que una subálgebra parabólica ${\mathfrak {p}}$ de ${\mathfrak {g}}$ determina una calificación única ${\mathfrak {g}}=\oplus _{j=-k}^{k}{\mathfrak {g}}_{j}$ de modo que ${\mathfrak {p}}=\oplus _{j\geq 0}{\mathfrak {g}}_{j}$ . Dejar ${\mathfrak {g}}_{-}:=\oplus _{j<0}{\mathfrak {g}}_{j}$ . Del teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt se deduce que, como espacio vectorial (e incluso como un ${\mathfrak {g}}_{-}$ - módulo y como un ${\mathfrak {g}}_{0}$ -módulo),

M_{\mathfrak {p}}(V)\simeq {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}}_{-})\otimes V

.

En lo que sigue, nos referiremos a un módulo de Verma generalizado simplemente como GVM.

Propiedades de los GVM

Los GVM son módulos de peso máximo y su peso máximo λ es el peso máximo de la representación V. Si $v_{\lambda }$ es el vector de mayor peso en V, entonces $1\otimes v_{\lambda }$ es el vector de mayor peso en $M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ .

Los GVM son módulos de peso , es decir, son la suma directa de sus espacios de peso y estos espacios de peso son de dimensión finita.

Como todos los módulos de mayor peso , los GVM son cocientes de módulos Verma. El núcleo de la proyección $M_{\lambda }\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ es

(1)\quad K_{\lambda }:=\sum _{\alpha \in S}M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }\subset M_{\lambda }

dónde $S\subset \Delta$ es el conjunto de aquellas raíces simples α tales que los espacios de raíces negativas de raíz $-\alpha$ están en ${\mathfrak {p}}$ (el conjunto S determina de forma única la subálgebra ${\mathfrak {p}}$ ), $s_{\alpha }$ es la reflexión de la raíz con respecto a la raíz α y $s_{\alpha }\cdot \lambda$ es la acción afín de $s_{\alpha }$ en λ. De la teoría de los módulos de Verma (verdaderos) se deduce que $M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }$ es isomorfo a un único submódulo de $M_{\lambda }$ En (1), identificamos $M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }\subset M_{\lambda }$ . La suma en (1) no es directa .

En el caso especial cuando $S=\emptyset$ , la subálgebra parabólica ${\mathfrak {p}}$ es la subálgebra de Borel y el GVM coincide con el módulo de Verma (verdadero). En el otro caso extremo cuando $S=\Delta$ , ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {g}}$ y la GVM es isomorfa a la representación inductora V.

El GVM $M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ Se denomina regular si su peso más alto λ se encuentra en la órbita de Weyl afín de un peso dominante. ${\tilde {\lambda }}$ . En otras palabras, existe un elemento w del grupo de Weyl W tal que

\lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}

dónde $\cdot$ es la acción afín del grupo de Weyl.

El módulo Verma $M_{\lambda }$ Se denomina singular si no hay un peso dominante en la órbita afín de λ. En este caso, existe un peso ${\tilde {\lambda }}$ de modo que ${\tilde {\lambda }}+\delta$ está en la pared de la cámara de Weyl fundamental (δ es la suma de todos los pesos fundamentales ).

Homomorfismos de GVM

Por homomorfismo de GVM entendemos ${\mathfrak {g}}$ -homomorfismo.

Para cualquier par de pesos $\lambda ,\mu$ un homomorfismo

M_{\mathfrak {p}}(\mu )\rightarrow M_{\mathfrak {p}}(\lambda)

puede existir solo si $\mu$ y $\lambda$ están vinculados con una acción afín del grupo de Weyl $W$ del álgebra de Lie ${\mathfrak {g}}$ Esto se deduce fácilmente del teorema de Harish-Chandra sobre caracteres centrales infinitesimales .

A diferencia del caso de los módulos de Verma (verdaderos) , los homomorfismos de los GVM en general no son inyectivos y la dimensión

dim(Hom(M_{\mathfrak {p}}(\mu ),M_{\mathfrak {p}}(\lambda )))

puede ser mayor que uno en algunos casos específicos.

Si $f:M_{\mu }\to M_{\lambda }$ es un homomorfismo de módulos de Verma (verdaderos), $K_{\mu }$ respectivamente. $K_{\lambda }$ son los núcleos de la proyección $M_{\mu }\to M_{\mathfrak {p}}(\mu )$ , respectivamente. $M_{\lambda }\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ , entonces existe un homomorfismo $K_{\mu }\to K_{\lambda }$ y f factores a un homomorfismo de módulos de Verma generalizados $M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ Dicho homomorfismo (que es un factor de un homomorfismo de módulos de Verma) se denomina estándar . Sin embargo, el homomorfismo estándar puede ser cero en algunos casos.

