Peso (teoría de la representación)

Dejar${\displaystyle \sigma$ :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)} sea una representación de un álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$en un espacio vectorial V sobre un cuerpo de característica 0, por ejemplo${\displaystyle \mathbb {C} }$y dejar${\displaystyle \lambda$ :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} } sea un funcional lineal en${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, dónde${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$es una subálgebra de Cartan de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Entonces elespacio de peso deVcon pesoλes el subespacio${\displaystyle V_{\lambda }}$dado por

${\displaystyle V_{\lambda }:=\{v\in V:\forall H\in {\mathfrak {h}},\,(\sigma (H))(v)=\lambda (H)v\}}$.

Un peso de la representación V (la representación a menudo se denomina brevemente espacio vectorial V sobre el cual actúan los elementos del álgebra de Lie en lugar del mapa${\displaystyle \sigma }$) es un funcional lineal λ tal que el espacio de pesos correspondiente es distinto de cero. Los elementos distintos de cero del espacio de pesos se denominan vectores de peso . Es decir, un vector de peso es un vector propio simultáneo para la acción de los elementos de${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, con los autovalores correspondientes dados por λ.

Si V es la suma directa de sus espacios de peso

${\displaystyle V=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}V_{\lambda }}$

entonces V se llama unmódulo de peso ;esto corresponde a que exista unabase de autovectores(una base de autovectores simultáneos) para todos los elementos representados del álgebra, es decir, a que existan matrices diagonalizables simultáneamente (véasematriz diagonalizable).

Si G es un grupo de Lie con álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, toda representación de dimensión finita de G induce una representación de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Un peso de la representación de G es entonces simplemente un peso de la representación asociada de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Existe una sutil distinción entre los pesos de las representaciones de grupos y las representaciones de álgebras de Lie, que radica en la diferente noción de condición de integralidad en ambos casos; véase más adelante. (La condición de integralidad es más restrictiva en el caso de los grupos, lo que refleja que no toda representación del álgebra de Lie proviene de una representación del grupo).

Para la representación adjunta${\displaystyle \mathrm {ad}$ :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}})} de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, el espacio sobre el que actúa la representación es el álgebra de Lie misma. Entonces los pesos no nulos se llaman raíces , los espacios de pesos se llaman espacios de raíces y los vectores de pesos, que son por lo tanto elementos de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, se denominan vectores raíz . Explícitamente, una función lineal${\displaystyle \alpha }$sobre la subálgebra de Cartan${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$se llama raíz si${\displaystyle \alpha \neq 0}$y existe un valor distinto de cero${\displaystyle X}$en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$de tal manera que

${\displaystyle [H,X]=\alpha (H)X}$

a pesar de${\displaystyle H}$en${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$El conjunto de raíces forma un sistema radicular .

Desde la perspectiva de la teoría de la representación, la importancia de las raíces y los vectores raíz radica en el siguiente resultado elemental pero importante: Si${\displaystyle \sigma$ :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)} es una representación de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, v es un vector de pesos con peso${\displaystyle \lambda }$y X es un vector raíz con raíz${\displaystyle \alpha }$, entonces

${\displaystyle \sigma (H)(\sigma (X)(v))=[(\lambda +\alpha )(H)](\sigma (X)(v))}$

para todo H en${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. Eso es,${\displaystyle \sigma (X)(v)}$es el vector cero o un vector de peso con peso${\displaystyle \lambda +\alpha }$. Por lo tanto, la acción de${\displaystyle X}$mapea el espacio de peso con peso${\displaystyle \lambda }$en el espacio de peso con peso${\displaystyle \lambda +\alpha }$.

Por ejemplo, si${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {su}}_{\mathbb {C} }(2)}$, o${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$complejizados, los vectores raíz${\displaystyle {H,X,Y}}$abarcan el álgebra y tienen pesos${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 1}$, y${\displaystyle -1}$respectivamente. La subálgebra de Cartan está generada por${\displaystyle H}$y la acción de${\displaystyle H}$clasifica los espacios de peso. La acción de${\displaystyle X}$mapea un espacio de peso de peso${\displaystyle \lambda }$al espacio de peso del peso${\displaystyle \lambda +1}$y la acción de${\displaystyle Y}$mapea un espacio de peso de peso${\displaystyle \lambda }$al espacio de peso del peso${\displaystyle \lambda -1}$y la acción de${\displaystyle H}$mapea los espacios de peso a sí mismos. En la representación fundamental , con pesos${\displaystyle \pm {\frac {1}{2}}}$y espacios de peso${\displaystyle V_{\pm {\frac {1}{2}}}}$,${\displaystyle X}$mapas${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$a cero y${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$a${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$, mientras${\displaystyle Y}$mapas${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$a cero y${\displaystyle V_{+{\frac {1}{2}}}}$a${\displaystyle V_{-{\frac {1}{2}}}}$, y${\displaystyle H}$asigna cada espacio de peso a sí mismo.

