Carácter multiplicativo

En matemáticas , un carácter multiplicativo (o carácter lineal , o simplemente carácter ) en un grupo G es un homomorfismo de grupos de G al grupo multiplicativo de un cuerpo ( Artin 1966 ) , generalmente el cuerpo de los números complejos . Si G es cualquier grupo, entonces el conjunto Ch( G ) de estos morfismos forma un grupo abeliano bajo la multiplicación puntual.

Este grupo se conoce como el grupo de caracteres de G. A veces, solo se consideran los caracteres unitarios (caracteres cuya imagen se encuentra en el círculo unitario ); otros homomorfismos de este tipo se denominan entonces cuasicaracteres . Los caracteres de Dirichlet pueden considerarse un caso especial de esta definición.

Los caracteres multiplicativos son linealmente independientes , es decir, si${\displaystyle \chi _{1},\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}}$son diferentes caracteres en un grupo G entonces${\displaystyle a_{1}\chi _{1}+a_{2}\chi _{2}+\cdots +a_{n}\chi _{n}=0}$solo cuando${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=0.}$

• Consideremos el grupo ( ax  + b ). 

${\displaystyle G:=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\ \right|\ a>0,\ b\in \mathbf {R} \right\}.}$

Funciones f _u  : G → C tales que${\displaystyle f_{u}\left({\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\right)=a^{u},}$donde u abarca números complejos y C son caracteres multiplicativos.

• Consideremos el grupo multiplicativo de los números reales positivos ( R ⁺ ,·). Entonces, las funciones f _u  :  ( R ⁺ ,·)  → C tales que f _u ( a ) = a ^u , donde a es un elemento de ( R ⁺ , ·) y u recorre los números complejos C , son caracteres multiplicativos.    

• Artin, Emil (1966), Teoría de Galois , Conferencias Matemáticas de Notre Dame, número 2, Arthur Norton Milgram (Reimpreso por Dover Publications, 1997), ISBN 978-0-486-62342-9Conferencias impartidas en la Universidad de Notre Dame