Grupo de personajes

En matemáticas , un grupo de caracteres es el grupo de representaciones de un grupo abeliano mediante funciones de valor complejo . Estas funciones pueden considerarse como representaciones matriciales unidimensionales y, por lo tanto, son casos especiales de los caracteres de grupo que surgen en el contexto relacionado de la teoría de caracteres . Siempre que un grupo se representa mediante matrices, la función definida por la traza de las matrices se denomina carácter; sin embargo, estas trazas en general no forman un grupo. Algunas propiedades importantes de estos caracteres unidimensionales se aplican a los caracteres en general:

• Los caracteres son invariantes en las clases de conjugación .
• Los caracteres de las representaciones irreducibles son ortogonales.

La importancia principal del grupo de caracteres para los grupos abelianos finitos está en la teoría de números , donde se utiliza para construir caracteres de Dirichlet . El grupo de caracteres del grupo cíclico también aparece en la teoría de la transformada de Fourier discreta . Para los grupos abelianos localmente compactos , el grupo de caracteres (con un supuesto de continuidad) es central para el análisis de Fourier .

Sea un grupo abeliano. Una función que aplica al grupo de números complejos distintos de cero se llama carácter de si es un homomorfismo de grupo , es decir, si para todo . ${\estilo de visualización G}$${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} ^{\times }}$${\estilo de visualización G}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$${\estilo de visualización G}$${\displaystyle f(g_{1}g_{2})=f(g_{1})f(g_{2})}$${\displaystyle g_{1},g_{2}\en G}$

Si es un carácter de un grupo finito (o más generalmente de un grupo de torsión ) , entonces cada valor de función es una raíz de la unidad , ya que para cada uno existe tal que , y por lo tanto . ${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización G}$${\displaystyle f(g)}$${\displaystyle g\en G}$${\displaystyle k\in \mathbb {N}}$$estilo de visualización g^{k}=e$${\displaystyle f(g)^{k}=f(g^{k})=f(e)=1}$

Cada carácter f es una constante en las clases de conjugación de G , es decir, f ( hgh ⁻¹ ) = f ( g ). Por esta razón, a veces se denomina a un carácter función de clase .

Un grupo abeliano finito de orden n tiene exactamente n caracteres distintos. Estos se denotan por f ₁ , ..., f _n . La función f ₁ es la representación trivial, que viene dada por para todo . Se denomina carácter principal de G ; los demás se denominan caracteres no principales . ${\displaystyle f_{1}(g)=1}$${\displaystyle g\en G}$

Si G es un grupo abeliano, entonces el conjunto de caracteres f _k forma un grupo abeliano bajo multiplicación puntual. Es decir, el producto de los caracteres y se define por para todo . Este grupo es el grupo de caracteres de G y a veces se denota como . El elemento identidad de es el carácter principal f ₁ , y el inverso de un carácter f _k es su recíproco 1/ f _k . Si es finito de orden n , entonces es también de orden n . En este caso, dado que para todo , el inverso de un carácter es igual al conjugado complejo . $estilo de visualización f_ {j}}$$estilo de visualización f_ {k}}$${\displaystyle (f_{j}f_{k})(g)=f_{j}(g)f_{k}(g)}$${\displaystyle g\en G}$${\displaystyle {\hat {G}}}$${\displaystyle {\hat {G}}}$${\estilo de visualización G}$${\displaystyle {\hat {G}}}$${\displaystyle |f_{k}(g)|=1}$${\displaystyle g\en G}$

Existe otra definición de grupo de caracteres ^{[1] pág. 29} que utiliza como objetivo en lugar de solo . Esto es útil cuando se estudian toros complejos porque el grupo de caracteres de la red en un toro complejo es canónicamente isomorfo al toro dual a través del teorema de Appell-Humbert . Es decir,${\displaystyle U(1)=\{z\in \mathbb {C} ^{*}:|z|=1\}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\estilo de visualización V/\Lambda}$

${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))\cong V^{\vee }\!/\Lambda ^{\vee }=X^{\vee }}$

Podemos expresar elementos explícitos en el grupo de caracteres de la siguiente manera: recordemos que los elementos en se pueden expresar como${\displaystyle U(1)}$