Dejar${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$sea ​​el subespacio real de${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$generado por las raíces de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, dónde${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$es el espacio de funcionales lineales${\displaystyle \lambda$ :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} } , el espacio dual a${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$Para los cálculos, es conveniente elegir un producto interno que sea invariante bajo el grupo de Weyl, es decir, bajo reflexiones sobre los hiperplanos ortogonales a las raíces. Luego podemos usar este producto interno para identificar${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}^{*}}$con un subespacio${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$de${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. Con esta identificación, la co-raíz asociada a una raíz${\displaystyle \alpha }$se da como

${\displaystyle H_{\alpha }=2{\frac {\alpha }{(\alpha ,\alpha )}}}$

dónde${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$denota el producto interno de vectores${\displaystyle \alpha ,\beta .}$Además de este producto interno, es común una notación de corchete angular.${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$para ser utilizado en discusiones sobre sistemas radiculares , con el corchete angular definido como${\displaystyle \langle \lambda ,\alpha \rangle \equiv (\lambda ,H_{\alpha }).}$El corchete angular aquí no es un producto interno, ya que no es simétrico y es lineal solo en el primer argumento. La notación del corchete angular no debe confundirse con el producto interno.${\displaystyle (\cdot ,\cdot ).}$

Ahora definimos dos nociones diferentes de integralidad para elementos de${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$. La motivación para estas definiciones es simple: Los pesos de las representaciones de dimensión finita de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$satisfacen la primera condición de integralidad, mientras que si G es un grupo con álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, los pesos de las representaciones de dimensión finita de G satisfacen la segunda condición de integralidad.

Un elemento${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$es algebraicamente integral si

${\displaystyle (\lambda ,H_{\alpha })=2{\frac {(\lambda ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\in \mathbb {Z} }$

para todas las raíces${\displaystyle \alpha }$La motivación para esta condición es que la raíz común${\displaystyle H_{\alpha }}$puede identificarse con el elemento H en un estándar${\displaystyle {X,Y,H}}$base para un${\displaystyle sl(2,\mathbb {C} )}$-subálgebra de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. ^{[ 1 ]} Por resultados elementales para${\displaystyle sl(2,\mathbb {C} )}$, los valores propios de${\displaystyle H_{\alpha }}$en cualquier representación de dimensión finita debe ser un número entero. Concluimos que, como se indicó anteriormente, el peso de cualquier representación de dimensión finita de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es algebraicamente integral. ^{[ 2 ]}

Los pesos fundamentales${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$se definen por la propiedad de que forman una base de${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$dual al conjunto de corraíces asociadas a las raíces simples . Es decir, los pesos fundamentales se definen por la condición

${\displaystyle 2{\frac {(\omega _{i},\alpha _{j})}{(\alpha _{j},\alpha _{j})}}=\delta _{i,j}}$

dónde ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$son las raíces simples. Un elemento${\displaystyle \lambda }$es entonces algebraicamente integral si y solo si es una combinación integral de los pesos fundamentales. ^{[ 3 ]} El conjunto de todos${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-pesos integrales es una red en${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$llamada la red de peso para${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, denotado por${\displaystyle P({\mathfrak {g}})}$.

La figura muestra un ejemplo del álgebra de Lie.${\displaystyle sl(3,\mathbb {C} )}$, cuyo sistema radicular es el${\displaystyle A_{2}}$sistema radicular. Hay dos raíces simples,${\displaystyle \gamma _{1}}$y${\displaystyle \gamma _{2}}$. El primer peso fundamental,${\displaystyle \omega _{1}}$, debería ser ortogonal a${\displaystyle \gamma _{2}}$y debería proyectarse ortogonalmente a la mitad de${\displaystyle \gamma _{1}}$y de manera similar para${\displaystyle \omega _{2}}$. La red de pesos es entonces la red triangular.

