Representación fundamental

En la teoría de representaciones de grupos de Lie y álgebras de Lie , una representación fundamental es una representación finito-dimensional irreducible de un grupo de Lie semisimple o álgebra de Lie cuyo peso más alto es un peso fundamental . Por ejemplo, el módulo definitorio de un grupo de Lie clásico es una representación fundamental. Cualquier representación irreducible finito-dimensional de un grupo de Lie semisimple o álgebra de Lie puede construirse a partir de las representaciones fundamentales mediante un procedimiento debido a Élie Cartan . Por lo tanto, en cierto sentido, las representaciones fundamentales son los bloques de construcción elementales para representaciones arbitrarias de dimensión finita.

• En el caso del grupo lineal general , todas las representaciones fundamentales son productos exteriores del módulo definitorio.
• En el caso del grupo unitario especial SU( n ) , las n  − 1 representaciones fundamentales son los productos de cuña que consisten en los tensores alternados , para k  = 1, 2, ...,  n  − 1.${\displaystyle \nombre del operador {Alt} ^{k}\ {\mathbb {C} }^{n}}$
• La representación de espín de la doble cubierta de un grupo ortogonal impar , el grupo de espín impar , y las dos representaciones de medio espín de la doble cubierta de un grupo ortogonal par, el grupo de espinores par, son representaciones fundamentales que no se pueden realizar en el espacio de tensores.
• La representación adjunta del grupo de Lie simple de tipo E ₈ es una representación fundamental.

Las representaciones irreducibles de un grupo de Lie compacto simplemente conexo se indexan por sus pesos más altos . Estos pesos son los puntos reticulares en un ortante Q ₊ en la red de pesos del grupo de Lie que consiste en los pesos integrales dominantes. Se puede demostrar que existe un conjunto de pesos fundamentales , indexados por los vértices del diagrama de Dynkin , tales que cualquier peso integral dominante es una combinación lineal entera no negativa de los pesos fundamentales. ^[1] Las representaciones irreducibles correspondientes son las representaciones fundamentales del grupo de Lie. A partir de la expansión de un peso dominante en términos de los pesos fundamentales, se puede tomar un producto tensorial correspondiente de las representaciones fundamentales y extraer una copia de la representación irreducible correspondiente a ese peso dominante. ^[2]

Fuera de la teoría de Lie, el término representación fundamental se utiliza a veces de forma imprecisa para referirse a una representación fiel de dimensión más pequeña, aunque a menudo también se la denomina representación estándar o definitoria (un término que se refiere más a la historia que a tener un significado matemático bien definido).

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-0-387-40122-5.

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