${\displaystyle e^{2\pi ix}}$

para . Si consideramos la red como un subgrupo del espacio vectorial real subyacente de , entonces un homomorfismo${\displaystyle x\in \mathbb {R}}$ ${\estilo de visualización V}$

${\displaystyle \phi :\Lambda \to U(1)}$

se puede factorizar como un mapa

${\displaystyle \phi :\Lambda \to \mathbb {R} \xrightarrow {\exp({2\pi i\cdot })} U(1)}$

Esto se desprende de las propiedades elementales de los homomorfismos. Nótese que

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi(x+y)&=\exp({2\pi i}f(x+y))\\&=\phi(x)+\phi(y)\\&=\exp(2\pi si(x))\exp(2\pi si(y))\end{aligned}}}$

dándonos la factorización deseada. Como el grupo

${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,\mathbb {R} )\cong {\text{Hom}}(\mathbb {Z} ^{2n},\mathbb {R} )}$

tenemos el isomorfismo del grupo de caracteres, como grupo, con el grupo de homomorfismos de a . Puesto que para cualquier grupo abeliano , tenemos${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2n}}$${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {Z} ,G)\cong G}$${\estilo de visualización G}$

${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {Z} ^{2n},\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{2n}}$

Después de componer con la exponencial compleja, encontramos que

${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {Z} ^{2n},U(1))\cong \mathbb {R} ^{2n}/\mathbb {Z} ^{2n}}$

Cuál es el resultado esperado.

Dado que cada grupo abeliano finitamente generado es isomorfo a

${\displaystyle G\cong \mathbb {Z} ^{n}\oplus \bigoplus _{i=1}^{m}\mathbb {Z} /a_{i}}$

El grupo de caracteres se puede calcular fácilmente en todos los casos finitamente generados. A partir de las propiedades universales y del isomorfismo entre productos y coproductos finitos, tenemos que los grupos de caracteres de son isomorfos a${\estilo de visualización G}$

${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {Z} ,\mathbb {C} ^{*})^{\oplus n}\oplus \bigoplus _{i=1}^{k}{\text{Hom}}(\mathbb {Z} /n_{i},\mathbb {C} ^{*})}$

para el primer caso, esto es isomorfo a , el segundo se calcula mirando los mapas que envían el generador a las diversas potencias de las raíces -ésimas de la unidad . ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{\oplus n}}$${\displaystyle 1\in \mathbb {Z} /n_{i}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle \zeta _{n_{i}}=\exp(2\pi i/n_{i})}$

Consideremos la matriz A = A ( G ) cuyos elementos de matriz son donde es el k ésimo elemento de G . ${\displaystyle n\veces n}$${\displaystyle A_{jk}=f_{j}(g_{k})}$$estilo de visualización g_ {k}}$

La suma de las entradas en la fila j de A está dada por

${\displaystyle \suma _{k=1}^{n}A_{jk}=\suma _{k=1}^{n}f_{j}(g_{k})=0}$Si , y${\displaystyle j\neq 1}$

${\displaystyle \suma _{k=1}^{n}A_{1k}=n}$.

La suma de las entradas en la k- ésima columna de A está dada por

${\displaystyle \suma _{j=1}^{n}A_{jk}=\suma _{j=1}^{n}f_{j}(g_{k})=0}$Si , y${\displaystyle k\neq 1}$

${\displaystyle \suma _{j=1}^{n}A_{j1}=\suma _{j=1}^{n}f_{j}(e)=n}$.

Sea la transpuesta conjugada de A . Entonces ${\displaystyle A^{\ast}}$

${\displaystyle AA^{\ast}=A^{\ast}A=nI}$.

Esto implica la relación de ortogonalidad deseada para los caracteres: es decir,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{f_{k}}^{*}(g_{i})f_{k}(g_{j})=n\delta _{ij}}$,

donde es el delta de Kronecker y es el complejo conjugado de . ${\displaystyle \delta _{ij}}$${\displaystyle f_{k}^{*}(g_{i})}$${\displaystyle f_{k}(g_{i})}$

• Dualidad de Pontryagin

• Véase el capítulo 6 de Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Undergraduate Texts in Mathematics, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90163-3, MR  0434929, Zbl  0335.10001