Supongamos ahora que el álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es el álgebra de Lie de un grupo de Lie G. Entonces decimos que${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}}$es analíticamente integral ( integral G ) si para cada t en${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$de tal manera que${\displaystyle \exp(t)=1\in G}$tenemos${\displaystyle (\lambda ,t)\in 2\pi i\mathbb {Z} }$. La razón para hacer esta definición es que si una representación de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$surge de una representación de G , entonces los pesos de la representación serán G -integrales. ^{[ 4 ]} Para G semisimple, el conjunto de todos los pesos G -integrales es una subred P ( G ) ⊂ P (${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$). Si G es simplemente conexo , entonces P ( G ) = P (${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$). Si G no es simplemente conexo, entonces la red P ( G ) es más pequeña que P (${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$) y su cociente es isomorfo al grupo fundamental de G . ^{[ 5 ]}

Ahora introducimos un orden parcial en el conjunto de pesos, que se utilizará para formular el teorema del peso más alto que describe las representaciones de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Recordemos que R es el conjunto de raíces; ahora fijamos un conjunto${\displaystyle R^{+}}$de raíces positivas .

Consideremos dos elementos${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \lambda }$de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$. Nos interesa principalmente el caso en el que${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \lambda }$son integrales, pero esta suposición no es necesaria para la definición que estamos a punto de introducir. Entonces decimos que${\displaystyle \mu }$es más alto que${\displaystyle \lambda }$, que escribimos como${\displaystyle \mu \succeq \lambda }$, si${\displaystyle \mu -\lambda }$se puede expresar como una combinación lineal de raíces positivas con coeficientes reales no negativos. ^{[ 6 ]} Esto significa, aproximadamente, que "mayor" significa en las direcciones de las raíces positivas. De manera equivalente decimos que${\displaystyle \lambda }$es "inferior" que${\displaystyle \mu }$, que escribimos como${\displaystyle \lambda \preceq \mu }$.

Este es solo un ordenamiento parcial ; puede suceder fácilmente que${\displaystyle \mu }$no es ni más alto ni más bajo que${\displaystyle \lambda }$.

Un elemento integral${\displaystyle \lambda }$es dominante si${\displaystyle (\lambda ,\gamma )\geq 0}$para cada raíz positiva${\displaystyle \gamma }$. De forma equivalente,${\displaystyle \lambda }$es dominante si es una combinación entera no negativa de los pesos fundamentales. En el${\displaystyle A_{2}}$En este caso, los elementos integrales dominantes se encuentran en un sector de 60 grados. La noción de ser dominante no es lo mismo que ser mayor que cero. Nótese que el área gris en la imagen de la derecha es un sector de 120 grados, que contiene estrictamente el sector de 60 grados correspondiente a los elementos integrales dominantes.

El conjunto de todos los λ (no necesariamente enteros) tales que${\displaystyle (\lambda ,\gamma )\geq 0}$para todas las raíces positivas${\displaystyle \gamma }$se conoce como la cámara de Weyl fundamental asociada al conjunto dado de raíces positivas.

Un peso${\displaystyle \lambda }$de una representación${\displaystyle V}$de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$se denomina peso máximo si cada otro peso de${\displaystyle V}$es menor que${\displaystyle \lambda }$.

La teoría que clasifica las representaciones irreducibles de dimensión finita de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es por medio de un "teorema de máximo peso". El teorema dice que ^{[ 7 ]}

(1) toda representación irreducible (de dimensión finita) tiene un peso máximo,

(2) el peso más alto es siempre un elemento dominante, algebraicamente entero,

(3) dos representaciones irreducibles con el mismo peso máximo son isomorfas y

(4) todo elemento dominante, algebraicamente integral, es el peso más alto de una representación irreducible.

El último punto es el más difícil; las representaciones se pueden construir utilizando módulos de Verma .

Una representación (no necesariamente de dimensión finita) V de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$se denomina módulo de mayor peso si es generado por un vector de peso v ∈ V que es anulado por la acción de todos los espacios de raíces positivos en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Todo irreductible${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-módulo con el peso más alto es necesariamente un módulo de peso más alto, pero en el caso de dimensión infinita, un módulo de peso más alto no tiene por qué ser irreducible. Para cada${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$—no necesariamente dominante o integral— existe un único (salvo isomorfismo) peso máximo simple${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-módulo con peso máximo λ, que se denota L (λ), pero este módulo es de dimensión infinita a menos que λ sea una integral dominante. Se puede demostrar que cada módulo de peso máximo con peso máximo λ es un cociente del módulo de Verma M (λ). Esto es simplemente una reformulación de la propiedad de universalidad en la definición de un módulo de Verma.

Todo módulo de peso máximo de dimensión finita es irreducible. ^{[ 8 ]}