Operador diferencial invariante

En matemáticas y física teórica , un operador diferencial invariante es una especie de aplicación matemática de algunos objetos a un objeto de tipo similar. Estos objetos son típicamente funciones en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, funciones en una variedad , funciones con valores vectoriales , campos vectoriales o, más generalmente, secciones de un fibrado vectorial .

En un operador diferencial invariante${\displaystyle D}$, el término operador diferencial indica que el valor${\displaystyle Df}$del mapa depende únicamente de${\displaystyle f(x)}$y los derivados de${\displaystyle f}$en${\displaystyle x}$La palabra invariante indica que el operador contiene alguna simetría . Esto significa que hay un grupo${\displaystyle G}$con una acción de grupo sobre las funciones (u otros objetos en cuestión) y esta acción es preservada por el operador:

${\displaystyle D(g\cdot f)=g\cdot (Df).}$

Por lo general, la acción del grupo implica un cambio de coordenadas (cambio de observador) y la invariancia significa que el operador tiene la misma expresión en todas las coordenadas admisibles.

Sea M  = G / H un espacio homogéneo para un grupo de Lie G y un subgrupo de Lie H. Toda representación ${\displaystyle \rho :H\rightarrow \mathrm {Aut} (\mathbb {V} )}$da lugar a un fibrado vectorial

${\displaystyle V=G\times _{H}\mathbb {V} \;{\text{donde}}\;(gh,v)\sim (g,\rho (h)v)\;\forall \;g\in G,\;h\in H\;{\text{y}}\;v\in \mathbb {V} .}$

Secciones${\displaystyle \varphi \en \Gamma (V)}$puede identificarse con

${\displaystyle \Gamma (V)=\{\varphi :G\rightarrow \mathbb {V} \;:\;\varphi (gh)=\rho (h^{-1})\varphi (g)\;\forall \;g\in G,\;h\in H\}.}$

De esta forma, el grupo G actúa sobre secciones a través de

${\displaystyle (\ell _ {g}\varphi )(g')=\varphi (g^{-1}g').}$

Ahora sean V y W dos haces vectoriales sobre M. Entonces, un operador diferencial

${\displaystyle d:\Gamma (V)\rightarrow \Gamma (W)}$

que mapea secciones de V a secciones de W se llama invariante si

${\displaystyle d(\ell _{g}\varphi )=\ell _{g}(d\varphi ).}$

para todas las secciones${\displaystyle \varphi }$en${\displaystyle \Gamma (V)}$y elementos g en G. Todos los operadores diferenciales lineales invariantes en geometrías parabólicas homogéneas , es decir, cuando G es semisimple y H es un subgrupo parabólico , están dados dualmente por homomorfismos de módulos de Verma generalizados .

Dadas dos conexiones${\displaystyle \nabla }$y${\displaystyle {\sombrero {\nabla }}}$y una forma${\displaystyle \omega }$, tenemos

${\displaystyle \nabla _{a}\omega _{b}={\hat {\nabla }}_{a}\omega _{b}-Q_{ab}{}^{c}\omega _{c}}$

para algún tensor${\displaystyle Q_{ab}{}^{c}}$. ^{[ 1 ]} Dada una clase de equivalencia de conexiones${\displaystyle [\nabla ]}$Decimos que un operador es invariante si su forma no cambia al pasar de una conexión a otra dentro de la clase de equivalencia. Por ejemplo, si consideramos la clase de equivalencia de todas las conexiones libres de torsión , el tensor Q es simétrico respecto a sus índices inferiores, es decir,${\displaystyle Q_{ab}{}^{c}=Q_{(ab)}{}^{c}}$Por lo tanto podemos calcular

${\displaystyle \nabla _{[a}\omega _{b]}={\hat {\nabla }}_{[a}\omega _{b]},}$

donde los corchetes denotan simetrización sesgada. Esto muestra la invariancia de la derivada exterior cuando actúa sobre una forma. Las clases de equivalencia de conexiones surgen naturalmente en geometría diferencial, por ejemplo:

• En geometría conforme, una clase de equivalencia de conexiones viene dada por las conexiones de Levi Civita de todas las métricas en la clase conforme;
• En geometría proyectiva, una clase de equivalencia de conexión viene dada por todas las conexiones que tienen las mismas geodésicas ;
• En geometría CR, una clase de equivalencia de conexiones viene dada por las conexiones de Tanaka-Webster para cada elección de estructura pseudohermítica.