Estándar

Supongamos que existe un homomorfismo no trivial de módulos de Verma verdaderos. $M_{\mu }\to M_{\lambda }$ . Dejar $S\subset \Delta$ sea el conjunto de aquellas raíces simples α tales que los espacios de raíces negativas de raíz $-\alpha$ están en ${\mathfrak {p}}$ (como en la sección Propiedades ). El siguiente teorema es demostrado por Lepowsky : ^{[ 2 ]}

El homomorfismo estándar $M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ es cero si y solo si existe $\alpha \in S$ de tal manera que $M_{\mu }$ es isomorfo a un submódulo de $M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }$ ( $s_{\alpha }$ es la reflexión raíz correspondiente y $\cdot$ es la acción afín ).

La estructura de GVM en la órbita afín de un ${\mathfrak {g}}$ -dominante y ${\mathfrak {g}}$ -peso integral ${\tilde {\lambda }}$ puede describirse explícitamente. Si W es el grupo de Weyl de ${\mathfrak {g}}$ , existe un subconjunto $W^{\mathfrak {p}}\subset W$ de tales elementos, de modo que $w\in W^{\mathfrak {p}}\Leftrightarrow w({\tilde {\lambda }})$ es ${\mathfrak {p}}$ -dominante. Se puede demostrar que $W^{\mathfrak {p}}\simeq W_{\mathfrak {p}}\backslash W$ dónde $W_{\mathfrak {p}}$ es el grupo Weyl de ${\mathfrak {p}}$ (En particular, $W^{\mathfrak {p}}$ no depende de la elección de ${\tilde {\lambda }}$ ). El mapa $w\in W^{\mathfrak {p}}\mapsto M_{\mathfrak {p}}(w\cdot {\tilde {\lambda }})$ es una biyección entre $W^{\mathfrak {p}}$ y el conjunto de GVM con los pesos más altos en la órbita afín de ${\tilde {\lambda }}$ . Supongamos que $\mu =w'\cdot {\tilde {\lambda }}$ , $\lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}$ y $w\leq w'$ en el orden de Bruhat (de lo contrario, no hay homomorfismo de módulos de Verma (verdaderos) $M_{\mu }\to M_{\lambda }$ y el homomorfismo estándar no tiene sentido, véase Homomorfismos de módulos de Verma ).

Las siguientes afirmaciones se derivan del teorema anterior y de la estructura de $W^{\mathfrak {p}}$ :

Teorema. Si $w'=s_{\gamma }w$ para alguna raíz positiva $\gamma$ y la longitud (ver orden de Bruhat ) l(w')=l(w)+1, entonces existe un homomorfismo estándar distinto de cero $M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ .

Teorema . El homomorfismo estándar $M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ es cero si y solo si existe $w''\in W$ de tal manera que $w\leq w''\leq w'$ y $w''\notin W^{\mathfrak {p}}$ .

Sin embargo, si ${\tilde {\lambda }}$ es solo dominante pero no integral, aún puede existir ${\mathfrak {p}}$ -dominante y ${\mathfrak {p}}$ -pesos integrales en su órbita afín.

La situación es aún más complicada si los GVM tienen carácter singular, es decir, $\mu$ y $\lambda$ están en la órbita afín de algunos ${\tilde {\lambda }}$ de tal manera que ${\tilde {\lambda }}+\delta$ está en la pared de la cámara fundamental de Weyl .

No estándar

Un homomorfismo $M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ Se denomina no estándar si no es estándar. Puede ocurrir que el homomorfismo estándar de GVM sea cero, pero que aún exista un homomorfismo no estándar.

Resolución de Bernstein-Gelfand-Gelfand

Ejemplos

Los campos de la teoría de campos conformes pertenecen a los módulos de Verma generalizados del álgebra conforme . ^{[ 3 ]}

Véase también

Enlaces externos

Código para construir la resolución BGG de módulos de álgebra de Lie y calcular su cohomología.

Referencias

↑ Nombrado en honor a Daya-Nand Verma .
↑ Lepowsky J., Una generalización de la resolución de Bernstein-Gelfand-Gelfand, J. Algebra, 49 (1977), 496-511.
↑ Penedones, João; Trevisani, Emilio; Yamazaki, Masahito (2016). "Relaciones de recursión para bloques conformes" . Journal of High Energy Physics . 2016 (9). arXiv : 1509.00428 . doi : 10.1007/JHEP09(2016)070 . hdl : 11449/173478 . ISSN 1029-8479 .

[1] Nombrado en honor a Daya-Nand Verma .

[2] Lepowsky J., Una generalización de la resolución de Bernstein-Gelfand-Gelfand, J. Algebra, 49 (1977), 496-511.

[pty16-3] Penedones, João; Trevisani, Emilio; Yamazaki, Masahito (2016). "Relaciones de recursión para bloques conformes" . Journal of High Energy Physics . 2016 (9). arXiv : 1509.00428 . doi : 10.1007/JHEP09(2016)070 . hdl : 11449/173478 . ISSN 1029-8479 .

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