1. El operador de gradiente habitual${\displaystyle \nabla }$La acción sobre funciones de valor real en el espacio euclidiano es invariante con respecto a todas las transformaciones euclidianas .
2. El diferencial que actúa sobre funciones en una variedad con valores en 1-formas (su expresión es     ${\displaystyle d=\sum _{j}\partial _{j}\,dx_{j}}$ en cualquier coordenada local) es invariante con respecto a todas las transformaciones suaves de la variedad (la acción de la transformación sobre las formas diferenciales es simplemente el retroceso ).
3. De forma más general, la derivada exterior     ${\displaystyle d:\Omega ^{n}(M)\rightarrow \Omega ^{n+1}(M)}$ La derivada exterior que actúa sobre las n -formas de cualquier variedad diferenciable M es invariante con respecto a todas las transformaciones diferenciables. Se puede demostrar que dicha derivada es el único operador diferencial lineal invariante entre esos haces.
4. El operador de Dirac en física es invariante con respecto al grupo de Poincaré (si elegimos la acción adecuada del grupo de Poincaré sobre funciones con valores espinoriales . Sin embargo, esta es una cuestión sutil y, si queremos que sea matemáticamente riguroso, deberíamos decir que es invariante con respecto a un grupo que sea una doble cubierta del grupo de Poincaré).
5. La ecuación de Killing conforme     ${\displaystyle X^{a}\mapsto \nabla _{(a}X_{b)}-{\frac {1}{n}}\nabla _{c}X^{c}g_{ab}}$es un operador diferencial lineal conformemente invariante entre campos vectoriales y tensores simétricos sin traza.

• 
  La esfera (aquí representada como un círculo rojo) como una variedad homogénea conforme.

Dado un valor métrico

${\displaystyle g(x,y)=x_{1}y_{n+2}+x_{n+2}y_{1}+\sum _{i=2}^{n+1}x_{i}y_{i}}$

en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+2}}$, podemos escribir la esfera${\displaystyle S^{n}}$como el espacio de generadores del cono nulo

${\displaystyle S^{n}=\{[x]\in \mathbb {RP} _{n+1}\;:\;g(x,x)=0\}.}$

De esta manera, el modelo plano de geometría conforme es la esfera.${\displaystyle S^{n}=G/P}$con${\displaystyle G=SO_{0}(n+1,1)}$y P el estabilizador de un punto en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+2}}$Se conoce una clasificación de todos los operadores diferenciales lineales conformemente invariantes en la esfera (Eastwood y Rice, 1987). ^{[ 2 ]}

• Operadores diferenciales
• invariante de Laplace
• Factorización invariante de LPDO

^{[ 1 ]}

• Slovák, Jan (1993). Operadores invariantes en variedades conformes . Apuntes de clase de investigación, Universidad de Viena (Tesis doctoral).
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). Operadores naturales en geometría diferencial (PDF) . Springer-Verlag, Berlín, Heidelberg, Nueva York. Archivado del original (PDF) el 30 de marzo de 2017. Consultado el 5 de enero de 2011 .
• Eastwood, MG; Rice, JW (1987). "Operadores diferenciales conformemente invariantes en el espacio de Minkowski y sus análogos curvos" . Commun. Math. Phys . 109 (2): 207– 228. Bibcode : 1987CMaPh.109..207E . doi : 10.1007/BF01215221 . S2CID 121161256 . 
• Kroeske, Jens (2008). "Emparejamientos diferenciales bilineales invariantes en geometrías parabólicas". Tesis doctoral de la Universidad de Adelaida . arXiv : 0904.3311 . Bibcode : 2009PhDT.......274K .